丹齐格的算法

‘壹’ 幻方怎么填，有计算方法吗

幻方算法（Magic Square）学习笔记

一、幻方按照阶数可分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。

二、奇数阶幻方（劳伯法）

奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：

把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：

1、每一个数放在前一个数的右上一格；

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在底行且最左列；

5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

三、双偶数阶幻方（海尔法）

所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。

如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数 ；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。

双偶数阶幻方最经典的填法是海尔法。填写的方法是：

以8阶幻方为例：

1、先把数字按顺序填。然后，按4×4把它分割成4块。

2、每个小方阵对角线上的数字（如左上角小方阵部分），换成和它互补的数。

四、单偶数阶幻方（斯特拉兹法）

所谓单偶阶幻方就是当n不可以被4整除时的偶阶幻方，即4K+2阶幻方。如(n=6，10，14……)的幻方。

单偶数阶幻方最经典的填法是斯特拉兹法。填写的方法是：

以10阶幻方为例。这时，k=2。

1、把魔方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

2、在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数互换位置。

3、在B象限所有行的中间格，自右向左，标出k－1格。(注：6阶幻方由于k－1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将这些格，和D象限相对位置上的数互换位置。

(1)丹齐格的算法扩展阅读：

种类

完全幻方

完全幻方指一个幻方行、列、主对角线及泛对角线各数之和均相等 。

乘幻方

乘幻方指一个幻方行列、对角线各数乘积相等。

高次幻方

n阶幻方是由前n^2（n的2次方）个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等。

高次幻方是指，当组成幻方各数替换为其2，3,...,k次幂时，仍满足幻方条件者，称此幻方为k次幻方。

反幻方

反幻方的定义：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和不相等，具有这种性质的图表，称为“反幻方”。

反幻方与正幻方最大的不同点是幻和不同，正幻方所有幻和都相同，而反幻方所有幻和都不同。所谓幻和就是幻方的任意行、列及对角线几个数之和。如下图3阶反幻方的比较。

参考资料来源：网络-幻方

‘贰’ 理乍得·卡普的简历

卡普1935年1月3日生于波士顿，从小时起就兴趣广泛，聪明过人。在哈佛大学时他文理兼修，1955年先获得文学学士学位，第二年又获得理科硕士学位。之后他进入哈佛大学的计算实验室攻读博士，于1959年取得应用数学博士学位。
学成以后，他进入IBM位于Yorktown Heights的沃森研究中心，在那里工作近10年。从20世纪50年代末至60年代，正是计算机科学的创建时期，高级语言刚诞生不久，计算机应用开始被社会所重视并逐渐走向普及。在这种情况下，有关数据结构、算法、计算复杂性等课题吸引着众多学者的注意。IBM作为美国乃至世界最大的计算机厂商，理所当然地成为这些研究的中心之一，集中了大批最优秀的研究人员。
卡普在IBM期间，主要是深入研究了与实际应用有密切联系的一系列数学问题，如路径问题、背包问题、覆盖问题、匹配问题、分区问题、调度问题等，取得了许多出色的成果。这些问题有一个共同的特点，即如果用图来表示问题，那么当图中增加一个结点时，需要考察的可能的解的数目就急剧增加，形成所谓“组合爆炸”（combinatorial explosion），使计算机的计算工作量大大增加，到一定程度就根本无法实现。以路径问题中最着名的旅行推销员问题为例，在卡普以前，最好的结果是Rand公司的丹齐格（George Benard Dantzig）、福格申（R．Fulkerson）和约翰逊（S．Johnson）用手工和计算机相结合的办法，求出了包含49个城市的旅行推销员的最佳路线。卡普和他的同事海尔特(M．Held)经过反复研究，终于提出了一种称为“分枝限界法”（branch—and—bound method）的新方法，用这种新方法实现的算法使旅行推销员能周游的城市数达到65个，从而打破了由Rand公司保持的记录。

‘叁’ 九型人格怎么算

九型人格具体如下，您可以参考一下自己的特质哦：
一号完美型性格特征介绍
核心价值观:希望每件事都做得最完美。对错，做事情守规矩，有原则
注意力焦点:我如何才能避免出错?
情绪反应:当事情一错再错时会有情绪，埋怨，自责。
行为习惯:经常关注哪出错了，哪里是否符合标准和要求?
气质形态:整齐端正，腰板直，目光如炬，严肃拘谨，衣着整洁，喜欢穿同样款式的衣服和每天的装梳都大同小异。
行为动机:做事力求完美 ，有原则 、有标准 、理性正直，时常压抑自己人性中不宣的一面，怨而不怒。
精力浪费处:大小事件都不敢委托他人，事必躬亲是完美型的人物最浪费精力的地方，另外，做事细心，太注意小节，也是将精力消耗而无法有大建设、大进展。

二号助人型性格特征介绍
核心价值观:我的天职是帮助他人。满足他人需要，助人成功，不断的付出
注意力焦点:我被他人需要么?别人有什么需要我帮忙的么?
情绪反应:他人漠视自己的帮助时会有情绪，爱，骄傲。
行为习惯:经常关注我可以怎样帮助到别人?
气质形态:笑容满面，和蔼可亲，热情可爱，天真烂漫，永远有一张长不大的孩子脸，
行为动机:渴望被爱，受人感激和认同，善解人意，有同情心。
精力浪费处:全爱型的人由于太喜欢投入生活，太关心社会，反而把身边日常生活应尽的义务给忘记了，尤其对自己的家庭总是忘了付出。由于全爱型的人是情感型的，所以平平淡淡，不够刺激的家庭生活，会让他们忽视或忘记，那么家庭成员不免就有埋怨产生。全爱型的人在服务的舆奋中，常忘了自己的疲劳，所以全爱型的人不在乎时间为别人付出时，可能有一天会忽然发现自己身心俱疲，累垮了。

三号成就型性格特征介绍
核心价值观:我必须努力作个成功的人，我的名誉、地位、声望与财富对我确实很重要。
注意力焦点:我如何才能达成目标?
情绪反应:订立的目标无法实现时会有情绪 挫败，自欺
行为习惯:经常关注我可以做些什么能帮助成功?
气质形态:非常精灵，醒目，衣着讲究，搭配整齐，仪表出众，非常注意形象。
行为动机:渴望事业有成就，以目标为主导，重视自我形象，希望肯定，受人尊敬和羡慕。
精力浪费处:他们的精力，完全浪费在配合别人，并花时间做秀、自我宣传上，所以夜深人静时，常有一份空虚感袭来。

四号自我型性格特征介绍
核心价值观:我时常觉得自己和别人不同，我是不平凡和独特的。自我感觉，内心的感受是否能被人了解
注意力焦点:我如何才能特别及与众不同?
情绪反应:无法遵从自己的感觉时会有情绪 忧伤，嫉妒
行为习惯:经常关注遗漏了什么?缺少什么重要而又美好的东西?
气质形态:感性迷人，富有艺术家的气质，有时会十分突出而令人震惊，他们通常会有一双柔情似水的眼神，目光永远是有所憧憬的凝视远方。
行为动机:渴望自我了解和他们的内心感受被人认同，喜欢我行我素，不媚俗，感情丰富，思想浪漫有创意，拥有敏锐的触角和审美眼光。
精力浪费处:自怜、 幻想 、多疑、骄傲，浪费掉他们所有的精力。

