cubic算法

‘壹’ TCP那些事儿

目录：

以前我也认为TCP是相当底层的东西，我永远不需要去了解它。虽然差不多是这样，但是实际生活中，你依然可能遇见和TCP算法相关的bug，这时候懂一些TCP的知识就至关重要了。（ 本文也可以引申为，系统调用，操作系统这些都很重要，这个道理适用于很多东西 ）
这里推荐一篇小短文， 人人都应该懂点TCP

使用TCP协议通信的双方必须先建立TCP连接，并在内核中为该连接维持一些必要的数据结构，比如连接的状态、读写缓冲区、定时器等。当通信结束时，双方必须关闭连接以释放这些内核数据。TCP服务基于流，源源不断从一端流向另一端，发送端可以逐字节写入，接收端可以逐字节读出，无需分段。

需要注意的几点：

TCP状态（11种）：
eg.

以上为TCP三次握手的状态变迁

以下为TCP四次挥手的状态变迁

服务器通过 listen 系统调用进入 LISTEN 状态，被动等待客户端连接，也就是所谓的被动打开。一旦监听到SYN（同步报文段）请求，就将该连接放入内核的等待队列，并向客户端发送带SYN的ACK（确认报文段），此时该连接处于 SYN_RECVD 状态。如果服务器收到客户端返回的ACK，则转到 ESTABLISHED 状态。这个状态就是连接双方能进行全双工数据传输的状态。
而当客户端主动关闭连接时，服务器收到FIN报文，通过返回ACK使连接进入 CLOSE_WAIT 状态。此状态表示——等待服务器应用程序关闭连接。通常，服务器检测到客户端关闭连接之后，也会立即给客户端发送一个FIN来关闭连接，使连接转移到 LAST_ACK 状态，等待客户端对最后一个FIN结束报文段的最后一次确认，一旦确认完成，连接就彻底关闭了。

客户端通过 connect 系统调用主动与服务器建立连接。此系统调用会首先给服务器发一个SYN，使连接进入 SYN_SENT 状态。
connect 调用可能因为两种原因失败：1. 目标端口不存在（未被任何进程监听）护着该端口被 TIME_WAIT 状态的连接占用（ 详见后文 ）。2. 连接超时，在超时时间内未收到服务器的ACK。
如果 connect 调用失败，则连接返回初始的 CLOSED 状态，如果调用成功，则转到 ESTABLISHED 状态。
客户端执行主动关闭时，它会向服务器发送一个FIN，连接进入 TIME_WAIT_1 状态，如果收到服务器的ACK，进入 TIME_WAIT_2 状态。此时服务器处于 CLOSE_WAIT 状态，这一对状态是可能发生办关闭的状态（详见后文）。此时如果服务器发送FIN关闭连接，则客户端会发送ACK进行确认并进入 TIME_WAIT 状态。

流量控制是为了控制发送方发送速率，保证接收方来得及接收。

接收方发送的确认报文中的窗口字段可以用来控制发送方窗口大小，从而影响发送方的发送速率。将窗口字段设置为 0，则发送方不能发送数据。

如果网络出现拥塞，分组将会丢失，此时发送方会继续重传，从而导致网络拥塞程度更高。因此当出现拥塞时，应当控制发送方的速率。这一点和流量控制很像，但是出发点不同。 流量控制是为了让接收方能来得及接收，而拥塞控制是为了降低整个网络的拥塞程度。

TCP 主要通过四种算法来进行拥塞控制： 慢开始、拥塞避免、快重传、快恢复。

在Linux下有多种实现，比如reno算法，vegas算法和cubic算法等。
发送方需要维护一个叫做拥塞窗口（cwnd）的状态变量，注意拥塞窗口与发送方窗口的区别：拥塞窗口只是一个状态变量，实际决定发送方能发送多少数据的是发送方窗口。
为了便于讨论，做如下假设：

发送的最初执行慢开始，令 cwnd=1，发送方只能发送 1 个报文段；当收到确认后，将 cwnd 加倍，因此之后发送方能够发送的报文段数量为：2、4、8 ...

