序列分析算法
‘壹’ 什么是时间序列分析法
时间序列是按时间顺序的一组数字序列。时间序列分析就是利用这组数列，应用数理统计方法加以处理，以预测未来事物的发展。时间序列分析是定量预测方法之一，它的基本原理：一是承认事物发展的延续性。应用过去数据，就能推测事物的发展趋势。二是考虑到事物发展的随机性。任何事物发展都可能受偶然因素影响，为此要利用统计分析中加权平均法对历史数据进行处理。该方法方法简单易行，便于掌握，但准确性差，一般只适用于短期预测。
‘贰’ 时间序列分析法的基本步骤
时间序列建模基本步骤是：①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统时间序列动态数据。②根据动态数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,在建模时应考虑进去,如果是反常现象，则应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列，例如采用门限回归模型。③辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列，可用通用ARMA模型（自回归滑动平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型或组合-ARMA模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用ARMA模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当模型去拟合这个差分序列。
‘叁’ 应用时间序列分析有哪几种方法
时间序列分析常用的方法：趋势拟合法和平滑法。
1、趋势拟合法就是把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型的方法。包括线性拟合和非线性拟合。
线性拟合的使用场合为长期趋势呈现出线形特征的场合。参数估计方法为最小二乘估计。
非线性拟合的使用场合为长期趋势呈现出非线形特征的场合。其参数估计的思想是把能转换成线性模型的都转换成线性模型，用线性最小二乘法进行参数估计。实在不能转换成线性的，就用迭代法进行参数估计。
2、平滑法是进行趋势分析和预测时常用的一种方法。它是利用修匀技术，削弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律 。
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时间序列分析的主要用途：
1、系统描述
根据对系统进行观测得到的时间序列数据，用曲线拟合方法对系统进行客观的描述。
2、系统分析
当观测值取自两个以上变量时，可用一个时间序列中的变化去说明另一个时间序列中的变化，从而深入了解给定时间序列产生的机理。
3、预测未来
一般用ARMA模型拟合时间序列，预测该时间序列未来值。
4、决策和控制
根据时间序列模型可调整输入变量使系统发展过程保持在目标值上，即预测到过程要偏离目标时便可进行必要的控制。
‘肆’ 时间序列预测方法有哪些分类，分别适合使用的情况是
时间序列预测方法根据对资料分析方法的不同，可分为：简单序时平均数法、加权序时平均数法、移动平均法、加权移动平均法、趋势预测法、指数平滑法、季节性趋势预测法、市场寿命周期预测法等。
1、简单序时平均数法只能适用于事物变化不大的趋势预测。如果事物呈现某种上升或下降的趋势，就不宜采用此法。
2、加权序时平均数法就是把各个时期的历史数据按近期和远期影响程度进行加权，求出平均值，作为下期预测值。
3、简单移动平均法适用于近期期预测。当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动。
4、加权移动平均法即将简单移动平均数进行加权计算。在确定权数时，近期观察值的权数应该大些，远期观察值的权数应该小些。
5、指数平滑法即根用于中短期经济发展趋势预测，所有预测方法中，指数平滑是用得最多的一种。
6、季节趋势预测法根据经济事物每年重复出现的周期性季节变动指数，预测其季节性变动趋势。
7、市场寿命周期预测法，适用于对耐用消费品的预测。这种方法简单、直观、易于掌握。
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时间序列预测法的特征
1、时间序列分析法是根据过去的变化趋势预测未来的发展，前提是假定事物的过去延续到未来。运用过去的历史数据,通过统计分析，进一步推测未来的发展趋势。不会发生突然的跳跃变化,是以相对小的步伐前进；过去和当前的现象，可能表明现在和将来活动的发展变化趋向。
2.时间序列数据变动存在着规律性与不规律性
时间序列中的每个观察值大小，是影响变化的各种不同因素在同一时刻发生作用的综合结果。从这些影响因素发生作用的大小和方向变化的时间特性来看，这些因素造成的时间序列数据的变动分为四种类型：趋势性、周期性、随机性、综合性。
‘伍’ 时间序列分析法是什么
时间序列分析法是一种历史资料延伸预测，也称历史引申预测法。它是对以时间数列所能反映的社会经济现象的发展过程和规律性进行引申外推、预测其发展趋势的方法。