五号理智型性格特征介绍
核心价值观:喜欢思考、追求知识、要了解这个充满疑惑的世界。有了知识，我才不会焦虑，才敢行动。渴望全知
注意力焦点:我如何才能获得更多数据和知识?
情绪反应:自己看书思考受到干扰时会有情绪 轻视，贪求
行为习惯:经常关注我们需要哪些数据才客观?
气质形态:冷静、木讷和不拘言笑，息怒不形于色，深沉而有书生气。
行为动机:渴望比人知得多，懂得快，喜欢运用自己的智慧和理论去驾驭他人，他们冷静，机智，分析力强，好学不倦，善于思考，有理性地去处理问题并将情感控制。
精力浪费处:
他们将自己投入思考，拙于行动，所以工程浩大的收集分析，到头来一切束之高阁，不付出实行，变成只会自己做文章自己看，对人类的文明没有贡献，所有的智慧结晶，只跟着自己带入棺材里，变成完全的浪费，可惜。

六号疑惑型性格特征介绍
核心价值观:这是一个危险的世界，我要步步为营，防范被人利用和陷害，时时担心不安全。
注意力焦点:我如何才能避免危机?化解风险?
情绪反应:潜在的隐患无人重视时会有情绪 惊慌，焦虑
行为习惯:经常关注什么可能的因素还没有考虑到?什么风险还没有规避掉?
气质形态:拥有警觉性高的眼神，去监视周围环境的变化，喜欢提出质疑，眼神里常有焦虑和不安的表现。
行为动机:渴望受到保护和关怀，为人忠心耿耿，但多疑多虑，怕出差错，怕生是非，怕自己力不从心，怕人虚伪，怕事与愿违。
精力浪费处:忠诚型人物是脚踏实地，努力工作的人，但由于老是有不安全感及焦虑困扰着自己，他们精力浪费在怕犯错，怕得罪别人，怕被责罚及对人多疑上。

七号活跃型性格特征介绍
核心价值观:我觉得这世界充满刺激的事物和体验，人生的目的在于快乐，而“刺激”更是我做事的动力。开心，快乐，新鲜，刺激，好玩
注意力焦点:我如何才能寻求开心、快乐?
情绪反应:时间及空间受到限制时会有情绪 快乐，贪多。
行为习惯:经常关注我们可以选择什么?能否有更多选择?
气质形态:活力充沛，神采飞扬，笑容亲切，容易为大家接受，没有压迫感的个性令人际关系保持和谐。
行为动机:外向主动，活泼开朗，精力充沛，兴趣广泛，时常想办法去满足自己想要得，爱而怕承诺，贪玩而怕作承诺，渴望拥有更多，倾向逃避烦恼，痛苦和焦虑。
精力浪费处:他们只要有人邀约，提供快乐、口欲及享乐的事，往往是来者不拒，甚至已经筋疲力尽时，居然能立刻重燃热情，所以他们的时间、体力和精力就这样做无聊地浪费，没有时间和精力去做有目标、有计划的行动，为社会造福。

八号领袖型性格特征介绍
核心价值观:这世界充满挑战，我要作一个自强不息的人，运用我强大的自信和抑制力战胜环境，贡献社会，助强扶弱，主持正义，保持公平。
注意力焦点:什么是公平的?谁还有异议?
情绪反应:事情说了不算，决定后还有异议时会有情绪 愤怒，好胜
行为习惯:经常关注我们就这样定了，这事得我说了算
气质形态:气宇不凡，目光淡定，有大将之风，具有霸气，有时粗豪鲁莽，大情大义，有压迫感，声音嘹亮，不拘小节，昂首阔步。

行为动机:渴望在社会上与人群中有作为，并担当他们的领导者，个性冲动，自信，有正义感，喜欢替他人作主和发号施令。
精力浪费处:充沛的精力，渴求坚强，解决问题，奋力地和生活所发生的事交战，他们舍不得浪费精力，故而反而常常是耗尽精力，弄坏身体而仍然不知休闲、懒散。

九号和平型性格特征介绍
核心价值观:我觉得自己是一个普通人，我会尽力维持和谐的生活，与他人融洽和避免冲突的需要。我相信‘忍一时风平浪静，退一步海阔天空。
注意力焦点:我如何才能避免冲突?
情绪反应:别人大声命令时会有情绪 怕羞，怕事，懒惰
行为习惯:经常关注我们如何达成一致?
气质形态:平和，乐观豁达，朴实无华，面向和善，节拍较慢
行为动机:渴望人人能和平共处，怕引起冲突，怕得罪别人，怕左右为难，不争名逐利，性格温顺，与世无争，爱好大自然，写意随和，但往往给予人一种懒洋洋，没有个性，慢条斯理和满不在乎的感觉。
精力浪费处:精力浪费在配合别人，成全别人，由于每天忙着认同环境、认同别人，因此没有发展自己的个性，变成一种懒惰的心态，没有活力。

‘肆’ 找出如下线性规划问题的所有的基本解，指出哪些是基本可行解，指出哪些是基本可行解，并指出最优解

基解有六个，基可行解有3个，按照两个x组合为0去代方程式，最优解为x1＝4，x2＝0，x3＝2，x4＝0。

线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。 而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

线性规划问题的实际意义：

在作业研究中所面临的许多实际问题都可以用线性规划来处理，特别是某些特殊情况，例如：网络流、多商品流量等问题，都被认为非常重要。现阶段已有大量针对线性规划算法的研究。很多最优化问题算法都可以分解为线性规划子问题，然后逐一求解。

在线性规划的历史发展过程中所衍伸出的诸多概念，建立了最优化理论的核心思维，例如“对偶”、“分解”、“凸集”的重要性及其一般化等。在微观经济学和商业管理领域中，线性规划亦被大量应用于例如降低生产过程的成本等手段，最终提升产值与营收。乔治·丹齐格被认为是线性规划之父。

‘伍’ 谁有左手魔方高级公式要高级的哦，左手哦

魔方高级玩法
（一）cross
这个玩法最早是由Fridrich教授发明，所以叫做Fridrich System，后来经过许多的魔友对公式的手法进行优化，慢慢的发展成目前这个样子，也叫做CFOP方法 ，目前世界上绝大多数的顶尖魔方高手都在采用这个方法或他的衍生方法。CFOP的意思是我们要分四步还原魔方，分别是，Cross->First 2 layers(简称f2l)->Orientation of last layer(简称oll)->Permutation of last layer(简称pll)，也就是：底层十字->同时对好前两层->调整好最后一层的朝向->调整好最后一层的顺序（排列）。如下图所示，
1.第一面十字 2.同时对好前2层 3.调整最后一面朝向 4.调整最后一层顺序

