图论算法与应用

A. 图论算法及其MATLAB实现的图书前言

图论算法广泛应用于物理、化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、控制论、网络理论、管理科学、社会科学等众多学科领域。随着这些学科的发展，特别是计算机科学的快速发展，又大大促进了图论和其他学科的发展。
图论算法是计算机科学的核心。近几年，随着强有力的MATLAB等数学软件的迅速发展，图论算法在数学和计算机等各学科方面的应用越来越广泛，从而使各学科的研究者越来越多地重视图论算法及其MATLAB实现和典型案例，而市场上又缺少这方面的指导性书籍。
本书将图论的基础知识、图论的着名问题以及相应的MATLAB程序代码和简单实例完美地结合在一起，力求语言简洁易懂，问题广泛有趣，算法科学，实例浅显，增强MATLAB实现的技巧性和操作性。读者可以通过简单案例，把图论的重要算法与MATLAB编程完美结合。
本书力求内容丰富，各章节相互联系，具备指导性书籍的系统性、科学性、实用性和引导性；同时，各章又相对独立，自成体系，为读者提供极大方便。
本书的创新之处在于，每一章均以着名实际问题为引入点，以图论算法为指导线，运用简单案例达到与MATLAB实现的完美结合，真正让各层次的读者学会运用图论理论解决实际问题，从而培养读者的图论思维，使读者惊叹图论方法的美妙与魅力。最后还为读者提供了当今图论标号方面等未解决的问题。
本书将在每一章节中给出着名图论的算法步骤及其一般MATLAB程序；同时，紧随每个案例分析，均给出解决问题的MATLAB源程序，这样对于初学者来说，具有很强的编程操作性。
本书是在中国地质大学（北京）王海英多年专业讲义的基础上重新修订编写而成，其中，山东体育学院体育运动学校的李传涛完成了本书程序的编写工作；中国科学院数学与系统科学院的黄强完成了本书全部程序的调试、修改和图形绘制等工作，

B. 机器学习算法和图论算法有什么不同

机器学习算法和图论算法最大的不同就是处理的数据量上的不同。
比如传统的一个道路规划问题，涉及到的对象在百数量级上是很正常的现象，而现在数据产生的速度太快了，数据太多了，对于一个网络优化问题可能涉及的对象是几个亿，比如facebook。即便是百万，十万对象的网络，比如约会网站吧，在这个数量级差不多，它会涉及到推荐算法，推荐的方法的话是用概率模型去做的，可以用机器学习的方法学习出一些结果。
机器学习主要在于解决问题的思路不同，态度更开放，图论算法就是针对一个对于全局有了很稳定认识的解决方法，比如一个线上的机器学习算法，它的预测结果直接影响新数据的产生。

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C. 图论算法的论证

有向无回路图又称为dag。对这种有向无回路图的拓扑排序的结果为该图所有顶点的一个线性序列，满足如果G包含(u,v)，则在序列中u出现在v之前（如果图是有回路的就不可能存在这样的线性序列）。一个图的拓扑排序可以看成是图的所有顶点沿水平线排成的一个序列，使得所有的有向边均从左指向右。因此，拓扑排序不同于通常意义上对于线性表的排序。
有向无回路图经常用于说明事件发生的先后次序，图1给出一个实例说明早晨穿衣的过程。必须先穿某一衣物才能再穿其他衣物（如先穿袜子后穿鞋），也有一些衣物可以按任意次序穿戴（如袜子和短裤）。
图中说明经拓扑排序的结点以与其完成时刻相反的顺序出现。因为深度优先搜索的运行时间为θ(V+E)，每一个v中结点插入链表需占用的时间为θ(1)，因此进行拓扑排序的运行时间θ(V+E)。
为了证明算法的正确性，我们运用了下面有关有向无回路图的重要引理。 有向图G无回路当且仅当对G进行深度优先搜索没有得到反向边。
证明：→：假设有一条反向边(u,v)，那么在深度优先森林中结点v必为结点u的祖先，因此G中从v到u必存在一通路，这一通路和边(u,v)构成一个回路。
←：假设G中包含一回路C，我们证明对G的深度优先搜索将产生一条反向边。设v是回路C中第一个被发现的结点且边(u,v)是C中的优先边，在时刻d[v]从v到u存在一条由白色结点组成的通路，根据白色路径定理可知在深度优先森林中结点u必是结点v的后裔，因而(u,v)是一条反向边。（证毕） Topological_Sort(G)算法可产生有向无回路图G的拓扑排序
证明
假设对一已知有问无回路图G=(V,E)运行过程DFS以确定其结点的完成时刻。那么只要证明对任一对不同结点u,v∈V，若G中存在一条从u到v的有向边，则f[v]<F[U]即可。考虑过程DFS(G)所探寻的任何边(U,V)，当探寻到该边时，结点V不可能为灰色，否则V将成为U的祖先，(U,V)将是一条反向边，和引理1矛盾。
因此，v必定是白色或黑色结点。若v是白色，它就成为u的后裔，因此f[v]<F[U]。若V是黑色，同样F[V]<F[U]。这样一来对于图中任意边(U,V)，都有F[V]<F[U]，从而定理得证。（证毕）