时间序列，也叫时间数列、历史复数或动态数列。它是将某种统计指标的数值，按时间先后顺序排列所形成的数列。时间序列预测法就是通过编制和分析时间序列，根据时间序列所反映出来的发展过程、方向和趋势进行类推或延伸，借以预测下一段时间或以后若干年内可能达到的水平。其内容包括：收集与整理某种社会现象的历史资料；对这些资料进行检查鉴别，排成数列；分析时间数列，从中寻找该社会现象随时间变化而变化的规律，得出一定的模式；以此模式去预测该社会现象将来的情况。
‘陆’ 时间序列分析法的简介
它包括一般统计分析(如自相关分析，谱分析等),统计模型的建立与推断，以及关于时间序列的最优预测、控制与滤波等内容。经典的统计分析都假定数据序列具有独立性，而时间序列分析则侧重研究数据序列的互相依赖关系。例如，记录了某地区第一个月，第二个月，……，第N个月的降雨量，利用时间序列分析方法，可以对未来各月的雨量进行预报。
随着计算机的相关软件的开发，数学知识不再是空谈理论，时间序列分析主要是建立在数理统计等知识之上，应用相关数理知识在相关方面的应用等。
‘柒’ 时间序列分析法的具体算法
用随机过程理论和数理统计学方法，研究随机数据序列所遵从的统计规律，以用于解决实际问题。由于在多数问题中，随机数据是依时间先后排成序列的，故称为时间序列。它包括一般统计分析（如自相关分析、谱分析等），统计模型的建立与推断，以及关于随机序列的最优预测、控制和滤波等内容。经典的统计分析都假定数据序列具有独立性，而时间序列分析则着重研究数据序列的相互依赖关系。后者实际上是对离散指标的随机过程的统计分析，所以又可看作是随机过程统计的一个组成部分。例如,用x(t)表示某地区第t个月的降雨量，{x(t)，t=1，2，…}是一时间序列。对t=1，2，…，T，记录到逐月的降雨量数据x(1)，x(2)，…，x(T)，称为长度为T的样本序列。依此即可使用时间序列分析方法，对未来各月的雨量x(T+l)(l=1,2,…)进行预报。时间序列分析在第二次世界大战前就已应用于经济预测。二次大战中和战后，在军事科学、空间科学和工业自动化等部门的应用更加广泛。
就数学方法而言，平稳随机序列（见平稳过程）的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。 一个时间序列可看成各种周期扰动的叠加，频域分析就是确定各周期的振动能量的分配，这种分配称为“谱”，或“功率谱”。因此频域分析又称谱分析。谱分析中的一个重要统计量是 ,称为序列的周期图。当序列含有确定性的周期分量时，通过I(ω)的极大值点寻找这些分量的周期，是谱分析的重要内容之一。在按月记录的降雨量序列中，序列x(t)就可视为含有以12为周期的确定分量，所以序列x(t)可以表示为 ,它的周期图I(ω)处有明显的极大值。
当平稳序列的谱分布函数F（λ）具有谱密度ƒ(λ)（即功率谱）时，可用(2π)-1I(λ)去估计ƒ(λ)，它是ƒ(λ)的渐近无偏估计。如欲求ƒ(λ)的相合估计（见点估计），可用I(ω)的适当的平滑值去估计ƒ(λ),常用的方法为谱窗估计即取ƒ(λ)的估计弮(λ)为 ,式中wt(ω)称为谱窗函数。谱窗估计是实际应用中的重要方法之一。谱分布F(λ)本身的一种相合估计可由I(ω)的积分直接获得，即 。研究以上各种估计量的统计性质，改进估计方法，是谱分析的重要内容。 如果时间序列x(t)可表示为确定性分量φ(t)与随机性分量ω(t)之和，根据样本值x(1)，x(2)，…,x(T)来估计φ(t)及分析ω(t)的统计规律，属于时间序列分析中的回归分析问题。它与经典回归分析不同的地方是，ω(t)一般不是独立同分布的，因而在此必须涉及较多的随机过程知识。当φ(t)为有限个已知函数的未知线性组合时，即 ，式中ω(t)是均值为零的平稳序列,α1,α2,…,αs是未知参数,φ1(t),φ2(t),…,φs(t)是已知的函数,上式称为线性回归模型，它的统计分析已被研究得比较深入。前面叙述的降雨量一例，便可用此类模型描述。回归分析的内容包括:当ω(t)的统计规律已知时，对参数α1,α2,…,αs进行估计,预测x(T+l)之值；当ω(t)的统计规律未知时，既要估计上述参数，又要对ω(t)进行统计分析，如谱分析、模型分析等。在这些内容中,一个重要的课题是:在相当广泛的情况下，证明 α1,α2,…,αs的最小二乘估计，与其线性最小方差无偏估计一样，具有相合性和渐近正态分布性质。最小二乘估计姙j(1≤j≤s)不涉及ω(t)的统计相关结构，是由数据x(1)，x(2)，…，x(T)直接算出，由此还可得(t)进行时间序列分析中的各种统计分析，以代替对ω(t)的分析。在理论上也已证明，在适当的条件下，这样的替代具有满意的渐近性质。由于ω(t)的真值不能直接量测，这些理论结果显然有重要的实际意义。这方面的研究仍在不断发展。
时间序列分析中的最优预测、控制与滤波等方面的内容见平稳过程条。多维时间序列分析的研究有所进展，并应用到工业生产自动化及经济分析中。此外非线性模型统计分析及非参数统计分析等方面也逐渐引起人们的注意。
‘捌’ 时间序列分析预测法优缺点
优点：可以从时间序列中找出变量变化的特征、趋势以及发展规律，从而对变量的未来变化进行有效地预测。
