graham凸包算法

⑴ 多边形快速2D凸包算法(Melkman's Algorithm)

Melkman的算法是一种无需预先排序点的2D凸包计算方法，针对平面单连通多边形。该算法在1987年由Melkman提出，以简化先前复杂算法，如1983年Graham & Yao修正的Sklansky算法。

算法流程如下：

• 输入多边形S={P0, P1, ..., Pn}


• 使用双端队列存储处理过的顶点形成凸包，记为Φk = {Dbot ... Dtop}


• 遍历每个顶点Pk，检查其相对于凸包的关系：
  
  
  
  • 如果Pk在凸包内，不做操作
  
  
  • 如果Pk在凸包外，删除队列中位于新凸包内部的点，然后将Pk分别添加到队列首尾
  
  
  
  

算法的时间复杂度为O(n)，空间复杂度也是O(n)。每个顶点最多被添加到队列两端两次，删除操作最多一次，每次操作涉及常数时间的isLeft判断。在最理想情况下，算法仅需2n次测试和4次队列操作。

以下是算法的伪代码示例：

尽管有其他算法存在，但Melkman算法因其简洁性和效率，被认为不太可能被超越。

⑵ 计算几何算法快速入门（一）：导言

欢迎踏入计算几何的世界，这是一扇通向高效问题解决的大门，特别适合那些对数学、C++和数据结构有所掌握的你。我们的指南将围绕Mark de Berg等大师的《计算几何算法与应用》展开，这里，我们不再局限于几何的直观，而是聚焦于算法如何在实际问题中游刃有余，比如在游戏引擎（Unity3D）、CAD/CAE/CAM（土木与机械设计）和GIS等领域大显身手。

计算几何的核心理念是，通过算法处理几何对象，尽管现实中的精度受限于浮点数的特性，但这并不妨碍我们用它来解决复杂问题。想象一下，二维凸包——这个最小的包含n个点的凸集合，就像用橡皮筋拉出的包围圈，它揭示了计算几何的核心逻辑。

让我们深入探讨几个关键概念。首先，凸包问题：getPolygonByLines函数在构建多边形时，可能会因为多余的边而出现错误。这要求算法具备鲁棒性，即使面对细微的误差，也要尽可能生成接近真实凸包的多边形。例如，递增式算法通过排序和逐个添加点，通过向量叉乘判断点之间的关系，确保决策的准确性。

代码示例：在判断点的转向时，我们有checkTurnRight函数，而在构建上凸包时，我们执行排序、添加点，并在遇到三点共线时执行剔除和转向判断。

对于下凸包，其求解过程与二维凸包相似，都是基于排序和扫描，时间复杂度取决于排序算法的选择。经典的递增式算法，如Andrew算法（1979年Graham扫描的优化版本），以其简洁高效而广受欢迎，是学习计算几何的绝佳起点。当然，还有其他算法如数值稳定的、低时间复杂度的，甚至是高维扩展的，它们各有特色，适合根据实际需求进一步探索。

总的来说，计算几何算法不仅仅是一门技术，它是一把解开几何问题的钥匙，让你在实际应用中游刃有余。现在，你已经掌握了入门的要领，准备好了迎接挑战，深入这个充满无限可能的领域了吗？