D. 求解：图论中常见的最短路径算法有几种都是什么

主要是有三种、、

第一种是最直接的贪心dijkstra算法、、可以利用堆数据结构进行优化、、缺点就是不能求有负权的最短路与判断负环、、

第二种是bellman-ford算法、、根据松弛操作的性质是可以来判断负环的、、时间复杂度是O(nm)的、、

第三种是SPFA算法、、把他单独拿出来作为一种算法并不是非常好的、、他的实质应该是上面的bellman-ford算法的队列优化时间复杂度更低、O(KE)、K的值约等于2、、

E. 图论算法的实际应用

图论算法是我们经常用来求解实际问题的一种方法，在数学建模的求解过程中也经常应用

F. 求《图论算法及其matlab实现》的PDF的完整版， 感激不尽

图论算法广泛地应用于物理、化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎所有学科领域。《图论重要算法的思想及其MATLAB实现》是一本很实用的入门书籍，本书系统介绍了图论重要算法的思想及其MATLAB实现。主要内容有：图论的基础知识；最短路 ；连通图；树；Euler图 和Hamilton图；匹配问题及其算法；网络中的流算法；最小费用流及其Busacker-Gowan迭代算法；图的染色。

G. 图论算法的教材

我想很多学习图论的人都知道J.A. Bondy和U.S.R. Murty着的《Graph Theory with Application》(Elsevier,1976)是图论教材中的经典，时至今日，仍不失为初学者较好的入门书。还记得兰州交通大学的张忠辅教授说过，国内第一届图论学会就是把大家集中起来学习邦迪的《Graph Theory with Application》，由此可见这本书对国内图论届的影响是如此之大。吴望名等人将其译成中文版本《图论及其应用》（北京：科学出版社，1984），1988年张克民等人编写了该书的参考答案《图论及其应用习题解答》（清华大学出版社，1988）。
在2008年J.A. Bondy和U.S.R. Murty出了新书《Graph Theory》(GTM 244, Springer, 2008), 大家可不妨将其看成是《Graph Theory with Application》的第二版，这本书在内容上做了重新调整，毕竟在第一版出版后的近30年里涌现出了很多新的结果，所以《Graph Theory》在内容上加进了一些新的结果，这本书我只是读了其中的几章，觉得写的非常棒，建议大家能够读读，这里也值得一提的是将第一版最后提出的50个问题进行了更新，并补充了一些新的问题。总之，我个人认为，《Graph Theory》的确是一部很优秀的图论教材。
中国科学技术大学出版社出版的《图论及其算法》，融有向图和无向图为一整体，系统地阐述了图论的基本概念、理论、方法及其算法，内容包括图的基本概念、Euler图与Hamilton图、图论算法、树及其应用、平面图、独立集与匹配、网络流和Petri网。 书中附有大量例题和习题，而且大部分习题有详细解答。 该书选材精炼全面，内容处理恰当且有新意，立论严谨，叙述条理清晰，语言流畅。 该书可用作高校计算机、电子、信息、管理、数学等专业本科生必修课教材，也可供相关专业的研究人员、教师及图论工作者参考。