缺点：在应用时间序列分析法进行市场预测时应注意市场现象未来发展变化规律和发展水平，不一定与其历史和现在的发展变化规律完全一致。间序列预测法因突出时间序列暂不考虑外界因素影响，因而存在着预测误差的缺陷，当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差。
其基本特征：
1、趋势性：某个变量随着时间进展或自变量变化，呈现一种比较缓慢而长期的持续上升、下降、停留的同性质变动趋向，但变动幅度可能不相等。
2、周期性：某因素由于外部影响随着自然季节的交替出现高峰与低谷的规律。
3、随机性：个别为随机变动，整体呈统计规律。
4、综合性：实际变化情况是几种变动的叠加或组合。预测时设法过滤除去不规则变动，突出反映趋势性和周期性变动。
‘玖’ 对时间序列的分析方法有哪几种
1、 时间序列 取自某一个随机过程，如果此随机过程的随机特征不随时间变化，则我们称过程是平稳的；假如该随机过程的随机特征随时间变化，则称过程是非平稳的。 2、 宽平稳时间序列的定义：设时间序列 ，对于任意的 , 和 ，满足： 则称 宽平稳。 3、Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测，以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法，并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。 4、ARMA模型三种基本形式：自回归模型（AR：Auto-regressive），移动平均模型（MA：Moving-Average）和混合模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。 （1） 自回归模型AR(p)：如果时间序列 满足 其中 是独立同分布的随机变量序列，且满足： ， 则称时间序列 服从p阶自回归模型。或者记为 。 平稳条件：滞后算子多项式 的根均在单位圆外，即 的根大于1。 （2） 移动平均模型MA(q)：如果时间序列 满足 则称时间序列 服从q阶移动平均模型。或者记为 。 平稳条件：任何条件下都平稳。 （3） ARMA(p,q)模型：如果时间序列 满足 则称时间序列 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为 。 特殊情况：q=0,模型即为AR(p)，p=0, 模型即为MA(q)。 二、时间序列的自相关分析 1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法，它简单易行、较为直观，根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图，我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性，以及时间序列的季节性。 2、自相关函数的定义：滞后期为k的自协方差函数为： ，则 的自相关函数为： ，其中 。当序列平稳时，自相关函数可写为： 。 3、 样本自相关函数为： ，其中 ，它可以说明不同时期的数据之间的相关程度，其取值范围在-1到1之间，值越接近于1，说明时间序列的自相关程度越高。 4、 样本的偏自相关函数： 其中， 。 5、 时间序列的随机性，是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性，一般给出如下准则： ①若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间，则该时间序列具有随机性； ②若较多自相关函数落在置信区间之外，则认为该时间序列不具有随机性。 6、 判断时间序列是否平稳，是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是：①若时间序列的自相关函数 在k>3时都落入置信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；②若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就不具有平稳性。 7、 ARMA模型的自相关分析 AR(p)模型的偏自相关函数 是以p步截尾的，自相关函数拖尾。MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性，偏自相关函数拖尾。这两个性质可以分别用来识别自回归模型和移动平均模型的阶数。ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。 三、单位根检验和协整检验 1、单位根检验 ①利用迪基—福勒检验（ Dickey-Fuller Test）和菲利普斯—佩荣检验（Philips-Perron Test）,我们也可以测定时间序列的随机性，这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法，与前者不同的事，后一个检验方法主要应用于一阶自回归模型的残差不是白噪声，而且存在自相关的情况。 ②随机游动 如果在一个随机过程中， 的每一次变化均来自于一个均值为零的独立同分布，即随机过程 满足： ， ，其中 独立同分布，并且： ， 称这个随机过程是随机游动。它是一个非平稳过程。 ③单位根过程 设随机过程 满足： ， ，其中 ， 为一个平稳过程并且 ，，。 2、协整关系 如果两个或多个非平稳的时间序列，其某个现性组合后的序列呈平稳性，这样的时间序列间就被称为有协整关系存在。这是一个很重要的概念，我们利用Engle-Granger两步协整检验法和J 很高兴回答楼主的问题 如有错误请见谅