⑶ 凸包的发展历史,急需，越详细越好，谢谢！！！！

⒈对于一个集合D，D中任意有限个点的线性组合的全体称为D的凸包。 ⒉对于一个集合D，所有包含D的凸集之交称为D的凸包。 可以证明，上述两种定义是等价的 概念
1 点集Q的凸包（convex hull）是指一个最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。右图中由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。 2 一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包问题了。这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用一根绳子把他们尽量紧地圈起来，并且为凸边形，这就是凸包了。编辑本段平面凸包求法常见求法
2.0 Graham's Scan法求解凸包问题
概念 凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基网络：凸包。 这个算法是由数学大师葛立恒（Graham）发明的，他曾经是美国数学学会（AMS）主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会（IJA）主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~） 问题 给定平面上的二维点集，求解其凸包。 过程 ⒈ 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>；与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。 ⒉ 线段<H,K>；一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K,C>；也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K,D>；才会在凸包上，所以将线段<K,C>；排除，C点不可能是凸包。 ⒊ 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为pn + 1，上一点为pn，再上一点为pn - 1。顺时针扫描时，如果向量<pn - 1,pn>；与<pn,pn + 1>；的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。 在上图中，加入K点时，由于线段<H,K>；相对于<H,C>；为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K,D>；相对<H,K>；为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。 复杂度 这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O⑴。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn）。后面的扫描过程复杂度为O(n），因此整个算法的复杂度为O(nlgn）。 ⒉1凸包最常用的凸包算法是Graham扫描法和Jarvis步进法。 对于一个有三个或以上点的点集Q，过程如下： 计算点集最右边的点为凸包的顶点的起点，如上图的P3点。 Do For i = 0 To 总顶点数 计算有向向量P3->Pi If 其余顶点全部在有向向量P3->Pi的左侧或右侧，则Pi点为凸包的下一顶点 Pi点加入凸包列表 GoTo 1 End If Next Exit Do 1: Loop 此过程执行后，点按极角自动顺时针或逆时针排序，只需要按任意两点的次序就可以了。而左侧或右侧的判断可以用前述的矢量点积性质实现。
特殊算法
⒉2求凸包有很多方法，不过最适合OIer和ACMer的估计还是Graham's Scan这个方法了。它的大致方法是这样的：首先，找到所有点中最左边的（y坐标最小的），如果y坐标相同，找x坐标最小的；以这个点为基准求所有点的极角（atan2(y-y0,x-x0）），并按照极角对这些点排序，前述基准点在最前面，设这些点为P[0]..P[n-1]；建立一个栈，初始时P[0]、P[1]、P[2]进栈，对于P[3..n-1]的每个点，若栈顶的两个点与它不构成“向左转”的关系，则将栈顶的点出栈，直至没有点需要出栈以后将当前点进栈；所有点处理完之后栈中保存的点就是凸包了。 如何判断A、B、C构成的关系不是向左转呢？如果b-a与c-a的叉乘小于0就不是。a与b的叉乘就是a.x*b.y-a.y*b.x。 上面的这个Graham的实现比我原来按照USACO里的课文写得简单多了，主要是它通过简单的预处理保证了P[0]、P[1]以及P[n-1]肯定是凸包里的点，这样就可以避免在凸包“绕回来”的时候繁杂的处理。
中心法
先构造一个中心点，然后将它与各点连接起来，按斜率递增的方法，求出凸包上部；再按斜率递减的方法，求出凸包下部。
水平法
从最左边的点开始，按斜率递增的方法，求出凸包上部；再按斜率递减的方法，求出凸包下部。水平法较中心法减少了斜率无限大的可能，减少了代码的复杂度。编辑本段代码例代码一
（在编辑器中将"_ "(下划线+空格）替换成两个空格即可编译； 注意要去掉开通的双字节中文空格，蛋疼的网络。）

⑷ 凸包平面凸包求法

在计算几何中，凸包（Convex Hull）是一个重要概念，它是指二维平面上给定点集最外层的凸多边形。Graham's Scan算法是求解这个问题的经典方法，由数学家Graham发明，他同时也是多个学术组织的主席。（这位科学家才华横溢，不仅在数学领域有建树，还涉足杂技艺术。）

该算法步骤如下：

1. 首先，选择所有点中y坐标最小的点H（如果有多解，选x坐标最小的），并排除坐标相同的点。然后对其他点与H构成的向量按照它们与x轴正方向的夹角（不需计算夹角，仅用向量模判断）进行排序，从大到小（或从小到大）进行扫描。例如，如图所示，经过排序后点的添加顺序为H, K, C, D, L, F, G, E, I, B, A, J，接着进行逆时针（或顺时针）扫描。


2. 线段总是凸包的一部分，加入C后，可能需要调整。例如，尽管是凸包，但不是，因为加入D后，才是。当添加新点时，需要检查是否改变之前线段的旋转方向，若改变，则之前点可能不包含在凸包内，通过向量叉积判断。

整个过程持续到所有点都遍历完毕，即得到凸包。算法的时间复杂度至少为O(n log n)，空间复杂度为O(1)（直接在原数据上运算）。

除了Graham's Scan，还有Jarvis步进法和一些特殊算法，如中心法和水平法，它们各有优劣。Graham's Scan因其简洁性和对大部分点集的适用性，通常被认为是OIer和ACMer的最佳选择。

⑸ chan绠楁硶鏄浠涔堟剰镐濓纻

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