排序算法复杂度分析

⑴ 快速排序的算法复杂度分析

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快速排序的算法复杂度分析
以下是快排的java算法：

大家都知道快排的时间复杂度是O(n*ln[n])，那么这个复杂度是如何计算出来的呢？

最好的情况下，每次划分对一个记录定位后，要记录的左侧子序列与右侧子序列的长度相同。在具有n个记录的序列中，一次划分需要对整个待划分序列扫描一遍，所需的时间为O(n)。

设 是对n个记录的序列进行排序的时间，每次划分后，正好把划分区域分为长度相等的连个子序列，显然T(0)=T(1) =1,则有：

最坏的情况下，待排序的记录序列正序或逆序，每次划分只能得到一个比上一次划分少一个记录的子序列，（另一个子序列为空）。此时，必须经过n-1次递归调用才能把所有记录定位，而且第i趟划分需要经过n-i次比较才能找个才能找到第i个记录的位置，因此时间复杂度为

平均情况下，设轴值记录的关键码第k小（1≤k≤n）,则有：

由上式可推出如下两式：

两式相减,然后两边同除以n(n+1)得

又因为f(n)单调递减，单调有界数列极限定理，所以f(n)有界

此数称为欧拉常数，

约为 0.57721566490153286060651209

所以

所以

**如果有何处不当，请不吝赐教，一定多加完善。谢谢 **

参考资料：

【1】《算法设计与分析》第二版 王红梅

⑵ 快速排序算法在平均情况下的时间复杂度为 求详解

时间复杂度为O(nlogn) n为元素个数
1. 快速排序的三个步骤：
1.1. 找到序列中用于划分序列的元素
1.2. 用元素划分序列
1.3. 对划分后的两个序列重复1,2两个步骤指导序列无法再划分
所以对于n个元素其排序时间为
T(n) = 2*T(n/2) + n （表示将长度为n的序列划分为两个子序列，每个子序列需要T(n/2)
的时间，而划分序列需要n的时间）
而 T(1) = 1 （表示长度为1的序列无法划分子序列，只需要1的时间即可）
T(n) = 2^logn + logn * n （n被不断二分最终只能二分logn次（最优的情况,每次选取
的元素都均分序列））
= n + nlogn
因此T(n) = O(nlogn)
以上是最优情况的推导，因此快速排序在最优情况下其排序时间为O(nlogn),通常平均情况
我们也认为是此值。
在最坏情况下其会退化为冒泡排序，T(n) = T(n - 1) + n (每次选取的元素只能将序列划分为
一段，即自身是 最小元素或最大元素)
因此T(n) = n * (n-1) / 2 相当于O(n^2)

⑶ 排序算法的时间复杂度

所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。排序算法，就是如何使得记录按照要求排列的方法。排序算法在很多领域得到相当地重视，尤其是在大量数据的处理方面。

一个优秀的算法可以节省大量的资源。在各个领域中考虑到数据的各种限制和规范，要得到一个符合实际的优秀算法，得经过大量的推理和分析。

空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。

而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了，因为每次递归都要存储返回信息。一个算法的优劣主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面衡量。

(3)排序算法复杂度分析扩展阅读：

排序算法经过了很长时间的演变，产生了很多种不同的方法。对于初学者来说，对它们进行整理便于理解记忆显得很重要。每种算法都有它特定的使用场合，很难通用。因此，我们很有必要对所有常见的排序算法进行归纳。

