小波包算法

A. 小波变换 多分辨率分析 和小波包分析的区别

这分类真让人五体投地，作吧，作到没人玩了就老实了！

小波变换的概念是相对于FT这种大波变换提出的，最开始专指CWT，它是脱胎于有局部化分析能力的STFT，STFT完成的是WT中的平移概念，后来加入尺度伸缩就变为了CWT。

CWT在实际分析使用中功能不强，不够完备，于是很多搞数学的研究者就搞了个mallat算法，将信号可以分成低频的逼近和高频的细节来分析，其中高频的细节的作用与CWT类似，多了个低频的逼近信息，并且还完善了它们的重构理论，这就是传说中的DWT。小波变换是个很宽泛的概念，从最开始的CWT到DWT，再到SWT等，目前凡是与小波概念沾点边的都被扯进了小波变换的范畴，有些玩滤波器的，和小波滤波器沾点边也叫小波变换，其实和CWT，DWT等经典算法定义连一点关系都没有。

在DWT中由于mallat算法理论比较易于计算和推导，尤其与滤波器挂钩后，DWT的计算再也不用像CWT那样计算积分。因此，容易计算逆变换（DWT的重构），而CWT是很难计算逆变换的，需要其它数学条件，有时甚至从数学上就没有逆变换，那么得到的CWT小波系数就没法转换为有实际意义的信号，只能大致分析一下奇异点特征等简单的信息。再就是用了mallat算法容易将一维推广到二维甚至高维，在数学领域很常见的方法都是张量积，这也是DWT数学理论较完备和计算较便利的结果，所以DWT的应用远远多于CWT，多分辨分析多指的就是DWT。

当把多层分解的DWT中的每层细节小波系数再分解一次，就得到了所谓的WP。它可以分解得到更多的高频信息，所以更多用于高频信息的研究，如去噪。拿一个三层WP举例，

DWT能够得到A1，AA2，AAA3和D1，DA2，DAA3，而WP却能得到以上所有的信息，均分S的整个频带。

B. 正交小波包分解算法及其频域表现

这里仍以V₀分解成3层的空间分解及其数据A⁰的分解为例来说明小波包分解算法。下面将用U₀表示V₀，称A⁰是表现U₀的数据。用正交小波分解中的算子H和G，按图6-34的方法形成小波包数据，图6-35则表示了与图6-34相对应的小波包子空间分解结构关系。图中的子空间标记，例如U_1，2和U_2，2，其下标分别表示分解层次与子空间的顺序，则U₀的第一层分解，有2个子空间，第2层分解有4个子空间，第3层分解共有8个子空间。

图6-34 小波包数据分解关系

图6-35 小波包数据分解结构

弄清图6-35中各子空间的相互关系是重要的。由于正交小波分解中算子H和G的作用，在第1层分解中，有

U₀=U_1，1⊕U_1，2，U_1，1⊥U_1，2

类比可知第2层分解中，有

U_1，1=U_2，1⊕U_2，2；U_2，1⊥U_2，2；U_1，2=U_2，3⊕U_2，4，U_2，3⊥U_2，4；

同样类比，可知在第3层分解中有

U_3，j=U_2，2j-1⊕U_2，2j，U_2，2j-1⊥U_2，2j，

j=1，2，3，4。

另外，在同一尺度上的所有子空间都是正交的，例如，U_2，1、U_2，2、U_2，3、U_2，4是相互正交的，U_3，1…U_3，8是相互正交的。还有一些子空间是相互不正交的，例如，U₀、U_1，1、U_2，2和U_3，4它们互相不正交，U₀、U_1，2、U_2，3和U_3，5之间也互相不正交。总之，把H和G在正交小波分解中的作用类比到小波包情形，是不难弄清各子空间之间的正交性的。

弄清小波包子空间所对应的频带也是很重要的。从子空间对应频带相互不重叠的表现也可以了解子空间之间的正交性质。图6-36仅表示了U_1，2所对应频带的分解情形。

图6-36 关于图6-35小波子空间所对应的频带分析

总之，小波包可以从多个方面去理解。从数据结构关系来看，它是一种二分树结构；从数据分解关系来看，它是一种递推算法；从空间分解关系来看，它把正交小波分解的子空间做进一步细分；从频域划分来看，它将有限频带细分为若干更细频带的组合。

图6-37 小波包重构算法中的子空间组合及其所对应的时频窗

C. 有哪些常见的模式识别算法

模式识别算法是数据科学和人工智能领域中不可或缺的一部分，用于从数据中提取有意义的模式和特征。在Python环境下，基于机器学习的算法广泛应用于模式识别任务中。以下是一些常见的模式识别算法及其应用案例：

1. 多层感知机（MLP）：这是一种前馈神经网络，通过多层非线性变换对数据进行建模。在往复式压缩机故障识别中，MLP可以用于预测和分类出口阀泄漏、止逆阀泄漏、轴承损伤等故障。

2. 决策树：基于树结构的预测模型，通过特征选择和递归分割对数据进行分类。在压缩机故障识别中，决策树可以对各种故障类型进行快速准确的诊断。

3. 随机森林：多个决策树的集合，通过投票机制提高预测准确性和抗过拟合能力。在压缩机故障识别中，随机森林能够综合多个决策树的判断，提高识别精度。

4. 高斯过程：一种概率性模型，用于预测和优化连续函数。在信号分类任务中，如基于1D-CNN、2D-CNN、LSTM和SVM的一维信号分类，高斯过程可以捕捉信号的复杂结构。

5. AdaBoost：一种提升算法，通过加权平均多个弱学习器来提升模型性能。在信号分类任务中，AdaBoost能够对不同特征和模型进行优化，提高分类准确率。

6. 朴素贝叶斯：基于贝叶斯定理和特征条件独立假设的分类算法。在轴承数据集分类任务中，朴素贝叶斯可以快速处理高维特征空间，实现高效分类。

7. 小波包：一种时频分析工具，用于信号和图像的多尺度分析。在轴承故障识别、图像识别和地震信号处理中，小波包可以提取关键特征，辅助机器学习模型进行精准识别。

8. 卷积神经网络（CNN）：专门用于图像识别的深度学习模型，通过卷积层和池化层学习图像的局部特征。在图像识别研究中，CNN可以实现从低级特征到高级概念的逐层抽象，提高识别准确性。

9. 机器学习：泛指各种用于自动识别模式和预测的算法。在时间序列分析、地震信号处理等任务中，机器学习方法可以捕获数据的动态变化和复杂关系，实现有效识别。

这些模式识别算法各有特点和应用场景，通过结合不同方法的优势，可以解决复杂的数据分析和模式识别问题。在实际应用中，选择合适的算法取决于数据特性和任务需求。