我们这里列举的是gan手法，是国内的gan魔友博采众长，总结的一套CFOP手法，很顺手，大家可以到论坛里这个帖子下载gan手法的word文件。
学习CFOP主要是用“手法”学习，入门玩法里那种讲故事的记忆方法在这里不是特别合适了。你最需要看的，不应是3D动画，而应是手法的视频，“用手指记忆,用肌肉的连串的连贯动作记忆”，而不是用眼睛凭借中间形态去记忆，这个是学习高级玩法与入门玩法的主要区别（当然这主要指你应用一个算法的中间，在应用算法之前，发现一个形态，眼睛的观察力还是很重要的），基本上当你发现一个形态并知道要用一个算法之后，你就会用潜意识驱动你的双手，做出一连串条件反射的动作，而根本顾不得看中间形态到底是什么样子。 当你真正熟悉了一个算法的时候，如果做的中间你被什么东西打断了你的连贯动作，或者中间的时候你想仔细想一下动作的细节，这个时候，往往你就做不下去了，必须从头开始你才知道该怎么做，如果一个算法你已经有了这个感觉，基本上你就算学会了。我曾经就是像学入门玩法那样，用中间形态讲故事的方式记忆高级玩法，结果所有的算法都背下来了，还是一分钟，这个教训大家一定要引以为戒，学习高级玩法，你主要是在练手法和观察。请大家一定注意。另外，就是一开始的时候不要做的太快，不要模仿快做视频里的速度，开始做得慢一些，让动作清晰一些，然后逐渐提高速度往往会进步更快。 大家一定要注意体会视频里的那个“一来一回”的感觉，尽量让动作 舒服 连贯 ，这个是提高速度的关键。
下面，我给大家建议一个初步的CFOP的学习 步骤。基本上学会了魔方入门玩法的朋友都可以采用一种循序渐进、逐渐添砖加瓦的方式学习CFOP方法。
首先，我建议学习f2l(first 2 layers,同时对好前两层)。f2l是最好理解，记忆量也相对最小的一步，看似有41个算法，其实多数的算法根本就不需要背，理解了之后就自然而然地学会了算法。 但是，大家到后面就会知道，虽然这一步算法最简单，但是其实是最难的一步，开始的时候甚至用f2l做前两层还不如入门玩法快，这都是很正常的现象，大家前进受阻不要灰心，这一步关键是练习观察，这是个慢功夫，不过只要多练，就一定会明显的进步。在学习f2l的同时，你也可以同步的跳到第三步，学习pll，这样f2l,pll齐头并进会让你进步更快。
然后，第二步oll(orientation of last layer,调整好最后一层的朝向)，可以先学习oll21-oll27，这就是对应入门玩法的第五步（翻顶层四角朝向），就是有7种情况那步，oll21-oll27七个算法正好对应了7种情况，而入门玩法中第四步对顶层十字，则可以参考下一页我建议的方法用oll45和oll44两个很简单的算法搞定，这会很有效的提高对 顶层十字的速度。其余的oll可以留在最后背，当然，其实好多oll算法都非常的简单，先背下来也无妨。
再然后，pll(permutation of last layer,调整好最后一层的顺序)算法也可以分步骤的学会，首先学习一下pll1，pll2，pll5，pll6，这四个算法都是与我们在入门玩法里碰到的情形相关（pll1和pll2就是第七步要用的，pll5和pll6就是第六步那个算法（或其逆算法）为了让手法顺畅让方位改变了一下，如果你把他们当成入门玩法第六步那个算法用，则对于pll5，两角同色的一边应放在右面，对于pll6，两角同色的一边应放在前面）， 后面无论哪个pll算法忘了，你都可以按照入门玩法的第六步和第七步，用这四个算法搞定。背完这4个之后，就要一个一个的把pll的算法背下来，pll多数算法都是自身的逆算法，所以你需要的形态很好得到，所以pll相对比较好学习。
最后，就是要总攻击oll的剩下的算法了，oll虽然看起来挺多，但是好多算法并不是很难背，其中绝大多数都比pll的算法简单，所以只要大家集中一个星期的精力应该没有问题可以搞定他的。最后祝大家成功， 你们每个人都早日成为sub30的魔方高手!
在开始之前，我们先介绍几个基本的手法，这些基本的手法是我们每个公式最基本的单元，一般就是写在一个括号里面，意思就是可以非常迅速连贯的做出来，英语里称这些基本手法叫做finger shortcut(FSC)，也就是 手指快捷方式，大家应该能理解这个意思了吧。
基本手法 视频 应用的例子 例子的视频
R U R'U'
pll-8: (R U R' U')(R' F)(R2 U' R' U')(R U R' F')
R U'R和R'U R'
pll-1: (R U' R)(U R U R)(U' R' U' R2)
pll-2: (R2' U)(R U R' U')(R' U')(R' U R') pll1:
pll2:
R'F R F'
pll-11: F(R U'R' U')(R U R' F')(R U R' U')(R'F R F')
R U'R'U
f2l-7: (R U'R'U)(R U'R')
其他的基本手法如(R U'R'),(R'U'R),(R U R'),(R' U R)，(R U' U')等等请大家触类旁通，都很简单，大家可以在学习中参考每个公式的手法视频学习。
好，我们开始f2l,与我们魔方入门玩法不同的是，f2l第一层十字后是同时对好前两层，而不是分为两步， 这当然会导致需要记的公式多一些，但大家别看公式这么多，其实真正需要记的就是前面几个，大家只要理解后面的多数的公式都是要先归化为31，34和25，40两种基本的情况，就很好记了。大家可以先从第24个学起，观察每一种是怎么变成31，34和25，40的，很快就上手了。魔方小站
无论是视频，动画，算法有任何错误请在下面给我写信，谢谢大家！
对于f2l，好多朋友反映开始不是很容易抓到要领，我因为最近考试实在是没有精力弄一个详细的f2l教程，等我一月考完试一定弄一个，请大家先看看小站论坛里金眼睛大侠这个帖子，非常的好，非常的详尽，基本上看后就一定会对f2l有一个很好的理解了。
对下面标记有问题的朋友请看这页。魔方小站
（二）F2L
这页要写的是魔方高级玩法的第二步，顶层调整朝向，简称oll(orientation of last layer)。
本页是高级玩法网页的2.0版，想看1.0老版本请访问这里。
不用学高级玩法，一个好魔方就可以让你轻松的用入门玩法达到2分钟以下，想买好魔方，到咱小站自己的魔方淘宝店去看看：） NEW！国甲2的视频演示,想亲身试验一下手感？我们北京市内也有了实体店， 北京的朋友可以点这里查看地图。
大家可以到论坛里这个帖子下载gan手法的word文件。

