邻接种子算法

㈠ [图] 最小生成树-Prime算法和Kruskal算法

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

4 .输出：使用集合 V _new 和 E _new 来描述所得到的最小生成树。

下面对算法的图例描述

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

这里记顶点数v，边数e

邻接矩阵:O(v ² )
邻接表:O(e * log ₂ v)

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有 Prime 算法和 Boruvka 算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和 Boruvka 算法不同的地方是，Kruskal 算法在图中存在相同权值的边时也有效。

图例描述：

对图的顶点数 n 做归纳，证明 Kruskal 算法对任意 n 阶图适用。

归纳基础：

n = 1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设 Kruskal 算法对 n ≤ k 阶图适用，那么，在 k + 1 阶图 G 中，我们把最短边的两个端点 a 和 b 做一个合并操作，即把 u 与 v 合为一个点 v'，把原来接在 u 和 v 的边都接到 v' 上去，这样就能够得到一个 k阶图 G'(u ,v 的合并是 k + 1 少一条边)，G' 最小生成树 T' 可以用Kruskal 算法得到。

我们证明 T' + {<u,v>} 是 G 的最小生成树。

用反证法，如果 T' + {<u,v>} 不是最小生成树，最小生成树是 T，即W(T) < W(T' + {<u,v>})。显然 T 应该包含 <u,v>，否则，可以用<u,v> 加入到 T 中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T - {<u,v>}，是 G' 的生成树。所以 W(T-{<u,v>}) <= W(T')，也就是 W(T) <= W(T') + W(<u,v>) = W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T' + {<u,v>}是 G 的最小生成树，Kruskal 算法对 k+1 阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal 算法得证。

e * log ₂ e (e为图中的边数)

㈡ 写一个算法，判断对给定有向图中的指定顶点是否至少存在一条有向边指向它。

【答案】：(1)数据结构
采用有向图的邻接表(出边表)表示法。
(2)思路
图有3种表示方法：出边表(邻接表的一种)、入边表(邻接表的一种)和邻接矩阵。相应的有3种算法。设n为顶点数，m为边数。
对于出边表，顺序搜索一遍边即可，时间代价为O(m)。
对于入边表，判断指定顶点的边表头指针是否非空即可，时间代价为O(1)。
对于邻接矩阵，搜索矩阵中指定顶点对应的列，判断其中是否有非0元即可，时间代价为O(n)。
以出边表为例，给出一个算法如下。
(3)算法
int is_end(GraphList g,int k){
/*判断图g中是否有边指向第k个结点(0＜=k＜=g.n-1)*/
EdgeList p;
inti;
for(i=0;i＜g.n;i++){
p=g.vexs[i].edgelist;
while(p!=NULL){
if(p-＞endvex==i)return 1;
p=p-＞nextedge;
}
}
return 0;
}
(4)代价分析
该算法的时间复杂度为O(m)。

㈢ NI Vision：二值图像连通域标记算法

前面说到，要使用Labwindows + NI Vision（IMAQ Vision）这套商用开发框架来做数图课设。很明显，这套虚拟仪器开发平台由NI Instrument（美国国家仪器公司）开发的。大名鼎鼎的Labview软件就是这个公司开发的。相比较而言，Labwindows使用ANSI C开发，但应用场景是差不多的。

在做课程作业的时候，遇到了一个很有趣的应用。输入是米粒，比背景灰度要低，目的是输出米粒的颗数、面积、周长和孔数，这是工业上的一个很常见的应用。具体处理过程是二值化后使用低通滤波，并计算各种性质。

界面设计如下，可以看到米粒的详细情况。

让我感兴趣的，是通过怎样的算法能够得到米粒的数量？之前曾经用过OpenCV中找最大外界矩形这个函数，但没有具体了解算法实现。直觉告诉我原理应该是相似的。

可以看到，每一个米粒之间都是不连通的。这里就就提出了一个概念。 连通区域（Connected Component） 是指图像中相邻并有相同像素值的图像区域。 连通区域分析（Connected Component Analysis,Connected Component Labeling） 是指将图像中的各个连通区域找出并标记。

二值图像分析最重要的方法就是连通区域标记，它是所有二值图像分析的基础，它通过对二值图像中白色像素（目标）的标记，让每个单独的连通区域形成一个被标识的块，进一步的我们就可以获取这些块的轮廓、外接矩形、质心、不变矩等几何参数。如果要得到米粒的数量，那么通过连通区域分析（这里是二值图像的连通区域分析），就可以得到标记的数量，从而得到米粒的数量。

下面这幅图中，如果考虑4邻接，则有3个连通区域，8邻接则是2个。

从连通区域的定义可以知道，一个连通区域是由具有相同像素值的相邻像素组成像素集合，因此，我们就可以通过这两个条件在图像中寻找连通区域，对于找到的每个连通区域，我们赋予其一个唯一的 标识（Label） ，以区别其他连通区域。

连通区域分析的基本算法有两种：1）Two-Pass两便扫描法 2）Seed-Filling种子填充法 。

两遍扫描法（Two-Pass），正如其名，指的就是通过扫描两遍图像，就可以将图像中存在的所有连通区域找出并标记。

说了一堆数学语言，其实用图很好理解

种子填充方法来源于计算机图形学，常用于对某个图形进行填充。它基于区域生长算法。至于区域生长算法是什么，可以参照我的这篇 文章 。

同样的，上动图

NI Vision 中的算子定义如下

OpenCV中也有相应的算子

这里参照其他博客实现一下Two-Pass算法，Seed-Filling算法就偷懒不搞了。

Reference:
OpenCV实现图像连通组件标记与分析
OpenCV-二值图像连通域分析
数字图像处理技术 ——邓继忠（我的任课老师）