变分的运算法则

㈠ 牛顿有哪些成就

1、力学成就

第一定律（即惯性定律）

任何一个物体在不受任何外力或受到的力平衡时（Fnet=0），总保持匀速直线运动或静止状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。

第二定律

①牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。力和加速度同时产生、同时变化、同时消逝。

②F=ma是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。

③根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。

第三定律

表达式F=-F'（F表示作用力，F'表示反作用力，负号表示反作用力F'与作用力F的方向相反）

万有引力

牛顿是万有引力定律的发现者，并且在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。

经典力学体系

牛顿把地球上物体的力学和天体力学统一到一个基本的力学体系中，创立了经典力学理论体系。正确地反映了宏观物体低速运动的宏观运动规律，实现了自然科学的第一次大统一。

牛顿流体

牛顿指出流体粘性阻力与剪切率成正比。流体部分之间由于缺乏润滑性而引起的阻力，如果其他都相同，与流体部分之间分离速度成比例。

2、数学成就

牛顿与莱布尼茨独立发展出了微积分学，微积分的出现，成了数学发展中除几何与代数以外的另一重要分支——数学分析，并进一步进进发展为微分几何、微分方程、变分法等等，这些又反过来促进了理论物理学的发展。

数学上，牛顿的一项被广泛认可的成就是广义二项式定理，它适用于任何幂。此外，牛顿发现了牛顿恒等式、牛顿法，分类了立方面曲线（两变量的三次多项式），为有限差理论作出了重大贡献，并首次使用了分式指数和坐标几何学得到丢番图方程的解。

3、光学成就

牛顿通过三棱镜实验得出，白光是由不同颜色（即不同波长）的光混合而成的，不同波长的光有不同的折射率。在可见光中，红光波长最长，折射率最小；紫光波长最短，折射率最大。牛顿的这一重要发现成为光谱分析的基础，揭示了光色的秘密。

发明反射式望远镜。

4、热学成就

牛顿确定了冷却定律，即当物体表面与周围有温差时，单位时间内从单位面积上散失的热量与这一温差成正比。

5、经济学成就

牛顿最早提出这金本位制度 。最早实行金币本位制的国家是英国，1717年着名的物理学家艾萨克·牛顿在担任英国铸币局局长期间将每盎司黄金的价格固定在3英镑17先令10.5便士。1816年，英国通过了《金本位制度法案》，从法律的形式承认了黄金作为货币的本位来发行纸币。

(1)变分的运算法则扩展阅读

艾萨克·牛顿爵士，英国皇家学会会长，英国着名的物理学家，网络全书式的“全才”，着有《自然哲学的数学原理》、《光学》。

他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。

在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律。在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。

在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。

在经济学上，牛顿提出金本位制度。

㈡ 变分原理的变分定义

变分法是研究泛函极值的工具。泛函是指定义域为无限维空间，即曲线空间的函数。例如，在欧氏平面上，曲线的长的函数就是泛函的一个重要例子。泛函可以看作是曲面空间到实数集的任意映射。
函数的微分定义为 \( f(x+\Delta x)-f(x)=f'(x)\Delta x+o(\Delta x) \)，那么泛函的微分（即变分）有类似的定义：\( \Phi(\gamma+h)-\Phi(\gamma)=F+R \)，其中 \( F \) 为 \( h \) 的函数，\( R=o(h^2) \)。需要注意的是，这里 \( h \) 不一定是无穷小量。
泛函是可微的，其微分（变分）是参考文献如下：
1. 钱伟长，《变分法及有限元（上册）》，科学出版社，1980年8月第一版。
2. Shen Xiaoming(沈孝明)，Mixed Compatible Element and Mixed Hybrid Incompatible Element Variational Methods in Dynamic of Viscous Barotropic Fluids，Proceedings of the second international conference on fluid mechanics (Beijing,1993):511-516; APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS (English Edition)，Vol.15，No.6，JUN.1994：561-569。
3. 沈孝明，粘性流动的最大功率消耗原理不成立——论自然条件不参加变分兼论变分的定义和运算法则，北京大学学报，1990，26(3)：291-293。
4. Shen Xiaoming(沈孝明)，Deformation Power and Complementary Power and so Forth of Compressible Viscous Fluid Flows and Their Applications in Variational Principles，《Some new trends on fluid mechanics and theoretical physics》，Chairman of Editorial committee: C.C.Lin(林家翘)，Peking University Press，First Edition 1993:305-307。
5. 沈孝明，粘性流体动力学有限元变分原理，上海力学，1997，18(3)：201-206。
6. 沈孝明，非线性弹性体大变形问题的竖缺雀新广义变分原理，上海力学，1988，9(4)：66-72。
此外，以下是一些相关参考文献：
1. Venables, John, The Variational Principle and some applications. Dept of Physics and Astronomy, Arizona State University, Tempe, Arizona (Graate Course: Quantum Physics)。
2. Williamson, Andrew James, The Variational Principle-- Quantum monte carlo calculations of electronic excitations. Robinson College, Cambridge, Theory of Condensed Matter Group, Cavendish Laboratory. September 1996. (Dissertation of Doctor of Philosophy)。
3. Tokunaga, Kiyohisa, Variational Principle for Electromagnetic Field. Total Integral for Electromagnetic Canonical Action, Part Two, Relativistic Canonical Theory of Electromagnetics, Chapter VI。