一字 拐弯 点
这一步的公式很多，是cfop里最难学的一步，我建议可以先背21-27七个算法，这也就是入门玩法里面第四步对好顶层十字之后需要做的一步。十字的算法我建议用
一字： oll45 (F (R U R' U') F' ),
拐弯： oll44 (f (R U R' U') f' ),
点： oll2 (oll45+oll44 ),
三个算法都很简单明了，分别对应右图中的三种情况 （请注意，“一字”和“拐弯”摆放的方位也一定要按右图所示）。oll这步用很小的力气学到这种水平基本上就可以满足达到30秒以下 的水平，大家开始的时候还是集中精力练好f2l,其次是pll（pll相对好学一些），oll可以留到最后，不过大家也不用太 畏惧这么多算法，其实并不是很难背。最后的序号带 ’的算法是前面一些算法的多解，不是必须背的，大家可以酌情选用。魔方小站
无论是视频，动画，算法有任何错误请在下面给我写信，谢谢大家！
下面除了1，21，55，56，57具有两轴对称性概率为1/108, 20有四轴对称性概率为1/216,其他51个算法概率均为1/54,不具有对称性的都有一个镜像算法，比如3，4他们互为镜像手法不同，具有一轴对称性的没有镜像算法。所以大家除了21-27之外基本上可以随便顺序背，可以先挑简单的背，你碰到这些情况的概率基本上是一样的。
(三)pll
这一步我建议在f2l之后或者和f2l同步学习(oll可以如上页所说先学oll21-oll27就够了)，因为这一步多数算法是自身的逆算法，所以练习时需要的形态非常好呈现，所以相对好学一点，而且也没有oll算法这么多，所以可以先一步搞定他。 最后的序号带 ’的算法是前面一些算法的多解，不是必须背的，大家可以酌情选用。
如果分步骤学，可以参考高级玩法第一页里黑体字建议的方法，先背与入门玩法有关的pll1，pll2，pll5，pll6，这样后面无论那个算法忘了，都就可以借用入门玩法的方法搞定，而且速度也不慢，然后再逐一各个攻破就行了。 最后的序号带 ’的算法是前面一些算法的多解，不是必须背的，大家可以酌情选用。魔方小站
标记说明
基本上很简单，大写的字母R,U之类就是转某个面，小写的r，u等就是同时转两层，带'就是逆时针转。
x、y、z就是整个魔方转，具体怎么转比较绕一点，x、y、z分别为水平，竖直和前后轴，标记x、y、z就是分别围着这三个轴顺时针转90°，加’就是逆时针。
具体碰到了大家也别自己想，看看动画就明白了，还是感性认识比较好。
另外括号的意思就是这几个动作是一组，可以很连贯很顺手的一起做，括号外面有个2就是括号里面的步骤做两次，大家再有不明白的看动画就行了。
有下划线的U'是用左手食指（其实我发现很多没有下划线的也得用左手食指，大家不用拘泥，具体可以参考视频），斜体的U'或者F'是用右手拇指。
具体的见下面的图解。

‘陆’ 数的发展史

1 中国古代数学的发展

在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。

与以证明定理为中心的希腊古典数学不同，中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是，几何问题也归结为代数方程，然后用程式化的算法来求解。因此，中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。

1.1 线性方程组与“方程术”

中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”，是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例，用现代符号表述，该问题相当于解一个三元一次方程组：

3x+2y+z＝39

2x+3y+z＝34

x+2y+3z＝26

《九章》没有表示未知数的符号，而是用算筹将x�y�z的系数和常数项排列成一个(长)方阵：

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

“方程术”的关键算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行，即连续减去右行对应各数，就将中行与左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算术》方程术的“遍乘直除” 算法，实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法，以往西方文献中称之为“高斯消去法”，但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、原苏黎世大学数学系主任P.Gabriel教授在他撰写的教科书[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”，张苍相传是《九章算术》的作者之一。

1.2 高次多项式方程与“正负开方术”

《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形，并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解。秦九韶是这方面的集大成者，他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法，即他所称的“正负开方术”。

用现代符号表达，秦九韶“正负开方术”的思路如下：对任意给定的方程

f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an=0 (1)

其中a0≠0，an<0,要求(1)式的一个正根。秦九韶先估计根的最高位数字，连同其位数一起称为“首商”，记作c，则根x＝c+h，代入(1)得

f(c+h)=a0(c+h)n+a1(c+h)n-1+……+an-1(c+h)+an=0

按h的幂次合并同类项即得到关于h的方程:

f(h)=a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an=0 (2)

于是又可估计满足新方程(2)的根的最高位数字。如此进行下去，若得到某个新方程的常数项为0，则求得的根是有理数；否则上述过程可继续下去，按所需精度求得根的近似值。

如果从原方程(1)的系数a0,a1，…,an及估值c求出新方程(2)的系数a0,a1，…,an的算法是需要反复迭代使用的，秦九韶给出了一个规格化的程序，我们可称之为“秦九韶程序”， 他在《数书九章》中用这一算法去解决各种可以归结为代数方程的实际问题，其中涉及的方程最高次数达到10次，秦九韶解这些问题的算法整齐划一，步骤分明，堪称是中国古代数学算法化、机械化的典范。

1.3 多元高次方程组与“四元术”

绝不是所有的问题都可以归结为线性方程组或一个未知量的多项式方程来求解。实际上，可以说更大量的实际问题如果能化为代数方程求解的话，出现的将是含有多个未知量的高次方程组。

多元高次方程组的求解即使在今天也绝非易事。历史上最早对多元高次方程组作出系统处理的是中国元代数学家朱世杰。朱世杰的《四元玉鉴》(1303年)一书中涉及的高次方程达到了4个未知数。朱世杰用“四元术”来解这些方程。“四元术”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”来表示不同的未知数，同时建立起方程式，然后用顺序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鉴》中创造了多种消元程序。

通过《四元玉鉴》中的具体例子可以清晰地了解朱世杰“四元术”的特征。值得注意的是，这些例子中相当一部分是由几何问题导出的。这种将几何问题转化为代数方程并用某种统一的算法求解的例子，在宋元数学着作中比比皆是，充分反映了中国古代几何代数化和机械化的倾向。

1.4 一次同余方程组与“中国剩余定理”

中国古代数学家出于历法计算的需要，很早就开始研究形如：

X≡Ri (mod ai) i=1,2,...,n (1)

(其中ai 是两两互素的整数)的一次同余方程组求解问题。公元4世纪的《孙子算经》中已有相当于求解下列一次同余组的着名的“孙子问题”：

X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7)

《孙子算经》作者给出的解法，引导了宋代秦九韶求解一次同余组的一般算法——“大衍求一术”。现代文献中通常把这种一般算法称为“中国剩余定理”。

1.5 插值法与“招差术”

插值算法在微积分的酝酿过程中扮演了重要角色。在中国，早从东汉时期起，学者们就惯用插值法来推算日月五星的运动。起初是简单的一次内插法，隋唐时期出现二次插值法(如一行《大衍历》，727年)。由于天体运动的加速度也不均匀，二次插值仍不够精密。随着历法的进步，到了宋元时代，便产生了三次内插法(郭守敬《授时历》，1280年)。在此基础上，数学家朱世杰更创造出一般高次内插公式，即他所说的“招差术”。 朱世杰的公式相当于

f(n)=n△+ n(n�1)△2+ n(n�1)(n�2)△3

+ n(n�1)(n�2)(n�3)△4+……

这是一项很突出的成就。

这里不可能一一列举中国古代数学家的所有算法，但仅从以上介绍不难看到，古代与中世纪中国数学家创造的算法，有许多即使按现代标准衡量也达到了很高的水平。这些算法所表达的数学真理，有的在欧洲直到18世纪以后依赖近代数学工具才重新获得(如前面提到的高次代数方程数值求解的秦九韶程序，与1819年英国数学家W. 霍纳重新导出的“霍纳算法”基本一致；多元高次方程组的系统研究在欧洲也要到18世纪末才开始在E. 别朱等人的着作中出现；解一次同余组的剩余定理则由欧拉与高斯分别独立重新获得；至于朱世杰的高次内插公式，实质上已与现在通用的牛顿-格列高里公式相一致)。这些算法的结构，其复杂程度也是惊人的。如对秦九韶“大衍求一术”和“正负开方术”的分析表明，这些算法的计算程序，包含了现代计算机语言中构造非平易算法的基本要素与基本结构。这类复杂的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则了，而是高度的概括思维能力的产物，这种能力与欧几里得几何的演绎思维风格截然不同，但却在数学的发展中起着完全可与之相媲美的作用。事实上，古代中国算法的繁荣，同时也孕育了一系列极其重要的概念，显示了算法化思维在数学进化中的创造意义和动力功能。以下亦举几例。

