音频滤波算法

1. 基于音乐识别的频谱转换算法——CQT

由于在音乐中，所有的音都是由若干八度的12平均律共同组成的，这十二平均律对应着钢琴中一个八度上的十二个半音。这些半音临近之间频率比为2 ^1/12 。显然，同一音级的两个八度音，高八度音是低八度音频率的两倍。

因此在音乐当中，声音都是以指数分布的，但我们的 傅立叶变换得到的音频谱都是线性分布的，两者的频率点是不能一一对应的，这会指使某些音阶频率的估计值产生误差 。所以现代对音乐声音的分析，一般都采用一种具有相同指数分布规律的时频变换算法——CQT。

CQT指中心频率按指数规律分布，滤波带宽不同、但中心频率与带宽比为常量Q的滤波器组 。它与傅立叶变换不同的是，它频谱的横轴频率不是线性的，而是 基于log2为底的 ，并且可以 根据谱线频率的不同该改变滤波窗长度 ，以获得更好的性能。由于CQT与音阶频率的分布相同，所以通过计算音乐信号的CQT谱，可以直接得到音乐信号在各音符频率处的振幅值，对于音乐的信号处理来说简直完美。

我们关注上述“ 中心频率与带宽比为常量Q ”，从公式上看，我们可以表达为下述公式

下面，我们从计算过程来看恒Q变换的本质
首先，假设我们处理的最低的音为f _min ，f _k 表示第k分量的频率，β为一个八度内所包含一个八度的频谱线数，例如β=36，表示每个八度内有36条频谱线，每个半音三条频率分量。

并且有

设 δ _f 表示的是频率 f 处的频率带宽，也可以称为频率分辨率，那么根据我们的定义得知：

从这个式子，我们得知常量Q是只与β相关的常数。
下面我们假设N _k 是随频率变换的窗口长度， f _s 表示采样频率

同时我们的线性频率应该变为基于log2的非线性频率

我们的CQT，通过采用不同的窗口宽度，获得不同的频率分辨率，从而可以得到各个半音的频率振幅。在CQT中第n帧的第k个半音频率分量可表示为

其中我们的x(m)为时域信号，w _{N k} 为窗函数