注意到慢开始每个轮次都将 cwnd 加倍，这样会让 cwnd 增长速度非常快，从而使得发送方发送的速度增长速度过快，网络拥塞的可能也就更高。设置一个慢开始门限 ssthresh，当 cwnd >= ssthresh 时，进入拥塞避免，每个轮次只将 cwnd 加 1。

如果出现了超时，则令 ssthresh = cwnd/2，然后重新执行慢开始。

在接收方，要求每次接收到报文段都应该对最后一个已收到的有序报文段进行确认。例如已经接收到 M1 和 M2，此时收到 M4，应当发送对 M2 的确认。

在发送方，如果收到三个重复确认，那么可以知道下一个报文段丢失，此时执行快重传，立即重传下一个报文段。例如收到三个 M2，则 M3 丢失，立即重传 M3。

在这种情况下，只是丢失个别报文段，而不是网络拥塞。因此执行快恢复，令 ssthresh = cwnd/2 ，cwnd = ssthresh，注意到此时直接进入拥塞避免。

慢开始和快恢复的快慢指的是 cwnd 的设定值，而不是 cwnd 的增长速率。慢开始 cwnd 设定为 1，而快恢复 cwnd 设定为 ssthresh。

  发送端的每个TCP报文都必须得到接收方的应答，才算传输成功。

  TCP为每个TCP报文段都维护一个重传定时器。
  发送端在发出一个TCP报文段之后就启动定时器，如果在定时时间类未收到应答，它就将重发该报文段并重置定时器。

  因为TCP报文段最终在网络层是以IP数据报的形式发送，而IP数据报到达接收端可能是乱序或者重复的。TCP协议会对收到的TCP报文进行重排、整理，确保顺序正确。

TCP报文段所携带的应用程序数据按照长度分为两种： 交互数据 和 成块数据

对于什么是粘包、拆包问题，我想先举两个简单的应用场景：

对于第一种情况，服务端的处理流程可以是这样的：当客户端与服务端的连接建立成功之后，服务端不断读取客户端发送过来的数据，当客户端与服务端连接断开之后，服务端知道已经读完了一条消息，然后进行解码和后续处理...。对于第二种情况，如果按照上面相同的处理逻辑来处理，那就有问题了，我们来看看 第二种情况 下客户端发送的两条消息递交到服务端有可能出现的情况：

第一种情况：

服务端一共读到两个数据包，第一个包包含客户端发出的第一条消息的完整信息，第二个包包含客户端发出的第二条消息，那这种情况比较好处理，服务器只需要简单的从网络缓冲区去读就好了，第一次读到第一条消息的完整信息，消费完再从网络缓冲区将第二条完整消息读出来消费。

第二种情况：

服务端一共就读到一个数据包，这个数据包包含客户端发出的两条消息的完整信息，这个时候基于之前逻辑实现的服务端就蒙了，因为服务端不知道第一条消息从哪儿结束和第二条消息从哪儿开始，这种情况其实是发生了TCP粘包。

第三种情况：

服务端一共收到了两个数据包，第一个数据包只包含了第一条消息的一部分，第一条消息的后半部分和第二条消息都在第二个数据包中，或者是第一个数据包包含了第一条消息的完整信息和第二条消息的一部分信息，第二个数据包包含了第二条消息的剩下部分，这种情况其实是发送了TCP拆，因为发生了一条消息被拆分在两个包里面发送了，同样上面的服务器逻辑对于这种情况是不好处理的。