1.6 负数的引进

《九章算术》“方程术”的消元程序，在方程系数相减时会出现较小数减较大数的情况，正是在这里，《九章算术》的作者们引进了负数，并给出了正、负数的加减运算法则，即“正负术”。

对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。公元7世纪印度数学家也开始使用负数，但负数的认识在欧洲却进展缓慢，甚至到16世纪，韦达的着作还回避负数。

1.7 无理数的发现

中国古代数学家在开方运算中接触到了无理数。《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”，《九章算术》的作者们给这种不尽根数起了一个专门名词——“面”。“面”，就是无理数。与古希腊毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线不是有理数时惊慌失措的表现相比，中国古代数学家却是相对自然地接受了那些“开不尽”的无理数，这也许应归功于他们早就习惯使用的十进位制，这种十进位制使他们能够有效地计算“不尽根数”的近似值。为《九章算术》作注的三国时代数学家刘徽就在“开方术”注中明确提出了用十进制小数任意逼近不尽根数的方法，他称之为“求微数法”，并指出在开方过程中，“其一退以十为步，其再退以百为步，退之弥下，其分弥细，则……虽有所弃之数，不足言之也”。

十进位值记数制是对人类文明不可磨灭的贡献。法国大数学家拉普拉斯曾盛赞十进位值制的发明，认为它“使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的”。中国古代数学家正是在严格遵循十进位制的筹算系统基础上，建立起了富有算法化特色的东方数学大厦。

1.8 贾宪三角或杨辉三角

从前面关于高次方程数值求解算法(秦九韶程序)的介绍我们可以看到，中国古代开方术是以�c+hn的二项展开为基础的，这就引导了二项系数表的发现。南宋数学家杨辉着《详解九章算法》(1261年)中，载有一张所谓“开方作法本源图”，实际就是一张二项系数表。这张图摘自公元1050年左右北宋数学家贾宪的一部着作。“开方作法本源图”现在就叫“贾宪三角”或“杨辉三角”。二项系数表在西方则叫“帕斯卡三角”�1654年。

1.9 走向符号代数

解方程的数学活动，必然引起人们对方程表达形式的思考。在这方面，以解方程擅长的中国古代数学家们很自然也是走在了前列。在宋元时期的数学着作中，已出现了用特定的汉字作为未知数符号并进而建立方程的系统努力。这就是以李冶为代表的“天元术”和以朱世杰为代表的“四元术”。所谓“天元术”，首先是“立天元一为某某”，这相当于“设为某某”，“天元一”就表示未知数，然后在筹算盘上布列“天元式”，即一元方程式。该方法被推广到多个未知数情形，就是前面提到的朱世杰的“四元术”。因此，用天元术和四元术列方程的方法，与现代代数中的列方程法已相类似。

符号化是近世代数的标志之一。中国宋元数学家在这方面迈出了重要一步，“天元术”和“四元术”，是以创造算法特别是解方程的算法为主线的中国古代数学的一个高峰�。

2 中国古代数学对世界数学发展的贡献

数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。

从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果�6�。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。

现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原着，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学着作《方法论》的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学着作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。

因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程：

演绎传统——定理证明活动

算法传统——算法创造活动

中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。

我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”�一种长方锥体体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这里不能详述，有兴趣的读者可参阅参考文献�3�。

3 古为今用，创新发展

到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……，这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大。

计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，着名的计算机科学家D.E.Knuth就呼吁人们关注古代中国和印度的算法�5�。多年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周知，中国古代文化包括数学是通过着名的丝绸之路向西方传播的，而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天文着作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如着名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者。

然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义之举。

研究科学的历史，其重要意义之一就是从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，通俗地说就是“古为今用”。吴文俊对此有精辟的论述，他说：“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益”。数学机械化理论的创立，正是这种古为今用原则的硕果。我国科学技术的伟大复兴，呼唤着更多这样既有浓郁的中国特色、又有鲜明时代气息的创新。

‘柒’ 线性规划问题化成标准型约束条件大于等于2时怎么做

目标函数值的转换。
线性规划问题又称线性规划，在数学中线性规划（LinearProgramming，简称LP）特指目标函数和约束条件皆为线性的最优化问题。线性规划是最优化问题中的一个重要领域。在作业研究中所面临的许多实际问题都可以用线性规划来处理，特别是某些特殊情况，例如：网络流、多商品流量等问题，都被认为非常重要。现阶段已有大量针对线性规划算法的研究。很多最优化问题算法都可以分解为线性规划子问题，然后逐一求解。在线性规划的历史发展过程中所衍伸出的诸多概念，建立了最优化理论的核心思维，例如“对偶”、“分解”、“凸集”的重要性及其一般化等。在微观经济学和商业管理领域中，线性规划亦被大量应用于例如降低生产过程的成本等手段，最终提升产值与营收。乔治·丹齐格被认为是线性规划之父。几何上，线性约束条件的集合相当于一个凸包或凸集，叫做可行域。因为目标函数亦是线性的，所以其极值点会自动成为最值点。线性目标函数亦暗示其最优解只会在其可行域的边界点中出现。在两种情况下线性规划问题没有最优解。其中一种是在约束条件相互矛盾的情况下（例如和其可行域将会变成空集，问题没有解，因此亦没有最优解。在这种情况下，该线性规划问题会被称之为“不可行”。单纯形算法利用多面体的顶点构造一个可能的解，然后沿着多面体的边走到目标函数值更高的另一个顶点，直至到达最优解为止。虽然这个算法在实际上很有效率，在小心处理可能出现的“循环”的情况下，可以保证找到最优解，但它的最坏情况可以很坏：可以构筑一个线性规划问题，单纯形算法需要问题大小的指数倍的运行时间才能将之解出。事实上，有一段时期内人们曾不能确定线性规划问题是NP完全问题还是可以在多项式时间里解出的问题。第一个在最坏情况具有多项式时间复杂度的线性规划算法在1979年由前苏联数学家LeonidKhachiyan提出。这个算法建基于非线性规划中NaumShor发明的椭球法[1](ellip-soidmethod)，该法又是ArkadiNemirovski（2003年冯_诺伊曼运筹学理论奖得主）和D.Yudin的凸集最优化椭球法的一般化。

