数列运算法则

❶ 数列极限的四则运算法则

数列极限的四则运算法则如下：

当数列{an}，{bn}分别以a，b为极限时，数列{an±bn}的极限是a±b，数列{anbn}的极限是ab；当bbn不等于0时，{an/bn}的极限是a/b；当函数f，g分别以a，b为极限时，函数f±b的极限是a±b，函数fg的极限是ab；当bg不等于0时，{f/g}的极限是a/b。

数列极限的四则运算法则证明方法如下：

定理：设{an}与{bn}为收敛数列，则

（1）lim(n->∞)(an±bn)=lim(n->∞)an±lim(n->∞)bn;

（2）lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

若bn≠0且lim(n->∞)bn≠0，则lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

证：设lim(n->∞)an=a，lim(n->∞)bn=b，则ε>0，正整数N，

使当n>N时，有|an-a|<ε; |bn-b|<ε.

（1）则|(an+bn)-(a+b)|≤|an-a|+|bn-b|<2ε.

所以lim(n->∞)(an+bn)=lim(n->∞)an+lim(n->∞)bn;

∵an-bn=an+(-bn)，

所以lim(n->∞)(an-bn)=a-b=lim(n->∞)an-lim(n->∞)bn.

（2）由有界性定理，存在正数M，对一切n有|bn|<M.

∴|an·bn-ab|=|bn(an-a)+a(bn-b)|≤|bn||an-a|+|a||bn-b|<(|bn|+|a|)ε<(M+|a|)ε.

∴lim(n->∞)(an·bn)=lim(n->∞)an·lim(n->∞)bn.

∵an/bn=an·1/bn，所以lim(n->∞)(an/bn)=lim(n->∞)an/lim(n->∞)bn.

❷ 极限的四则运算法则

不成立。

只要举反例就可以说明：

1、若 f(x) = 2 - x, g(x) = 3 + x, 当x→∞时，极限均不存在。
可是 lim [f(x) + g(x)] 的极限却是存在的。
所以，在没有条件时，lim [f(x) + g(x)] ≠ lim f(x) + lim g(x)

2、若 f(x) = 2/x², g(x) = 3x,
当x→∞，f(x)→0；g(x) →∞；
可是 lim [f(x) g(x)] 的极限却是存在的：
lim f(x) g(x) = 0
x→∞
所以，在没有条件时，lim [f(x)×g(x)] ≠ lim f(x) × lim g(x)