续古摘奇算法

‘壹’ 纵横图古代记载

东汉末年，郑玄注解《易纬·乾凿度》时提及九宫数，即三阶幻方，这是中国历史上记载最早的九宫图。九宫图在《礼记·明堂篇》及《数术记遗》中也有提及，其布局与龟文之说相吻合。古人曾在龟甲或骨上用火灼出窝槽，以求吉祥之兆，九宫图的出现也是源于这种传统的神秘文化。

南宋时期，杨辉在其《续古摘奇算法》中开始使用“纵横图”这一名称，详述了三至十阶的幻方及其变体，共十三种。杨辉列举的方形纵横图共十三幅，包括洛书数（三阶幻方）、四四图（四阶幻方）、五五图（五阶幻方）、六六图（六阶幻方）、七七图（七阶幻方）、六十四图（八阶幻方）、九九图（九阶幻方）及百子图（十阶幻方）。他特别提到了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法，即九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。

元代时，阿拉伯学者扎马鲁丁为安西王推算历法期间制作的“东阿拉伯系统”数数码的铁制六阶幻方，以及上海浦东陆家嘴明嘉靖陆深墓中发现的元代玉质可佩挂的四阶幻方，都进一步证明了纵横图在这一时期的存在和应用。

明代时，明王文素《算学宝鉴》记载了多种纵横图，程大位《算法统宗》中载有纵横图14种，而清方中通《数度衍》卷首之一“九九图说”后附有纵横图14种，与杨辉所着《续古摘奇算法》中的记载颇为相似。张潮《心斋杂俎》卷下“算法图补”增补了若干种纵横图，梅成《增删算法统宗》淘汰了与河图洛书及纵横图相关的内容后，纵横图的使用约有一百多年。

清初时，传教士将《三三等数图》列表，列出了三至十阶的纵横图八种，并详细阐述了作图方法。19世纪英国人傅兰雅主编的《格致汇编》载有四阶纵横图，这是1514年A.度勒所刻十六字方图的再版。自14世纪起，欧洲开始研究纵横图的构造方法，而中国人杜亚泉等从1900年起探讨纵横图的造法，但多沿用西方的理论。

将从1至n平方的自然数排列成纵横各有个数的正方形，使每行、每列、有时还包括每条主对角线上的 个数的和都等于同一个数m（2m=n立方+n），称这样的排列为阶的纵横图，亦称阶幻方。

‘贰’ 九宫图算法的介绍

所有的基数的平方宫图进行排列。古代计量数字的方法之一。在中国古典文献中记载了洛书的传说：公元前 23世纪大禹治水之时，一只巨大的神龟出现于黄河支流洛水中，龟甲上有9种花点的图案，分别代表这9个数，而3行、3列以及两对角线上各自的数之和均为15，世人称之为洛书。中国汉朝的数术记遗中，称之为九宫算，又叫九宫图.宋数学家杨辉着《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命 名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左七右三，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。