‘捌’ 求还原任意魔方的算法，魔方的面和颜色用数组表示。要求能在有限次计算之内判断魔方能否被还原，能就输出

魔方的解法很复杂，这里无法一一说清楚，而且说出来具体的某种解法，对于解开的过程也就没有意义了。
所以想给你一个提示，在魔方中，并不是以面为单位的，也就是说，不能看上去把一个面拼好了，一面红色，就算成功了六分之一。而是要以块为单位，每一块都有其特定的位置和摆放的方位，只要一个方位不对，这一块就没有摆对。而只要摆对块，就算表面看上去不太整齐，也是成功了一半了。
下面举个例子，首先你要定魔方的中心，比如你把顶面定为大红色，面对你的面定为黄色，而左侧面定为白色。那么，顶面的中心块就应该是大红，你的对面中心块为黄色，而左侧面中心块为白色，这样定位好后就可以开始了。
从上面两面的接触块开始，比如大红面和黄面的接触那一层的中间那一块，应该是红色上黄色下，然后再摆上面的三面接触块，比如红黄白块，位置努力摆正，然后再下来就是摆中间的两面块，最后摆放底层的两面块，底层的三面块。注意的是，有时候摆好的块会因为要摆放后来的块被暂时打乱，这个是一定的。
罗罗嗦嗦也没有说清楚，不好意思，你可以仔细多看几遍，一定可以把魔方解出来！
解法说明:魔方上全部20个可转动方块可以形成43，000，000，000，000，000（四千三
百万兆）以上的不同组合方式。开解引谜最明显不过的困难恐怕就在于此。本解法的优
点在于，它设法使你在5步之中的任何时候都只须考虑此一步骤所涉及方块的不超过30种
组合方式。这20个可转动方块的前12个是分别逐一定位的，因此，在大部分时间里，你
都只需要考虑一个方块的位置问题。
即然一次只须考虑如此少的几种方块的组合方式，就完全有可能把它们写下来并给每一
种情况提供一组适当的转动方法。因此，不管从哪一种组合情况开始，也不管魔方被扭
得多么混乱，这一解法都可以保证成功。（注意，如果你拆过魔方，请保证在组装时没
有放错位置。）
标记及术语
在开解魔方的全过程中所使用的魔方6个平面的标准名称如下：
顶：顶平面（选一种你最喜爱的颜色）
前：前平面
左：左平面
右：右平面
底：底平面
后：后平面---及少使用

一个平面的颜色取决于它的中心方块（不可转动）的颜色。你可处选顶平面的颜色，选
定之后，在整个开解过程中要保持不变。注意，右、左、后、以及前平面的颜色根据你
如何持握魔方而可以有所不同。因此，前平面、可以是任何四种颜色之一（通过转动你
手中的魔方）。一旦确定前平面，则右、后和左平面的颜色和底平面的颜色保持不变（
选定你所喜爱的颜色之后）。在任何一组转动中，右、左、后和前平面的颜色也保持不
变，但在进行下一组转动时其颜色就常常会改变。
右+ ：将右平面沿顺时针方向转动90度。
右- ：将右平面没逆时针方向转动90度。
右2 ：将右平面转动180度（此时顺逆时针效果相同）。
前+ ：将前平面沿顺时针方向转动90度。
前- ：将前平面沿逆时针方向转动90度。
前2 ：将前平面转动180度。
左+ ：将左平面沿顺时针方向转动90度。
左- ： 将左平面沿逆时针方向 转动90度。
左2 ： 将左平面转动180度。
底+ ：将底平面沿顺时针方向转动90度。
底- ：将底平面沿逆时针方向转动90度。
底2 ： 将底平面转动180度。
顶+ ：将顶平面沿顺时针方向转动90度。
顶- ：将顶平面沿顺时针方向转动90度。
顶2 ：将顶平面转动180度。
（本解法不用转动后面）
顺逆时针以各面为钟面为标准.
前右是一个边缘方块，它在特定时间内处于前平面和右平面之间的边缘位置上。前右顶
是一个边角方块，它在特定的时间内处于前平面、右平面和顶平面之间的边角位置上。
因此，12个边缘方块为：底前，底左，底后，底右，前左，前右，前顶，左后，左顶，
后右，后顶和右顶。8个边角方块为：底前左，底前右，底后左，底后右，前左顶，前右
顶，左后顶和后右顶。任何转动及其所涉及的方块一律用上述的术语表示。要使用本文
的开解方法，你必须依一定方向持握魔方使将要移动的方块与文中所述的方块相一致。
如果不理解，请看肌?

