prim算法的复杂度
A. 关于prim算法的时间复杂度
Prim算法的时间复杂度与网中的边数无关，适合于稠密图。
通过邻接矩阵图表示的简易实现中，找到所有最小权边共需O（V）的运行时间。使用简单的二叉堆与邻接表来表示的话，普里姆算法的运行时间则可缩减为O(ElogV)，其中E为连通图的边数，V为顶点数。
如果使用较为复杂的斐波那契堆，则可将运行时间进一步缩短为O(E+VlogV)，这在连通图足够密集时（当E满足Ω（VlogV）条件时），可较显着地提高运行速度。
(1)prim算法的复杂度扩展阅读：
算法描述：
1、输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2、初始化：Vnew= {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew= {},为空；
3、重复下列操作，直到Vnew= V：
在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4、输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
B. 利用Prim（普里姆）算法 构造最小生成树 程序
算法同样是解决最小生成树的问题。
其算法为：在这n个点中的相通的边进行排序，然后不断地将边添加到集合中（体现了贪心的算法特点），在并入集合之前，必须检查一下这两点是不是在一个集合当中，这就用到了并查集的知识。直到边的集合达到了n-1个。
与prim算法的不同：prim算法为单源不断寻找连接的最短边，向外扩展，即单树形成森林。而Kruskal算法则是不断寻找最短边然后不断将集合合并，即多树形成森林。
复杂度的不同：prim算法的复杂度是O(n^2),其中n为点的个数。Kruskal算法的复杂度是O(e*loge)，其中e为边的个数。两者各有优劣，在不同的情况下选择不同的算法。
Prim算法用于求无向图的最小生成树
设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。
其算法的时间复杂度为O(n^2)
Prim算法实现：
（1）集合：设置一个数组set(i=0,1,..,n-1),初始值为 0,代表对应顶点不在集合中（注意：顶点号与下标号差1）
（2）图用邻接阵表示，路径不通用无穷大表示，在计算机中可用一个大整数代替。
{先选定一个点，然后从该点出发，与该点相连的点取权值最小者归入集合，然后再比较在集合中的两点与其它各点的边的权值最小者，再次进入集合，一直到将所有的点都归入集合为止。}
C. prim算法
Prim算法是一种用于寻找图的最小生成树的算法。最小生成树指的是连接所有节点的边的集合，且所有边的权重之和最小。Prim算法的基本思想是从一个节点出发，逐渐构建生成树，每次选择当前生成树到未访问节点中边权最小的边，添加到生成树中，直到所有节点都被访问过。最终得到的生成树是连接所有节点的最小权重树。该算法的时间复杂度通常为O，其中V是图中的节点数量。
Prim算法的具体步骤如下：
1. 初始化：从图中的任意一个节点开始，将该节点加入到生成树集合中。
2. 选择边：在所有连接已访问节点和未访问节点的边中，选择权重最小的边，将该边及其未访问的节点加入到生成树中。
3. 重复上述步骤，直到所有节点都被访问过。在此过程中，始终保持生成树中的边权之和最小。
Prim算法的核心在于每次选择边时，都需要找到当前生成树到未访问节点中边权最小的边。为了实现这一点，可以使用邻接矩阵或优先队列来存储边的权重信息，并在每次选择时查找最小的边。由于该算法需要多次查找最小边，因此时间复杂度较高，但在稀疏图中表现较好。
总的来说，Prim算法是一种贪心算法，通过逐步构建最小生成树来寻找图的最小连通子图。它在网络设计、电路设计等领域有广泛应用，可以帮助人们找到连接所有节点的最低成本路径。
此外，Prim算法还可以用于解决一些其他问题，如寻找连通区域的边界等。它的应用场景十分广泛，是图论和算法领域的重要知识之一。
D. 什么是Prim算法
Prim算法
Prim算法用于求无向图的最小生成树
设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。
其算法的时间复杂度为O(n^2)
Prim算法实现：
（1）集合：设置一个数组set[i](i=0,1,..,n-1),初始值为 0,代表对应顶点不在集合中（注意：顶点号与下标号差1）
（2）图用邻接阵表示，路径不通用无穷大表示，在计算机中可用一个大整数代替。
参考程序
/* Prim.c
Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
All Rights Reserved.
