距离最短算法

Ⅰ 算法 | 常用距离算法详解

算法详解：常用距离算法解析

在计算空间中两点之间的距离时，除了常规的直线距离，还有几种重要的距离算法，包括欧氏距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离。这些距离各有特点，适用于不同的场景。下面逐一介绍它们的定义、公式以及应用场景。

在二维和三维空间中，欧氏距离是最直观的，由两点坐标 [x1, y1] 和 [x2, y2] 计算，公式为 sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。例如，点 A(1,2) 和 B(3,4) 的欧氏距离为 sqrt((3-1)^2 + (4-2)^2)。三维空间中的公式同样适用。欧氏距离常用于测量实际空间中的距离，但计算时可能受浮点数精度影响。

曼哈顿距离在棋盘格中表现明显，为两点横纵坐标的绝对值之和。例如，A(1,1) 和 B(3,4) 的曼哈顿距离为 |3-1| + |4-1|。它有非负性、统一性、对称性和三角不等性等特性。在网格图中，曼哈顿距离代表最短路径。

切比雪夫距离取两点横纵坐标的绝对值的最大值。例如，A(1,1) 和 B(3,4) 的切比雪夫距离为 max(|3-1|, |4-1|)。在国际象棋中，国王与王后的移动距离即为切比雪夫距离。在点只能到达特定邻居的网格图中，也是切比雪夫距离的体现。

曼哈顿距离与切比雪夫距离之间存在联系，通过坐标系变换可以相互转化。在某些问题中，巧妙地将距离类型转换能简化计算。例如，将切比雪夫距离问题转化为曼哈顿距离，便于求解。

以上三种距离算法在编程题中常见，如 [Luogu]P3958 和 P5098。通过理解和掌握它们，你可以在实际问题中灵活运用。

Ⅱ dijkstra算法

Dijkstra算法，一种由荷兰科学家E.W.Dijkstra于1959年发明的寻路算法，被誉为最短路径求解的首选方法，优化后的复杂度可达O((m+n)log(m))。然而，其不兼容负权边问题。

所谓负权边，即边的权重为负值，可以理解为在路径中遇到这种边后，实际成本会降低。例如，一条从A点到B点的边，权重为-1，表示通过这条边，从A点到B点的实际花费会减少1。

算法的关键步骤是松弛操作，其核心原则是依据“三角形两边之和大于第三边”定律，更新两点间的最短路径。具体操作为，对于每条边e(v,w)，将源点s到w的距离更新为源点s到v的距离加上v到w的距离的较小值。这样，算法不断调整路径选择，以确保找到从源点s到任一顶点w的最短路径。

算法执行流程可直观理解为从起点出发，逐步扩展其可达范围，不断寻找距离最短的未访问顶点。以A点作为起点，首先访问A点，然后寻找与A相邻未访问的顶点B、D，计算它们到A点的距离。接着，将距离最短的顶点D加入已访问集合S中，并从D出发继续扩展可达范围，寻找未访问的邻居顶点B、C、E，计算它们到A点的距离。在D的邻居中，B和D到A点的距离相同，都加入结果集。然后，从B或C出发，但由于B已无未访问邻居，转向C，寻找其未访问邻居E，并将E加入结果集中。

通过使用链式前向星与BFS实现该算法，BFS在循环中将所有邻居放在一起比较到源点的距离，需要额外的排序步骤，例如优先队列来优化。

对于无权图，最短路径定义为经过边数最少的路径。若不熟悉链式前向星，使用边集数组表示图也十分简便。

Ⅲ 最短路径算法

Dijkstra算法，A*算法和D*算法

Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的 A* 算法和 D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。

大概过程：
创建两个表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
1． 访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。
2． 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。
3． 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。
4． 重复2，3，步。直到OPEN表为空，或找到目标点。

提高Dijkstra搜索速度的方法很多，常用的有数据结构采用Binary heap的方法，和用Dijkstra从起始点和终点同时搜索的方法。

A*（A-Star)算法是一种启发式算法，是静态路网中求解最短路最有效的方法。

公式表示为： f(n)=g(n)+h(n),
其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，
g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，
h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。

保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：
估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
如果 估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。
估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。
例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。
conditions of heuristic
Optimistic (must be less than or equal to the real cost)
As close to the real cost as possible
主要搜索过程：
创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
遍历当前节点的各个节点，将n节点放入CLOSE中，取n节点的子节点X,->算X的估价值->
While(OPEN!=NULL)
{
从OPEN表中取估价值f最小的节点n;
if(n节点==目标节点) break;
else
{
if(X in OPEN) 比较两个X的估价值f //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( X的估价值小于OPEN表的估价值 )
更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值
if(X in CLOSE) 比较两个X的估价值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 )
更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值
if(X not in both)
求X的估价值;
并将X插入OPEN表中; //还没有排序
}
将n节点插入CLOSE表中;
按照估价值将OPEN表中的节点排序; //实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。
}

A*算法和Dijistra算法的区别在于有无估价值，Dijistra算法相当于A*算法中估价值为0的情况。

动态路网，最短路算法 D*A* 在静态路网中非常有效（very efficient for static worlds），但不适于在动态路网，环境如权重等不断变化的动态环境下。

D*是动态A*（D-Star,Dynamic A*） 卡内及梅隆机器人中心的Stentz在1994和1995年两篇文章提出，主要用于机器人探路。是火星探测器采用的寻路算法。

主要方法：
1.先用Dijstra算法从目标节点G向起始节点搜索。储存路网中目标点到各个节点的最短路和该位置到目标点的实际值h,k（k为所有变化h之中最小的值,当前为k=h。每个节点包含上一节点到目标点的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4（7）。则1到4的最短路为1-2-5-4。
原OPEN和CLOSE中节点信息保存。
2.机器人沿最短路开始移动，在移动的下一节点没有变化时，无需计算，利用上一步Dijstra计算出的最短路信息从出发点向后追述即可，当在Y点探测到下一节点X状态发生改变，如堵塞。机器人首先调整自己在当前位置Y到目标点G的实际值h(Y)，h(Y)=X到Y的新权值c(X,Y)+X的原实际值h(X).X为下一节点(到目标点方向Y->X->G），Y是当前点。k值取h值变化前后的最小。
3.用A*或其它算法计算，这里假设用A*算法,遍历Y的子节点，点放入CLOSE,调整Y的子节点a的h值，h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a),比较a点是否存在于OPEN和CLOSE中，方法如下：
while()
{
从OPEN表中取k值最小的节点Y;
遍历Y的子节点a,计算a的h值 h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a)
{
if(a in OPEN) 比较两个a的h值
if( a的h值小于OPEN表a的h值 )
{ 更新OPEN表中a的h值;k值取最小的h值
有未受影响的最短路经存在
break;
}
if(a in CLOSE) 比较两个a的h值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( a的h值小于CLOSE表的h值 )
{
更新CLOSE表中a的h值; k值取最小的h值;将a节点放入OPEN表
有未受影响的最短路经存在
break;
}
if(a not in both)
将a插入OPEN表中; //还没有排序
}
放Y到CLOSE表；
OPEN表比较k值大小进行排序；
}
机器人利用第一步Dijstra计算出的最短路信息从a点到目标点的最短路经进行。

D*算法在动态环境中寻路非常有效，向目标点移动中，只检查最短路径上下一节点或临近节点的变化情况，如机器人寻路等情况。对于距离远的最短路径上发生的变化，则感觉不太适用。