H. 程序设计题二： 图论应用系统 1 问题描述 该系统要求实现有向图相关算法及其应用系统，包括邻接矩阵、完全

国家计算机四级考试大纲

基本要求

1、具有计算机及其应用的基础知识。

2、熟悉计算机操作系统、软件工程和数据库的原理及其应用。

3、具有计算机体系结构、系统组成和性能评价的基础及应用知识。

4、具有计算机网络和通信的基础知识。

5、具有计算机应用项目开发的分析设计和组织实施的基本能力。

6、具有计算机应用系统安全和保密知识。 考试内容

一、计算机系统组成及工作原理

1、计算机系统组成：

（1）计算机的发展。（2）计算机的分类及应用。（3）计算机硬件结构。（4）主要部件功能。（5）计算机软件的功能与分类。（6）系统软件与应用软件。

2、计算机工作原理:

（1）计算机机中数的表示。 （2）运算器。 （3）控制器。 （4）存储器。 （5）输入与输出系统。

3、计算机的主要性能：

（1）计算机系统性能指标。 （2）处理机指标。 （3）存储容量指标。 （4）I/O总线能力。 （5）系统通信能力。 （6）联机事务处理能力。 （7）软件支持。

二、数据结构与算法

1、基本概念：

（1）数据结构的基本概念。 （2）算法的描述与分析。

2、线性表：

（1）线性表的逻辑结构。 （2）线性表的顺序存储结构。 （3）线性表的链式存储结构。

3、数组：

（1）数组的定义与运算。（2）数组的顺序存储结构。 （3）矩阵的压缩存储。

4、栈与队列：

（1）栈的定义和运算。 （2）栈的存储结构。 （3）队列的定义和运算。 （4）链队列与循环队列。

5、串：

（1）串及其操作。 （2）串的存储结构。

6、树和二叉树：

（1）树的定义。 （2）二叉树的定义及性质。 （3）二叉树与树的转换。（4）二叉树的存储。（5）遍历二叉树与线索二叉树。

7、图：

（1）图及其存储结构。 （2）图的遍历。 （3）图的连通性。 （4）有向无环图。 （5）最短路径。 （6）拓扑排序。

8、查找：

（1）线性表查找。 （2）树形结构与查找。 （3）散列查找。

9、排序：

（1）插入排序。 （2）交换排序。 （3）选择排序。 （4）归并排序。 （5）基数排序。

10、文件组织：

（1）顺序文件。 （2）索引文件。 （3）散列文件。

三、离散数学

1、数理逻辑：

（1）命题及其符号化。 （2）命题公式及其分类。 （3）命题逻辑等值演算。 （4）范式。 （5）命题逻辑推理理论。 （6）谓词与量词。 （7）谓词公式与解释。 （8）谓词公式的分类。 （9）谓词逻辑等值演算与前束范式。 （10）谓词逻辑推理理论。

2、集合论：

（1）集合及其表示。 （2）集合的运算。 （3）有序对与笛卡尔积。 （4）关系及其表示法。 （5）关系的运算。 （6）关系的性质。 （7）关系的闭包。 （8）复合关系与逆关系。 （9）等价关系与偏序关系。 （10）函数及其性质。 （11）反函数与复合函数。

3、代数系统：

（1）代数运算及其性质。 （2）同态与同构。 （3）半群与群。 （4）子集与陪集。 （5）正规子群与商群。 （6）循环群与置换群。 （7）环与域。 （8）格与布尔代数。

4、图论：

（1）无向图与有向图。 （2）路、回路与图的连通性。 （3）图的矩阵表示。 （4）最短路径与关键路径。 （5）二部图。 （6）欧拉图与哈密尔顿图。 （7）平面图。 （8）树与生成树。 （9）根树及其应用。