*/
/* The impact of the situation of articulation point exists can be omitted in Prim algorithm but not in Kruskal algorithm */
#include "stdio.h"
#define maxver 10
#define maxright 100
int main()
{
int G[maxver][maxver],in[maxver]=,path[maxver][2];
int i,j,k,min=maxright;
int v1,v2,num,temp,status=0,start=0;
restart:
printf("Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n");
scanf("%d",&num);
if(num>maxver||num<0)
{
printf("Error!Please reinput!\n");
goto restart;
}
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
{
if(j==k)
G[j][k]=maxright;
else
if(j<k)
{
re:
printf("Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n",j+1,k+1);
scanf("%d",&temp);
if(temp>=maxright||temp<-1)
{
printf("Invalid input!\n");
goto re;
}
if(temp==-1)
temp=maxright;
G[j][k]=G[k][j]=temp;
}
}
for(j=0;j<num;j++)
{
status=0;
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<maxright)
{
status=1;
break;
}
if(status==0)
break;
}
do
{
printf("Please enter the vertex where Prim algorithm starts:");
scanf("%d",&start);
}while(start<0||start>num);
in[start-1]=1;
for(i=0;i<num-1&&status;i++)
{
for(j=0;j<num;j++)
for(k=0;k<num;k++)
if(G[j][k]<min&&in[j]&&(!in[k]))
{
v1=j;
v2=k;
min=G[j][k];
}
if(!in[v2])
{
path[i][0]=v1;
path[i][1]=v2;
in[v1]=1;
in[v2]=1;
min=maxright;
}
}
if(!status)
printf("We cannot deal with it because the graph is not connected!\n");
else
{
for(i=0;i<num-1;i++)
printf("Path %d:vertex %d to vertex %d\n",i+1,path[i][0]+1,path[i][1]+1);
}
return 1;
}
Prim算法。
设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
①、把v0放入U。
②、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
③、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行②。
其算法的时间复杂度为O(n^2)
参考程序
//Prim 算法 读入顶点数(n)、边数(m)，边的起始点和权值 用邻接矩阵储存
//例如
//7 12 (7个顶点12条边)
//1 2 2
//1 4 1
//1 3 4
//2 4 3
//2 5 10
//3 4 2
//4 5 7
//3 6 5
//4 6 8
//4 7 4
//5 7 6
//6 7 1
#include <stdio.h>
#include <string.h>
int main()
{
int m , n;
int a[201][201] , mark[201] , pre[201] , dist[201];
int s , t , w;
int i , j , k , min , tot;
freopen("Prim.txt" , "r" , stdin);
//读入数据
memset(a , 0 , sizeof(a));
scanf("%d %d" , &n , &m);
for (i = 0; i < m; i ++)
{
scanf("%d %d %d" , &s , &t , &w);
a[s][t] = w; a[t][s] = w;
}
//赋初值
memset(mark , 0 , sizeof(mark));
memset(pre , 0 , sizeof(pre));
memset(dist , 9999 , sizeof(dist));
dist[1] = 0;
//Prim
for (i = 1; i <= n; i ++)
{
min = 9999; k = 0;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (dist[j] < min)) {min = dist[j]; k = j;}
if (k == 0) break;
mark[k] = 1;
for (j = 1; j <= n; j ++)
if ((mark[j] == 0) && (a[k][j] < dist[j]) && (a[k][j] > 0))
{
dist[j] = a[k][j];
pre[j] = k;
}
}
tot = 0;
for (i = 1; i <= n; i ++) tot += dist[i];
printf("%d\n" , tot);
return 0;
}