动态规划01背包算法
‘壹’ java语言,背包问题,从Excel表中读取数据
基本概念
问题雏形
01背包题目的雏形是:
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
从这个题目中可以看出,01背包的特点就是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
其状态转移方程是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
对于这方方程其实并不难理解,方程之中,现在需要放置的是第i件物品,这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包,而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值,比较两者的价值,得出最大的价值存入现在的背包之中。
理解了这个方程后,将方程代入实际题目的应用之中,可得
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = v; j >= c[i]; j--)//在这里,背包放入物品后,容量不断的减少,直到再也放不进了
f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i]);
问题描述
求出获得最大价值的方案。
注意:在本题中,所有的体积值均为整数。
算法分析
对于背包问题,通常的处理方法是搜索。
用递归来完成搜索,算法设计如下:
int make(int i, int j)//处理到第i件物品,剩余的空间为j 初始时i=m , j=背包总容量
{
if (i == 0) return 0;
if (j >= c[i])//(背包剩余空间可以放下物品 i )
{
int r1 = make(i - 1, j - w[i]);//第i件物品放入所能得到的价值
int r2 = make(i - 1, j);//第i件物品不放所能得到的价值
return min(r1, r2);
}
return make(i - 1, j);//放不下物品 i
}
这个算法的时间复杂度是O(n^2),我们可以做一些简单的优化。
由于本题中的所有物品的体积均为整数,经过几次的选择后背包的剩余空间可能会相等,在搜索中会重复计算这些结点,所以,如果我们把搜索过程中计算过的结点的值记录下来,以保证不重复计算的话,速度就会提高很多。这是简单的“以空间换时间”。
我们发现,由于这些计算过程中会出现重叠的结点,符合动态规划中子问题重叠的性质。
同时,可以看出如果通过第N次选择得到的是一个最优解的话,那么第N-1次选择的结果一定也是一个最优解。这符合动态规划中最优子问题的性质。
解决方案
考虑用动态规划的方法来解决,这里的:
阶段:在前N件物品中,选取若干件物品放入背包中
状态:在前N件物品中,选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值
决策:第N件物品放或者不放
由此可以写出动态转移方程:
我们用f[i][j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在已用空间为 j 的背包里所能获得的最大价值
f[i][j] = max(f[i - 1][j - W[i]] + P[i], f[i - 1][j]);//j >= W[ i ]
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入已用的容量为c的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。
这样,我们可以自底向上地得出在前M件物品中取出若干件放进背包能获得的最大价值,也就是f[m,w]
算法设计如下:
int main()
{
cin >> n >> v;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> c[i];//价值
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> w[i];//体积
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[i][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= v; j++)
if (j >= w[i])//背包容量够大
f[i][j] = max(f[i - 1][j - w[i]] + c[i], f[i - 1][j]);
else//背包容量不足
f[i][j] = f[i - 1][j];
cout << f[n][v] << endl;
return 0;
}
由于是用了一个二重循环,这个算法的时间复杂度是O(n*w)。而用搜索的时候,当出现最坏的情况,也就是所有的结点都没有重叠,那么它的时间复杂度是O(2^n)。看上去前者要快很多。但是,可以发现在搜索中计算过的结点在动态规划中也全都要计算,而且这里算得更多(有一些在最后没有派上用场的结点我们也必须计算),在这一点上好像是矛盾的。
‘贰’ 用动态规划算法怎样求解01背包问题
动态规划主要解决的是多阶段的决策问题。
01背包中,状态为背包剩余的容量,阶段是每一个物品,决策是是否选择当前的物品。
所以用动态规划来解决是非常贴切的。
我们设f[V]表示已经使用容量为V时所能获得的最大价值,w[i]表示i物品的质量,c[i]表示i物品的价值。
for(inti=1;i<=n;i++)
for(intj=V;j>=w[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
这便是所谓的一个状态转移方程。
f[j]表示在已经使用容量为j时的最大价值,f[j-w[i]]表示在已经使用容量为j-w[i]时的最大价值。
f[j]可以由f[j-w[i]]这个状态转移到达,表示选取w[i]这个物品,并从而获得价值为c[i]。
而每次f[j]会在选与不选中决策选出最优的方案。
从每一个物品,也就是每一个阶段的局部最优推出最后的全局最优值。这样就解决了01背包问题