我们知道tcp是以流动的方式传输数据，传输的最小单位为一个报文段（segment）。tcp Header中有个Options标识位，常见的标识为mss(Maximum Segment Size)指的是，连接层每次传输的数据有个最大限制MTU(Maximum Transmission Unit)，一般是1500比特，超过这个量要分成多个报文段，mss则是这个最大限制减去TCP的header，光是要传输的数据的大小，一般为1460比特。换算成字节，也就是180多字节。

tcp为提高性能，发送端会将需要发送的数据发送到缓冲区，等待缓冲区满了之后，再将缓冲中的数据发送到接收方。同理，接收方也有缓冲区这样的机制，来接收数据。

发生TCP粘包、拆包主要是由于下面一些原因：

既然知道了tcp是无界的数据流，且协议本身无法避免粘包，拆包的发生，那我们只能在应用层数据协议上，加以控制。通常在制定传输数据时，可以使用如下方法：

写了一个简单的 golang 版的tcp服务器实例，仅供参考：
例子

参考和推荐阅读书目：

注释：

eg.

‘贰’ 如何用matlab实现插值算法

实例展示

1
先看一个实例，最后再来说明一维插值在matlab中的用法。实例如下图，用13个节点作三种插值，并比较结果。

2
首先启动matlab，选择编辑器，再新建一个命令文件。

3
然后，在编辑器窗口中输入本题的代码。如下图所示。并保存，此处命名为yiwei。

4
最后再命令行窗口处输入yiwei，并敲入键盘上的enter建。最终得到的结果是插值与原来的13个数据点之间的比较图，可以看出结果很好。

END
命令解释

1
通过上面的例子，也知道了matlab进行一维插值的命令是interp1.
该命令的形式为y1=interp1(x0,y0,x1,'method').
功能：根据已知的数据（x0，y0），用method方法进行插值，然后计算x1对应的函数值y1.
2
其中的参数及其注意事项。
x0,y0是已知的数据向量，其中x应以升序或者降序排列，x1是插值点的自变量坐标向量；method是用来选择插值算法的，它可以取：‘linear’（线性插值）、‘cubic’（三次多项式插值）、‘nearst’（最近插值）、‘spline’（三次样条插值）。

‘叁’ 双三次样条插值

在数值分析这个数学分支中，双三次插值（英语：Bicubic interpolation）是二维空间中最常用的插值方法。在这种方法中，函数f在点 (x,y) 的值可以通过矩形网格中最近的十六个采样点的加权平均得到，在这里需要使用两个多项式插值三次函数，每个方向使用一个。

计算系数的过程依赖于插值数据的特性。如果已知插值函数的导数，常用的方法就是使用四个顶点的高度以及每个顶点的三个导数。一阶导数与表示 x 与 y 方向的表面斜率，二阶相互导数表示同时在 x 与 y 方向的斜率。这些值可以通过分别连续对 x 与 y 向量取微分得到。对于网格单元的每个顶点，将局部坐标（0,0, 1,0, 0,1 和 1,1) 带入这些方程，再解这 16 个方程。

After bilinear interpolation, perhaps the most widely used technique is that of bicubic interpolation, certainly by computational geometers, if not GIS users. This makes use of the 16-term function:

Bicubic interpolation is the lowest order 2-D interpolation procere that maintains the continuity of the function and its first derivatives (both normal and tangential) across cell boundaries (Russell, 1995). As we want the function to be valid over the grid cell of the interpolated point, we need to consider which 16 values to use to derive the coefficients. The common approach is to use the height at the four vertices, together with three derivatives at each vertex. The first derivativesh'xandh'yexpress the slope of the surface in thexandydirections, while the second (cross) derivativeh''xyrepresents the slope in bothxandy. In terms of solving the coefficients of [9], these values can be expressed by differentiating thexandyvectors independently, and then consecutively. For each of the vertices of the grid cell, the local coordinates (at 0,0, 1,0, 0,1 and 1,1) can be input into these equations to generate the 16 equations to solve [9]. Press et al., (1988) present algorithms for piecewise cubic, bicubic polynomial and bicubic spline interpolation. Methods for determining the slope estimates or partial derivatives are presented in Section 3.10.

