数列极限运算法则

① 数列极限四则运算法则是什么意思

数列极限的四则运算法则如下：

当数列{an}，{bn}分别以a，b为极限时，数列{an±bn}的极限是a±b，数列{anbn}的极限是ab；当bbn不等于0时，{an/bn}的极限是a/b；当函数f，g分别以a，b为极限时，函数f±b的极限是a±b，函数fg的极限是ab；当bg不等于0时，{f/g}的极限是a/b。

数列极限的四则运算法则证明方法如下：

定理：设{an}与{bn}为收敛数列，则

（1）lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;

（2）lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，则lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

证：设lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，则ε>0，正整数N，

使当n>N时，有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.

（1）则|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;

∵an-bn=an+(-bn)，

所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.

（2）由有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn|<M.

∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.

∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

② 数列极限的运算法则

数列极限的运算法则如下：

前提条件：

各数列均有极限；

相加减时必须是有限个数列才能用法则。

极限的三大性质：

极限的唯一性、极限的有界性、极限的保序性。

极限的定义（描述性的）：

如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即 无限地接近于0），a叫数列的极限，可记做当n→+∞时，an→a。

an无限接近于a的方式有三种：

递增的数列，an无限接近于a，即an是在常数a的左边无限地趋近于a；

递减数列，an无限地趋近于a，即an是在常数a的右边无限地趋近于a；

摆动数列，an无限地趋近于a，即an是在无限摆动的过程中无限地趋近于a。

严格定义：

即ε－N定义：对于任何正数ε（不论它多么小），总存在某正数N，使得当n＞N时，一切an都满足 ，a叫数列的极限。

“xn以a为极限”的几何解释：

将常数a及数列各项x1,x2,...,xn,...在数轴上找出相应的点，再在数轴上作开区间(aε,a+ε)。

当n>N时，满足|xn−a|<ε，亦即满足a−ε<xn<a+ε。也就是说从N+1开始，以后无穷多项都落在开区间(a−ε,a+ε)内。