一个方块的颜色与它所在的边缘或边角位置所应有的颜色相一致时，我们称它们为位置
正确或安放正确。一个方块的各面颜色都同它相邻平面的中心方块的颜色相一致时，我
们格称它为方位正确。例如，一个涂有红、蓝和绿的边角方块，当它在毗邻于红、蓝和
绿色的中心方块的边角位置上时，就是位置正确，但只有当它红、蓝和绿色的一面公别
与红、蓝和绿色中心方块相一致时，这一方块才能算方位正确（方向和位置都正确）。
开解中的5个步骤总结如下：
1.在6种颜色中选出一种你所喜爱的颜色，然后，给那个有此种颜色的中心方块的平面上
4个边缘方块定位和定向（即顶面边缘）。
2. 给选出的顶平面上的4 个边角方块定位和定向（即顶面边角）。
3.给顶平面下面的一层的4 个边缘方块定位和定向（即中层边缘）。
在1至3步中的全部12个方块都是逐一分别定位和定向的，到此为止，已完成了三分这二
的方块。
4. 给底平面上的4 个边角方块定位和定向（即底面边角）。
5. 给底平面上的4 个边缘方块定位和定向（即底面边缘）。
每一 大步一般又都分为2 小步。
---1 给这些方块逐一定位。
---2 给这些方块逐一定向。这就需要将这些方块从它们的正确位置暂时挪开一下，后再
以正确的方向回到它们的原位上去。
-------1------------------------------2------------------ ---------3--------
------------
-----------4---------------
最后的机会:如果你愿意，也可以仅仅依靠上面的说明来试试能否自己开解魔方。下面将
介绍一种完整而明确的解法，读了下面的介绍也许会破坏你用前述的几条启示来自己开
解魔方的乐趣。另外，前两个步骤只是介绍一个平面的完成方法。这是一项相当容易的
任务，你也许愿意自己来做这一工作（或者你已经做完了）。第一个关键步骤是第3 步
。
第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
第一步
第一步 顶面边缘（ 前顶，左顶，后顶，右顶）
在开解之前首选定顶平面的颜色，别忘了，任一平面的颜色都是由它的中心方块的颜色
决定的。要正确地持握魔方使你所选定的这一平面朝上，这便是顶平面，在全部开解过
程中要保持平面不变。
这一步的目的是要给属于顶平面的4个边缘位置的方块定位和定向。这4 个顶面边缘方块
都是逐一被安放和定向的。你要为其中的每一个方块做下述5个步骤（1A--1E）。如果幸
运的话，也许其中的一两个方块碰巧已经在它的正确位置上，那么，你只要把这5个步骤
（1A--1E）做二至三遍即可。如你对此还有不解之处，请复习有关标杨及术语的内容。
1A：正确持握魔方使前顶部位上并无经安放和定向的方块。你可能必须在手中转动整个
魔方以做到这一点，这样，也将改变前平面的颜色。
1B：找出应属于这个前顶部位的方块。这个待解的方块我们称之为即需方块。
1C：如果此一方块已经在前顶部位，但方向不对，请参照1E办理。
1D： 这个即需方块的位置共有11种可能性，为此这里提供11组相应的转动。根据这个即
需方块的位置做以下11组转动中的一组即可。例如，即需方块目前的位置是右顶部位，
那么依照右顶至前顶那一组转动办理即可。
右顶至前顶转动法： 右- 前-
后顶至前顶转动法： 顶+ 右- 顶- 前-
左顶至前顶转动法： 左+ 前+
前右至前顶转动法：前-
后右至前顶转动法：右2 前- 右2
左后至前顶转动法：左2 前+ 左2
前左至前顶转动法：前+
底前至前项转动法：前2
底右至前顶转动法：底- 前2
底后至前顶转动法：底2 前2
底左至前顶转动法： 底+ 前2
1E：如果前顶方块目前已在正确位置上，但方向不对，请做以下一组定向转动：
前顶定向转动法：前- 顶+ 左- 顶-
（这4 个顶面边缘方块是逐一定位和定向的，因此你可能需要重复做4 遍1A--1E这5 个
步骤。一旦这一步完成，顶平面上将出现一个十字形图案（如果你你取绿色为顶面颜色
，就将出现一个绿十字）。
第二步
第2步 顶面边角（前左顶，前右顶，左后顶，后右顶）
这一步的目的是，在保持已经安放好的顶面边缘方块的同时，给4 个应属于顶面上边角
位置的方块定位和定向。在这一系列转动中，顶面边缘方块将被暂时移动，但都会适当
还原的。
对于4个属于顶面边角位置的方块中的每一个，都需要做以下六个步骤（2A--2F）。同样
，如果你运气好，以会碰到某个顶面边角方块已经在它的正确方位上了，那么就不必做
够四遍了。
2A：找出一个还没有正确定位和定向的顶面边角方块（即任意一个应属于顶面边角位置
的方块）。这就是即需方块。如果这个即需方块目前已经在正确位置上，只是方向不对
，请参照2E办理。
2B ：如果即需方块现在位于顶面上，请做以下一组转动。请按一定方向持握魔方使即需
方违犯处于前右顶部位。
前右顶至底前左转动法：左- 底- 右+
这一转动 把即需方块移到底平面。
2C：转动底平面，使目前已在底平面上的这个即需方块称到它应该占据的那个顶面边角
部位（这部位以称为即需部位）的正下方。按一定方向持握魔方使即需部位为前右顶部
位，这时即需部位为前右顶部位，这时即需方块应该在底面前右的位置上。
2D：为正确安放即需的顶面边角方块，做以下一组转动。
底前右至前右顶转动法：右- 底- 右+
2E：如前顶方块的方向不对，做以下两组转动之一（注意：只做其中之一）。
前右顶定向转动法： 右- 底2 右+ 、 前+ 底2 前-
前右顶定向转动法： 前+ 底2 前- 、 右- 底2 右+
2F ：如果前右顶方块的方向仍不正确，重复你在2E中做过的那组转动。这将使前右顶方
块的方向和位置全部正确无误。
你可能要把这六个步骤（2A--2F）重复四遍才能完成这四个顶面边角方块的定位和定向
。做完这些之后，整个魔方的三分之一，也就是全部顶平面的方块就都依正确方向各就
各位了。
第三步
第3 步 中层边缘（前左，前右，左后，后右）
这一步的目的是要给顶平面下面的4个边缘方块定位和定向。这一步可以被看作是对“中
层平面”的开解。旦完成这一步骤，魔方的三分这二就完成了。对每一个应属于中层边
缘位置的方块，要做如下四个步骤（3A--3D）。你也许会再一次发现某个中层边缘方块
已经在它的正确方位上了。
3A：找出一个尚未正确定出方位的中层边缘方块（即某个应属于中层边缘位置的方块）
。这就是即需方块。如果这个即需方块的位置正确，但方向不对，请参照3D办理。
3B：如果即需方块不在底平面上，请做以下一组转动。依一定方向正确持握魔方，使即
需方块处于前右部位。
前右至底平面(底后)转动法:右- 底+ 右+ 底+ 前+ 底- 前-
3C: 这时,既需方块已经到了底平面.转动底平面使既需方块的垂直面的颜色和四个侧面
（前，后，左，右）中的一面的中心方块的颜色相一致．然后正确持握魔方，使即需的
部位为前右部位．如果此时既需方块位于右平面，做底右至前右的一组转动．如既需方
块位于前平面，做底前至前右的一组转动．
底右至前右转动法：（底＋ 前＋ 底－） 前－（ 底－ 右－ 底＋） 右＋
底前至前右转动法：（底－ 右－ 底＋） ＋ （底＋ 前＋ 底－） 前－
3D : 依一定方向持握魔方使既需方块处于前右部位.如果方向不对,做以下一组定向转动
.
前右定向转动法(共15步): （右- 底+ 右+）（ 底+ 前+ 底-） 前- （底+ 右- 底+）
右+（ 底+ 前+ 底-） 前-
正误法:
这组转动比前两个步骤长.在这一系列转动的全过程中,只有一个顶面边角方块(既原位于
前右顶的方块)被移到离它的正确方位一次转动以上的地方.假如你在这几组的某一组转
动中失误或是乱了套,那么立刻停下来,并设法恢复顶平面.通常情况下,你必须转动前面
平面或右平面使方块还原到顶平面,然后,重做几组第2步的转动以还原错了位的顶面边角
方块.做完这些后,从3A开始做另一次尝试.
第四步
第四步 底面边角(底前左,底前右,第左后,底后右)
这一步是要给第平面上的4个边角方块定位和定向.这是通过先定位后定向来完成的.这次
的4个方块不是分别安放,而是作为一组一次同时完成.依照下述关于4A--4F的说明,一遍
就可以完成着一步骤.
4A:首先有必要转动底面使尽可能多的边角方块各就其位,而暂时不考虑它的方向问题(暂
时也不需要照顾底平面上的边缘方块).只要转动底面就可以使至少2个,有时甚至是全部
4个底平面边角方块居于正确的位置.如果还剩下2个位置不对的方块,它们的位置不外乎
于2个相邻或两个相对的边角上.对于前者,可以做4B的转动;对于后者,可以做4C的转动.
4B:如果2个位置不对的位置边角相邻,以下一组转动可以使它们对调位置.
底前左与底前右调位转动法(注意要正确持握魔方,使即将被调位的2个方块处于这两个位
置): （ 右- 底- 右+ ）（ 前+ 底+ 前-） （ 右- 第+ 右+）底2
4C:如果2个位置不对的边角方块相对,以下一组转动可以使它们调位.
底前左与底后右调位转动法(注意要正确持握魔方使即将被调位的2个方块处于这两个位
置):
（ 右- 底- 右+） （ 前+ 底2 前- ） （ 右- 底+ 右+）底+
4D: 至此,4个底面边角方块已安放妥当.这时如果这4个底面边角方向不正确,则按以下方
法转动.
------这一步只有一种转动步骤,但要重复使用,只是每次转动前都要先确定一正确的握
法.
-------握法(这是关键):
将需要调整的那一层置于顶层的位置(全过程都如此). 以顶面中心的颜色为标准色.观察
顶面四边角是否有标准色块:
---只有一块标准色:将这一块置于顶前左的位置.
同时有两块标准色块:
------a:两块相邻:将两块分别置于顶前右与顶后右的位置.
-------b:两块相对:将两块置于顶前右与顶后左的位置.

