幂对算法
❶ 快速幂算法原理
快速幂
顾名思义，快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log2N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。
中文名
快速幂
外文名
Fast Power
时间复杂度
log(n)
性质
快速算底数的n次幂
快速
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实现
代码比较
原理
快速幂算法的核心思想就是每一步都把指数分成两半，而相应的底数做平方运算。这样不仅能把非常大的指数给不断变小，所需要执行的循环次数也变小，而最后表示的结果却一直不会变。
让我们先来看一个简单的例子：
3^10=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3
3^10=(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)*(3*3)
3^10=(3*3)^5
3^10=9^5
9^5=（9^4）*（9^1）
9^5=（9^4）*（9^1）
9^5=（6561^1）*(9^1)
以下以求a的b次方来介绍[1]
把b转换成二进制数。
该二进制数第i位的权为
例如
11的二进制是1011
因此，我们将a11转化为算
实现
快速幂可以用位运算来实现
b and 1{也就是取b的二进制最低位(即第0位)判断b是否为奇数，是则为1}
b shr 1{就是去掉b的二进制最低位(即第0位)}
C++实现为
b & 1//取b二进制的最低位，判断和1是否相同，相同返回1，否则返回0，可用于判断奇偶
b>>1//把b的二进制右移一位，即去掉其二进制位的最低位
以下为pascal的实现：
var a,b,n:int64;
function f(a,b,n:int64):int64;
var t,y:int64;
begin
t:=1; y:=a;
while b<>0 do begin
if(b and 1)=1 then t:=t*y mod n;
y:=y*y mod n;{这里用了一个技巧,y*y即求出了a^(2^(i-1))不知道这是什么的看原理
a^(2^(i-1))*a^(2^(i-1))=a^(2^i)
而且一般情况下a*b mod c =(a mod c)*(b mod c) mod c}
b:=b shr 1;{去掉已经处理过的一位}
end;
exit(t);
end;
begin
read(a,b,n);{n是模}
writeln(f(a,b,n));
end.
[1]
以下为C的实现，为了方便与pascal的对照，变量全部与上面相同.可以对照查看。
递归版：[2]
ll pow(ll a,ll i){
if (i==0) return 1;
int temp=pow(a,i>>1);
temp=temp*temp%MOD;
if (i&1) temp=(ll)temp*a%MOD;
return temp%MOD;
}
非递归版：
ll f(ll a,ll b,ll n){
int t,y;
t=1; y=a;
while (b!=0){
if (b&1==1) t=t*y%n;
y=y*y%n; b=b>>1;
}
return t;
}
❷ 关于幂运算的算法
2^39=(2^10)^4/2
❸ 幂运算所有的运算法则。
1、同底数幂的乘法：
aᵐ·aⁿ·aᵖ=aᵐ⁺ⁿ⁺ᵖ(m, n, p都是正整数)。
2、幂的乘方(aᵐ)ⁿ=a(ᵐⁿ)，与积的乘方(ab)ⁿ=aⁿbⁿ
3、同底数幂的除法：
（1）同底数幂的除法：aᵐ÷aⁿ=a（ᵐ⁻ⁿ）(a≠0, m, n均为正整数，并且m>n)
（2）零指数：a⁰=1 (a≠0)；
（3）负整数指数幂：a⁻ᵖ= (a≠0, p是正整数），当a=0时没有意义，0⁻²，0⁻²都无意义。
3、负指数幂
当底数n≠0时，由于n⁰÷nᵃ=1÷nᵃ=1/nᵃ，根据幂的运算规则可知，n⁰÷nᵃ=n⁰⁻ᵃ=n⁻ᵃ=1/nᵃ
因此定义负指数幂如下：a⁻ᵖ=1/aᵖ，a≠0。
❹ 求取曲线的幂函数的算法公式
y=αx^(-β)对两边同取以x为底的log
logx(y)=logx(a)+b
ln(y)/ln(x)=ln(a)/ln(x)+b
ln(y)=ln(a)+b*ln(x)
令X=ln(x), Y=ln(y)
有Y=b*X+ln(a)
之后按线性拟合方法拟合
❺ 幂模运算（算法）的小问题
换一种形式
把和换成1+4*（1+4*（1+4*（1+4*（。。。））））
然后最内层的小括号的数据对10007取余
慢慢退到最外层就是结果了
如果直接先把和求出来 就溢出了
❻ 实对称距阵指数幂的算法
如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身(AT = A) ，则称A为实对称矩阵。
如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且aij=aji i,j=1,2,...,n（即
这儿的T表示转置），则称A为实对称矩阵。
特点
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.K重特征值必有K个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λE-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
5.实对称矩阵的所有特征值都是实数。
❼ 次方的快速算法
次方有两种快速算法：
第一种是直接用乘法计算，例：3⁴=3×3×3×3=81。
第二种则是用次方阶级下的数相乘，例：3⁴=9×9=81
次方最基本的定义是：设a为某数，n为正整数，a的n次方表示为aⁿ，表示n个a连乘所得之结果，如2⁴=2×2×2×2=16。次方的定义还可以扩展到0次方和负数次方等等。
负数次方
由5的0次方继续除以5就可以得出5的负数次方。
例如： 5的0次方是1 （任何非零数的0次方都等于1。)
5的-1次方是0.2 1÷ 5 =0.2
5的-2次方是0.04 0.2÷5 =0.04
因为5的-1次方是0.2 ，所以5的-2次方也可以表示为0.2×0.2=0.04
5的-3次方则是0.2×0.2×0.2=0.008
由此可见，一个非零数的-n次方=这个数的倒数的n次方。
(7)幂对算法扩展阅读：
0的次方
0的任何正数次方都是0，例：0⁵=0×0×0×0×0=0
0的0次方无意义。
一个数的0次方
任何非零数的0次方都等于1。原因如下：
通常代表3次方
5的3次方是125，即5×5×5=125
5的2次方是25，即5×5=25
5的1次方是5，即5×1=5
由此可见，n≧0时，将5的（n+1）次方变为5的n次方需除以一个5，所以可定义5的0次方为：
5 ÷ 5 = 1。
❽ 高中数学幂的算法
❾ 幂的算法
int fun(int a, int b)
{
int result = 1;
for(int i = 0; i < b; i++)
result *= a;
return result;
}
❿ 求幂函数算法怎么写最快
用二分求幂的时间复杂度是 log(n)，采用位运算的二分法应该是最快的。网络搜“二分求幂算法”有大量代码，就不复制粘贴了。