四、操作系统

1、操作系统的基本概念：

（1）操作系统的功能。 （2）操作系统的基本类型。 （3）操作系统的组成。 （4）操作系统的接口。

2、进程管理：

（1）进程、线程与进程管理。 （2）进程控制。 （3）进程调度。 （4）进程通信。 （5）死锁。

3、作业管理：

（1）作业与作业管理。 （2）作业状态及其转换。 （3）作业调度。 （4）作业控制。

4、存储管理：

（1）存储与存储管理。 （2）虚拟存储原理。 （3）页式存储。 （4）段式存储。 （5）段页式存储。 （6）局部性原理与工作集概念。

5、文件管理：

（1）文件与文件管理。 （2）文件的分类。 （3）文件结构与存取方式。 （4）文件目录结构。 （5）文件存储管理。 （6）文件存取控制。 （7）文件的作用。

6、设备管理：

（1）设备与设备分类。 （2）输入输出控制方式。 （3）中断技术。 （4）通道技术。 （5）缓冲技术。 （6）设备分配技术与SPOOLing系统。 （7）磁盘调度。 （8）设备管理。

7、一种典型操作系统（DOS/Unix/Windows）的使用：

（1）DOS的特点与使用。 （2）UNIX的特点与使用。 （3）Windows的特点与使用。

五、软件工程

1、软件工程基本概念：

（1）软件与软件危机。 （2）软件生命周期与软件工程。 （3）软件开发技术与软件工程管理。 （4）软件开发方法与工具、环境。

2、结构化生命周期方法：

（1）瀑布模型。 （2）可行性研究与可行性研究报告。 （3）软件计划与进度安排。 （4）软件需求分析。 （5）数据流程图（DFD）、数据字典（DD）。 （6）软件需求说明书。 （7）系统设计。 （8）概要设计与详细设计。 （9）模块结构设计与数据结构设计。 （10）接口设计与安全性设计。 （11）系统设计说明书。 （12）程序设计。 （13）程序设计语言。 （14）结构化程序设计。

3、原型化方法：

（1）原型化的基本原理。 （2）原型化的生命周期。 （3）原型化的人员与工具。 （4）原型化的实施。 （5）原型化的项目管理。 （6）原型化方法与结构化方法的关系。

4、软件测试：

（1）软件测试基本概念。 （2）软件测试方法。 （3）软件测试计划。 （4）单元测试、集成测试与系统测试。 （5）测试用例设计。 （6）测试分析报告。

5、软件维护：

（1）软件可维护性。 （2）校正性维护。 （3）适应性维护。 （4）完善性维护。

6、软件开发工具与环境：

（1）软件开发工具。 （2）软件开发环境。 （3）计算机辅助软件工程（CASE）。

7、软件质量评价：

（1）软件质量的度量与评价模型。 （2）软件复杂性的度量。 （3）软件可靠性的评价。 （4）软件性能的评价。 （5）软件运行评价。

8、软件管理：

（1）软件管理职能。 （2）软件开发组织。 （3）软件计划管理。 （4）标准化管理。 （5）软件工程国家标准。 （6）软件配置管理。 （7）软件产权保护。

六、数据库

1、数据库基本概念：

（1）数据与数据模型。 （2）数据库体系结构。 （3）数据库管理系统与数据库系统。 （4）数据库工程与应用。

2、关系数据库：

（1）关系数据库的基本概念。 （2）关系数据模型。 （3）关系定义、关系模型、关系模式与关系子模式。 （4）数据操纵语言。 （5）关系代数。 （6）集合运算（并，差，交，笛卡尔积）与关系运算（投影，选择，连接）。 （7）关系演算。 （8）元组关系演算与域关系演算。 （9）数据库查询语言。 （10）SQL语言。

3、关系数据库设计理论：

（1）关系数据理论。 （2）函数依赖。 （3）关系模式分解。 （4）关系模式的范式。

4、数据库设计：

（1）数据库设计目标。 （2）数据库设计方法。 （3）数据库的设计步骤。 （4）数据库规划。 （5）需求分析。 （6）概念设计。 （7）逻辑设计。 （8）物理设计。 （9）数据库的实现与维护。