没有一块: 看侧面出现的标准色块(同样只看四个边角方块上的八个色块),找到同时出现
两个标准色块的那一面,置这一面为左面.
握好魔方就可以开始转动:
（ 右+ 顶+ 右- ） 顶+ （ 右+ 顶2 右-） (就这么简单,只有这一组转动)
若做完一组转动后,若四方块相对方向不对(这一转动不会改变它们的相对位置,只是同已
完成的两层有点错开,这我们先不必理会)则重新确定握法,继续重复转动.直至四边角方
块相对方位均正确为止(一般要重复3-5次). 调整顶层,使它边角方块颜色与已完成的两
层相一致,记住将这一层重新置为底面.
第五步
第5步 顶面边缘 (前底,左底,后底,右底)
看底面边缘的位置:
----如果没有一个边缘方块方位正确：按5A的转法做。
----如果只有一个边缘方块方位正确：按5B的转法做。
----有两个正确的边缘方块方位正确：按5C的转法做。
5A:做如下一组转动,这次只要保持顶面和底面不变就行了.
（ 左- 右+ 前+ ）（ 左+ 右- 底2）（ 左- 右+ 前+）（ 左+ 右-）
转完后看看底面的情况再缺定下一步的转法。
5B: 正确持握魔方使那个位置或方位已经正确的边缘方块处于底前的位置.然后做5A那组
转动 .转完后看看底面的情况再缺定下一步的转法。
5C: 握好魔方使得：
a--正确方块位置相对：使正确方块位于底前与底后的位置。
b--正确方块位置相邻：使正确方块处于底前与底右的位置。(未给出图示)
转法：（左- 右+ 前+）（ 左+ 右- 底-）（左- 右+ 前-） （ 左+ 右- 底-） （ 左-
右+ 前2） (左+ 右-)

‘玖’ 针织面料单件用料算法

一、服装面料单耗的计算方法：
在实际加工生产中，分为针织和梭织服装用料计算。
1、梭织物常用到服装面料单耗量的计算方法：
⑴、经验性判定。主要用于个体经营业户，根据经验给出服装单件的大体需用量。
⑵、公式计算。服装单件加工，用长度公式加上一个调节量获得，例如：90cm门幅的面料，衬衣的单耗量为：身长+袖长+调节系数。
⑶、根据成衣尺寸计算。又称"面积计算法"，在外贸服装加工企业或公司，客户提供成品样衣给生产商，让您计算出服装的面料单耗量，我们可以估算出中间规格服装毛片的面积，把每片相加后得出一件服装总的平方厘米数，除以面料门幅宽度，得出服装的单耗量，注意追加一定数量的额外损耗。
⑷、规格计算法顾名思义，根据成品规格表中的中间号或大小号均码的规格尺寸，加上成品需用缝份量，计算出单件服装的面积，再除以门幅得出单耗量，同样追加一定数量的额外损耗。服装单耗的规格计算法可以归总出一个常用公式：（上衣的身+缝份或握边）乘以（胸围+缝份）+（袖长+缝份或袖口握边）乘以袖肥乘以4+服装部件面积。
⑸、样板计算法选出中间号样板或大小号样板各一套，在案板上划定面料幅宽，把毛份样板按照排版的规则合理套排，最终，把尾端取齐，测量出版长两端标线总的长度间距，除以参与排版服装的件数得出服装的单耗量，注意追加一定数量的额外损耗。
⑹、计算机排料获得可以按生产需要，把裁剪计划中所有样板让计算机进行自动排料，在工作窗口的右下角显示服装的面料利用率、版皮总长、单耗量，注意追加一定数量的额外损耗。服装用料补充说明：计算有阴阳格子的面料单耗时，服装单耗量需在原计算获得数据的基础上额外增加一倍半的格长量；有倒顺格子的面料需增加二倍半格长的需用量。
2、针织服装用料计算针织服装用料计算主要采用重量和面积两种方法作为换算的标准。
（1）、主料计算成衣单位用料面积=∑（门幅×段长）÷〔每段长内成品件数×（1-段耗率）〕=平方米/件
（2）、服装面料单位面积的重量（克/平方米）乘以服装需用面积数等于每件服装的用量重量。
（3）、辅料计算由于罗纹坯布拉伸性好，很难以平方米干重来计算考核单件用量，企业一般用罗纹加工机针数及所用纱线品种作为计算依据，确定每平方米的干燥重量，然后，计算每件成品耗用各种罗纹坯布的长度及重量。领口的罗纹长度=（领口罗纹规格+0.75cm缝耗+0.75cm扩张回缩）×2（层数）袖口的罗纹长度=（袖口罗纹规格+0.75cm缝耗+0.75cm扩张回缩）×2（层数）裤口的罗纹长度=（裤口罗纹规格+0.75cm缝耗+0.75cm扩张回缩）×2（层数）
（4）、整件服装成衣辅料用料=成品各零部件耗用坯布面积总和（包括裁耗）
（5）、用料计算中有关参考数据资料名称棉。羊毛。真丝。苎麻。亚麻。粘胶。锦纶。晴纶。涤纶。维纶。氯纶。回潮率8.515111012134.520.450
（6）、用料计算排料完成后（注意分段计算的原则，在不同门副上分开排料的，必须分开计算用料面积，然后相加得出总用料面积或重量）和完成前两种方法。

‘拾’ 764x34用格子乘法计算方法是怎样

764x34用格子乘法计算方法如下图：

在四上数学书上有，先把因数分别写在上和右边，然后算4*3=12，写在右上角的格子上，1写左边，2写右边，以此类推，填好格子。

最后，把同一斜线上的数相加：6落下；2+1+4=7；1+8+2+8=19，相加满十时要向前进一，9落下；1+1+2+1=5写在左下方；2落下写在左上方，因此得到：764*34=25976。

(10)丹齐格的算法扩展阅读

起源：

这种方法是最早记载在1150年印度数学家婆什迦罗的《丽罗娃提》一书中，12世纪以后广泛流传于阿拉伯地区，后来通过阿拉伯人传人欧洲，并很快在欧洲流行。

这种方法后来传入我国，我国明朝数学家程大位在《算法统宗》一书中把它称为“铺地锦”。这两种有相似的地方。不过画线算法更直观、简便，格子算法介于画线和算式之间。

中国算盘也能算乘法，可以算形象的乘法竖式吧。还了解了计算机的乘法计算原理，1十进制换成二进制后做乘法反而简单的多，都是1和0，就是错几位的事。