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逆矩阵算法

发布时间: 2024-08-03 07:55:42

1. 广义逆矩阵的计算方法

广义逆矩阵的计算方法大致可分为三类:以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法,迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的非凡方法。
以A+的计算为例。若A是一个秩为r的m×n阶非零矩阵,记作(图6),,有满秩分解A=F·G,其中(图7),则(图8),即将广义逆矩阵的计算化为通常逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解等方法实现满秩分解,然后求出A+。若A有奇异值分解A=UDV*,其中U、V为m阶和n阶酉矩阵,(图9)是m×n阶矩阵,∑是r阶对角阵,对角元(图10)是A的r个非零奇异值(AA*的非零特征值的平方根),则A+=VD+U*,其中(图11)是n×m阶矩阵。也可用豪斯霍尔德变换先将 A化为上双对角阵J0=P*AQ,然后再对J0使用QR算法化为矩阵D=G*J0h,于是A=(PG)D(Qh)*,故A+1=(Qh)D+(PG)*。设λ1是AA*的最大非零特征值,若0<α<2/λ1,则计算A+的一个迭代法是x0=αA*,xn+1=(2I-Axn),当n→∞时,xn收敛于A+。
格雷维尔逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1,2,…,n),A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k=2,3,…,n),则(图12),式中(图13)(图14)。
1955年以后,出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70年代还出版了一些专着和会议录,指出广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用。

2. 矩阵初等变换,有什么。简便算法吗

记住基本的分块矩阵求逆公式

在这里的A就是二阶单位矩阵E

其逆矩阵还是自身

B为常数-6,其逆为-1/6

C为3 0

于是-B^-1 CA^-1等于1/2 0

所以代入之后得到整个逆矩阵为

1 0 0

0 1 0

1/2 0 -1/6

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