‘拾’ （三）时间序列分析的基本方法
1.模型的选择和建模基本步骤
（1）建模基本步骤
1）用观测、调查、取样，取得时间序列动态数据。
2）作相关图，研究变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点，如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列。
3）辨识合适的随机模型，进行曲线拟合。
（2）模型的选择
当利用过去观测值的加权平均来预测未来的观测值时，赋予离得越近的观测值以更多的权，而“老”观测值的权数按指数速度递减，称为指数平滑（exponential smoothing），它能用于纯粹时间序列的情况。
对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列，可用自回归（AR）模型、移动平均（MA）模型或其组合的自回归移动平均（ARMA）模型等来拟合。
一个纯粹的AR模型意味着变量的一个观测值由其以前的p个观测值的线性组合加上随机误差项而成，就像自己对自己回归一样，所以称为自回归模型。
MA模型意味着变量的一个观测值由目前的和先前的n个随机误差的线性的组合。
当观测值多于50个时一般采用ARMA模型。
对于非平稳时间序列，则要先将序列进行差分（Difference，即每一观测值减去其前一观测值或周期值）运算，化为平稳时间序列后再用适当模型去拟合。这种经差分法整合后的ARMA模型称为整合自回归移动平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average），简称ARIMA模型（张文彤，2002；薛薇，2005；G.E.P.Box et al.，1994）。
ARIMA模型要求时间序列满足平稳性和可逆性的条件，即序列均值不随着时间增加或减少，序列的方差不随时间变化。但由于我们所关注的地层元素含量变化为有趋势和周期成分的时间序列，都不是平稳的，这就需要对其进行差分来消除这些使序列不平稳的成分。所以我们选择更强有力的ARIMA模型。
2.平稳性和周期性研究
有些数学模型要检验周期性变化是否为平稳性过程，即其统计特性不随时间而变化，我们可根据序列图、自相关函数图、偏自相关函数图和谱密度图等对序列的平稳性和周期性进行识别。当序列图上表现有明显分段特征时可采用分段计算法，若分段求得的每段频谱图基本一致或相似，则认为过程是平稳的，否则是非平稳的。
自相关函数ACF（Autocorrelations function）是描述序列当前观测值与序列前面的观测值之间简单和常规的相关系数；而偏自相关函数PACF（Partial autocorrelations function）是在控制序列其他的影响后，测度序列当前值与某一先前值之间的相关程度。
平稳过程的自相关系数和偏自相关系数只是时间间隔的函数，与时间起点无关，都会以某种方式衰减趋近于0。
当ACF维持许多期的正相关，且ACF的值通常是很缓慢地递减到0，则序列为非平稳型。
序列的自相关-偏自相关函数具有对称性，即反映了周期性变化特征。
3.谱分析
确定性周期函数X（t）（设周期为T）在一定条件下通过傅里叶（Fourier）级数展开可表示成一些不同频率的正弦和余弦函数之和（陈磊等，2001），这里假设为有限项，即：
洞庭湖区第四纪环境地球化学
其中，频率fk=k/T，k=1，2，…，N。
上式表明：如果抛开相位的差别，这类函数的周期变化完全取决于各余弦函数分量的频率和振幅。换句话说，我们可以用下面的函数来表示X（t）的波动特征：
洞庭湖区第四纪环境地球化学
函数p（f）和函数X（t）表达了同样的周期波动，两者实际上是等价的，只不过是从频域和时域两个不同角度来描述而已。称p（f）为X（t）的功率谱密度函数，简称谱密度。它不仅反映了X（t）中各固有分量的周期情况，还同时显示出这些周期分量在整体X（t）中各自的重要性。具体说，在X（t）中各周期分量的对应频率处，谱密度函数图应出现较明显的凸起，分量的振幅越大，峰值越高，对X（t）的整体影响也越大。
事实上，无论问题本身是否具有周期性或不确定性（如连续型随机过程或时间序列）都可以采用类似的方法在频域上加以描述，只是表示的形式和意义比上面要复杂得多。时间序列的谱分析方法就是要通过估计时间序列的谱密度函数，找出序列中的各主要周期分量，通过对各分量的分析达到对时间序列主要周期波动特征的把握。
根据谱分析理论，对一个平稳时间序列｛Xt｝，如果其自协方差函数R（k）满足
如何从实际问题所给定的时间序列 ｛Xt，t=1，2，…，n｝ 中估计出其谱密度或标准谱密度函数是谱分析要解决的主要问题。本书采用图基-汉宁（Tukey-Hanning）窗谱估计法。