㈢ 证明1+1=2是什么东东

涐扪媞嗵俗 噫図丄の讲。1+1=2
伱角手指僦岢苡看诎来！
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歌德巴赫猜想僦媞研究这𠮶.

数学上，还有另一个非常有名的“（1+1）”，它就是着名的哥德巴赫猜想。尽管听起来很神奇，但它的题面并不费解，只要具备小学三年级的数学水平就就能理解其含义.原来，这是18世纪时，德国数学家哥德巴赫偶然发现，每个不小于6的偶数都是两个素数之和。例如3+3=6； 11+13=24。他试图证明自己的发现，却屡战屡败。1742年，无可奈何的哥德巴赫只好求助当时世界上最有权威的瑞士数学家欧拉，提出了自己的猜想。欧拉很快回信说，这个猜想肯定成立，但他无法证明

【哥德巴赫猜想的来源】
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1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：
"我的问题是这样的：
随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：
77=53+17+7；
再任取一个奇数，比如461，
461=449+7+5，
也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是一个别的检验。"
欧拉回信说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。
不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：
2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4.
若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。
但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。
现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想
【哥德巴赫猜想的小史】
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1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。
从此，这道着名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。
到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为九个质数的积加上九个质数的积，简称9+9。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。
目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。
■哥德巴赫猜想证明进度相关
在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:
1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。
1965年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。
从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自"陈氏定理"诞生至今的40多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。
■布朗筛法思路相关资料
布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,…;3j和(2n-3j)，j= 2,3,…;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是质数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明'至少还有一对自然数未被筛去'。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。
然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时，所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系，就可导出的"类别组合"为1+1，1+1 与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2 两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2 与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。

由于素数本身的分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系，偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗？不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来，人们的努力证明了这一点，最后选择放弃，另找途径。于是出现了用别的方法来证明哥德巴赫猜想的人们，他们的努力，只使数学的某些领域得到进步，而对哥德巴赫猜想证明没有一点作用。
哥德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系，表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式，是不存在的。它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢？个别和一般在质上同一，量上对立。矛盾永远存在。哥德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论。

【哥德巴赫猜想意义】
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“用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”（引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）
关于哥德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了，我要说一下为什么现代数学界对哥德巴赫猜想的兴趣不大，以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对哥德巴赫猜想研究兴趣很大。
事实上，在1900年，伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告，提出了23个挑战性的问题。哥德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题，这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想，若黎曼猜想成立，很多问题就都有了答案，而哥德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立，若单纯的解决了这两个问题，对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决哥德巴赫猜想。
例如：一个很有意义的问题是：素数的公式。若这个问题解决，关于素数的问题应该说就不是什么问题了。
为什么民间数学家们如此醉心于哥猜，而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢？
一个重要的原因就是，黎曼猜想对于没有学过数学的人来说，想读明白是什么意思都很困难。而哥德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。
数学界普遍认为，这两个问题的难度不相上下。
民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题，一般认为，初等数学无法解决哥德巴赫猜想。退一步讲，即使那天有一个牛人，在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想，有什么意义呢？这样解决，恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。
当年柏努力兄弟向数学界提出挑战，提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程，约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程，雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂，但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看，雅克布的方法是最有意义和价值的。
同样，当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理，但却不公布自己的方法。别人问他为什么，他回答说：“这是一只下金蛋的鸡，我为什么要杀掉它？”的确，在解决费尔马大定理的历程中，很多有用的数学工具得到了进一步发展，如椭圆曲线、模形式等。
所以，现代数学界在努力的研究新的工具，新的方法，期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论。