排序大的分类可以分为两种：内排序和外排序。在排序过程中，全部记录存放在内存，则称为内排序，如果排序过程中需要使用外存，则称为外排序。下面讲的排序都是属于内排序。

内排序有可以分为以下几类：

(1)、插入排序：直接插入排序、二分法插入排序、希尔排序。

(2)、选择排序：直接选择排序、堆排序。

(3)、交换排序：冒泡排序、快速排序。

(4)、归并排序

(5)、基数排序

⑷ “二分法插入排序”、“快速排序”、“归并排序”和“堆排序”的时间复杂度分别是多少

排序算法
所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。 分类 在计算机科学所使用的排序算法通常被分类为： 计算的复杂度（最差、平均、和最好表现），依据串行（list）的大小（n）。一般而言，好的表现是O。(n log n)，且坏的行为是Ω(n2)。对于一个排序理想的表现是O(n)。仅使用一个抽象关键比较运算的排序算法总平均上总是至少需要Ω(n log n)。 记忆体使用量（以及其他电脑资源的使用）
稳定度：稳定排序算法会依照相等的关键（换言之就是值）维持纪录的相对次序。也就是一个排序算法是稳定的，就是当有两个有相等关键的纪录R和S，且在原本的串行中R出现在S之前，在排序过的串行中R也将会是在S之前。 一般的方法：插入、交换、选择、合并等等。交换排序包含冒泡排序（bubble sort）和快速排序（quicksort）。选择排序包含shaker排序和堆排序（heapsort）。 当相等的元素是无法分辨的，比如像是整数，稳定度并不是一个问题。然而，假设以下的数对将要以他们的第一个数字来排序。 (4, 1) (3, 1) (3, 7) (5, 6) 在这个状况下，有可能产生两种不同的结果，一个是依照相等的键值维持相对的次序，而另外一个则没有： (3, 1) (3, 7) (4, 1) (5, 6) (维持次序) (3, 7) (3, 1) (4, 1) (5, 6) (次序被改变)
不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地时作为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个物件间之比较，就会被决定使用在原先资料次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。 排列算法列表 在这个表格中，n是要被排序的纪录数量以及k是不同键值的数量。
稳定的
冒泡排序（bubble sort） — O(n2)
鸡尾酒排序 (Cocktail sort, 双向的冒泡排序) — O(n2)
插入排序 （insertion sort）— O(n2)
桶排序 （bucket sort）— O(n);
需要 O(k) 额外 记忆体
计数排序 (counting sort) — O(n+k); 需要 O(n+k) 额外 记忆体
归并排序 （merge sort）— O(n log n); 需要 O(n) 额外记忆体
原地归并排序 — O(n2) 二叉树排序 （Binary tree sort） — O(n log n); 需要 O(n) 额外记忆体
鸽巢排序 (Pigeonhole sort) — O(n+k); 需要 O(k) 额外记忆体
基数排序 （radix sort）— O(n·k); 需要 O(n) 额外记忆体
Gnome sort — O(n2) Library sort — O(n log n) with high probability, 需要 (1+ε)n 额外记忆体
不稳定
选择排序 （selection sort）— O(n2)
希尔排序 （shell sort）— O(n log n)
如果使用最佳的现在版本 Comb sort — O(n log n)
堆排序 （heapsort）— O(n log n) Smoothsort — O(n log n)
快速排序 （quicksort）— O(n log n)
期望时间, O(n2) 最坏情况; 对于大的、乱数串行一般相信是最快的已知排序 Introsort — O(n log n) Patience sorting — O(n log n + k) 最外情况时间, 需要 额外的 O(n + k) 空间, 也需要找到最长的递增子序列（longest increasing subsequence） 不实用的排序算法 Bogo排序 — O(n × n!) 期望时间, 无穷的最坏情况。 Stupid sort — O(n3); 递回版本需要 O(n2) 额外记忆体 Bead sort — O(n) or O(√n), 但需要特别的硬体 Pancake sorting — O(n), 但需要特别的硬体 排序的算法 排序的算法有很多，对空间的要求及其时间效率也不尽相同。下面列出了一些常见的排序算法。这里面插入排序和冒泡排序又被称作简单排序，他们对空间的要求不高，但是时间效率却不稳定；而后面三种排序相对于简单排序对空间的要求稍高一点，但时间效率却能稳定在很高的水平。基数排序是针对关键字在一个较小范围内的排序算法。 插入排序 冒泡排序 选择排序 快速排序 堆排序 归并排序 基数排序 希尔排序 插入排序 插入排序是这样实现的： 首先新建一个空列表，用于保存已排序的有序数列（我们称之为"有序列表"）。 从原数列中取出一个数，将其插入"有序列表"中，使其仍旧保持有序状态。 重复2号步骤，直至原数列为空。 插入排序的平均时间复杂度为平方级的，效率不高，但是容易实现。它借助了"逐步扩大成果"的思想，使有序列表的长度逐渐增加，直至其长度等于原列表的长度。 冒泡排序 冒泡排序是这样实现的： 首先将所有待排序的数字放入工作列表中。 从列表的第一个数字到倒数第二个数字，逐个检查：若某一位上的数字大于他的下一位，则将它与它的下一位交换。 重复2号步骤，直至再也不能交换。 冒泡排序的平均时间复杂度与插入排序相同，也是平方级的，但也是非常容易实现的算法。 选择排序 选择排序是这样实现的： 设数组内存放了n个待排数字，数组下标从1开始，到n结束。 i=1 从数组的第i个元素开始到第n个元素，寻找最小的元素。 将上一步找到的最小元素和第i位元素交换。 如果i=n－1算法结束，否则回到第3步 选择排序的平均时间复杂度也是O(n²)的。 快速排序 现在开始，我们要接触高效排序算法了。实践证明，快速排序是所有排序算法中最高效的一种。它采用了分治的思想：先保证列表的前半部分都小于后半部分，然后分别对前半部分和后半部分排序，这样整个列表就有序了。这是一种先进的思想，也是它高效的原因。因为在排序算法中，算法的高效与否与列表中数字间的比较次数有直接的关系，而"保证列表的前半部分都小于后半部分"就使得前半部分的任何一个数从此以后都不再跟后半部分的数进行比较了，大大减少了数字间不必要的比较。但查找数据得另当别论了。 堆排序 堆排序与前面的算法都不同，它是这样的： 首先新建一个空列表，作用与插入排序中的"有序列表"相同。 找到数列中最大的数字，将其加在"有序列表"的末尾，并将其从原数列中删除。 重复2号步骤，直至原数列为空。 堆排序的平均时间复杂度为nlogn,效率高（因为有堆这种数据结构以及它奇妙的特征，使得"找到数列中最大的数字"这样的操作只需要O(1)的时间复杂度，维护需要logn的时间复杂度），但是实现相对复杂（可以说是这里7种算法中比较难实现的）。 看起来似乎堆排序与插入排序有些相像，但他们其实是本质不同的算法。至少，他们的时间复杂度差了一个数量级，一个是平方级的，一个是对数级的。 平均时间复杂度 插入排序 O(n2) 冒泡排序 O(n2) 选择排序 O(n2) 快速排序 O(n log n) 堆排序 O(n log n) 归并排序 O(n log n) 基数排序 O(n) 希尔排序 O(n1.25)