算法实现排列组合

1. 数学排列组合公式算法

数学排列组合公式主要包括排列和组合两种类型。排列是从n个不同元素中取出m个元素按一定的顺序排成一列，它的数目通常用符号Pₙₘ或P来表示。计算公式为Pₙₘ = n × × ... × 。组合是从n个不同元素中取出m个元素排成一列或成一组，不考虑其顺序，它的数目通常用符号Cₙₘ或C来表示。计算公式为Cₙₘ = n × × ... × /[m × × ... × 2 × 1]。也即Cₙₘ=n!/[!]。这是计算排列组合的基本公式和算法。

解释如下：

排列的计算公式：

排列是从n个不同元素中取出m个元素进行排序。比如从1到5这五个数中取出三个数进行排序，其排列数为P₅₃，表示从5个数中取3个数的所有可能的排序方式。计算时，从第一个数开始，它可以是任意数，因此有5种选择；第二个数在剩下的数中选择，有4种选择；以此类推，可以得到最终的排列公式为5×4×3。这个计算考虑了每一个元素的位置顺序。

组合的计算公式：

组合与排列类似，也是从n个不同元素中取出m个元素，但不考虑其顺序。比如从上述的1到5这五个数中取出三个数组成一个组合，不考虑这三个数字的顺序。计算组合时，我们不需要考虑元素之间的顺序，因此要对排列的结果进行除序处理，即将结果除以一个数的全序。组合公式中的除法操作体现了这一点，因为我们不再关心所选元素的排列方式，只需知道选取了多少个元素即可。因此，组合的计算公式为Pₙₘ除以m的阶乘。通过这种方式，我们可以准确地计算出不考虑顺序的组合数量。

2. 排列组合公式及排列组合算法

排列组合公式

排列组合公式/排列组合计算公式

公式P是指排列，从N个元素取M个进行排列。

公式C是指组合，从N个元素取M个进行组合，不进行排列。

N-元素的总个数

M参与选择的元素个数

！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1

从N到数M个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-m+1);

因为从n到（n-m+1)个数为n－(n-m+1)＝m

举例：

Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P(3,9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）

Q2:有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？

A2:213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1

3. 排列组合算法

1、排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。

2、定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。

3、从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

4、从n个不宽培核同元素中运中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

5、用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色。从6种颜色中取出慎掘4种进行排列。