5、数据库的保护：

（1）数据库恢复。 （2）数据库的完整性。 （3）数据库的并发控制。 （4）数据库的安全性。

6、一种数据库管理系统（FoxPro/Oracle）应用：

（1）FoxPro DBMS的结构、特点及应用。 （2）Oracale DBMS的结构、特点及应用。

七、计算机体系结构

1、体系结构的基本概念：

（1）体系结构的定义。 （2）系统的功能层次。 （3）系统的分类。 （4）体系结构的继承与发展。 （5）系统的安全性。

2、指令系统：

（1）指令格式及其优化。 （2）指令系统的复杂化。 （3）RISC技术。 （4）MIPS与MFLOPS。

3、存储体系：

（1）存储层次。 （2）虚存工作原理。 （3）Cache工作原理。

4、通道及新型总线：

（1）I/O方式的发展。 （2）通道工作原理。 （3）EISA与MCA。 （4）局部总线：VFSA与PCI。

5、并行处理技术：

（1）流水线技术。 （2）超流水线与超标量技术。 （3）向量处理机。 （4）多机系统。

6、系统性能评价：

（1）性能评价的概念。 （2）测试程序的分类。 （3）Benchmark的举例。

八、计算机网络与通信

1、计算机网络的基本概念：

（1）网络的定义。 （2）网络的分类。 （3）网络的功能。 （4）网络拓扑。 （5）典型计算机网络组成。

2、数据通信技术：

（1）数据通信的基本概念。 （2）数据通信系统的组成。 （3）传输介质的类型与特点。 （4）数据传输方式。 （5）数据编码方式。 （6）同步方式。 （7）线路复用技术。 （8）数据交换方式。 （9）差错控制方法。

3、网络体系结构：

（1）网络体系结构的基本概念。 （2）ISO/OSIRM。 （3）物理层协议。 （4）数据链路层协议。 （5）网络层协议与X.25网层次。 （6）传输层协议。 （7）高层协议。

4、局域网技术：

（1）局域网拓扑。 （2）局域网传输介质。 （3）IEEE802模型与标准。 （4）CSMA/CD工作原理。 （5）Token Bus工作原理。 （6）Token Ring工作原理。 （7）FDDI工作原理。 （8）局部网互连与TCP/IP协议。 （9）局域网操作系统。 （10）局域网组网技术。 （11）局域网应用系统的安全性设计。

5、网络技术的发展：

（1）高速局域网。 （2）ISDN与B-ISDN。 （3）城域网。 （4）帧中继。 （5）ATM技术。 （6）智能大厦与网络综合布线技术。 （7）Clinent/Server的应用技术。 （8）ISO网络管理概念与标准。

上机测试内容

1、计算机操作能力。

2、C语言程序设计能力。

3、项目开发能力。

4、开发工具的使用能力。

上机测试说明

1、考试形式包括课堂笔试（180分钟）和上机测试（60分钟）。

2、试题包括选择题和论述题两种类型。

3、笔试中的选择题用中、英两种文字命题，其中英文题约占三分之一，论述题用中文命题

I. 理解图论算法有什么意义

恩，这个……恩，你是说理解图论算法为什么要那样做么？

恩，有两种观点，一种是看尽量多的算法，第二种是理解透每个算法。个人支持第二种。。。

恩，比如说么，对于最小生成树算法，如果你知道最小生成树上的每条边都是某个割上的最小边的话，就会有很多应用。又如，由最短路算法构造出不等式，差分约束就是一个经典的应用。
如此，还有很多……网络流什么的我就不枚举了……
反正后期自己研究出一些新的算法很多证明都是要在理解的基础上。

J. 数学建模应用的数学建模十大算法

1、蒙特卡罗算法,该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题，通常使用Lindo、Lingo软件实现。
4、图论算法，这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）
7、网格算法和穷举法，网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法，很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要。
9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）。
10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）。