A simpler approach described by Schut (1976) is to use the 12-term incomplete bicubic polynomial:

In this instance the cross-derivativeh''xyis not required, leaving the four corner elevations and eight first-order derivatives sufficient to compute the parameters. While the total surface is continuous, it is only smooth at the nodes.

‘肆’ 什么是网格算法

网格化是解释流程中构造成图的比较重要的一步，算法种类也比较多。在SMT中就列出了许多种算法供选择，当然每种算法有自己的特点和适应性，所以在真正网格化操作时为了提高预测的精度需要选择合适的算法。如下为SMT中提供的几种算法简单对比。

Collocated Cokriging
协克里金算法
层位、断层、网格、XYZ数据、层段属性、钻井分层（较好用于井数据与地震属性匹配）

Cubic Spline
样条插值
三维的层位、网格、断层、XYZ数据

Flex Gridding
弹性网格化
层位、断层、网格、XYZ数据、层段属性、钻井分层

Gradient Projection
梯度投影
二维、三维的层位、网格、断层、等值线、XYZ数据（较好用于构造数据）

Inverse Distance to a Power
反距离加权
二维、三维的层位、网格、断层、等值线、XYZ数据、层段属性、钻井分层（较好用于速度成图）

Natural Neighbor
自然邻点插值
XYZ数据、层段属性、钻井分层（较好用于非地震类数据）

Ordinary Kriging
普通克里金插值
XYZ数据、层段属性、钻井分层（较好用于渗透率成图）

Simple Kriging
简单克里金插值
XYZ数据、层段属性、钻井分层（较好用于渗透率成图）

Universal Kriging
广义克里金
XYZ数据、层段属性、钻井分层（较好用于渗透率图件和有整体变化趋势的数据）

这里对两种算法做个介绍：

1、SMT8.2版本中新出现的Flex Gridding 弹性网格化算法

该算法利用差分方程系统原理，产生的网格节点处数值需要满足以下两种原则：

. 内插面与实际数据产生的趋势面一致或者很接近；

. 该面的RMS曲率值尽可能小。

如果在一个节点处应用每一种方程都计算差分的话，而且将邻近点都考虑在内的话，其结果会形成一个组合，但越远的点影响越弱、越不直接。因此，在计算时都假设邻近节点为常数，每个方程就会得到一个网格数值。如此重复应用于其它节点处。这样可以解决单个节点的问题，我们将方程称为“调和器”。该方法产生的曲率面会趋于最小，而且逼近实际数据。

由于每个节点在进行调和滤波计算时都需要一个局部的调和器，网格节点多时就会有许多次迭代计算过程。迭代次数差不多为N的e次方（N为数据列/行数）。因此初始网格一般时非常小的。

2、Collocated Cokriging 协克里金插值

协克里金插值与克里金算法原理基本一样，都是通过差异比较来计算网格数值，同时产生方差图，但是该方法假设事件都是多属性的，可以利用第二种协数据（如层位）辅助第一种主数据进行稀疏数据点（如井控制点）的内插。

协克里金插值利用第二种协数据指导主数据的网格化，可以提高克里金插值的准确性。该算法中断层可以参与运算。在使用时用稀疏数据（如井数据）作为主数据，另外一种密集分布数据作为协数据。

在具体计算中网格点处主数据有值的地方都用主数据的值，如果网格点处没有值时则用协数据作为辅助进行计算。并且会同时产生一个方差模型。

最终的协方差网格结果为主数据进行克里金插值，同时受协数据影响。

因此，如果主数据为密集分布的数据，计算产生的网格也会接近主数据。例如，数据中包括测井解释的孔隙度数据（稀疏分布），从地震属性中预测的伪孔隙度数据（密集分布）。数据单位是一致的，但来源可能不一样。

对于这种情况下协克里金插值就是一种很好的网格算法，还可以建立起振幅与孔隙度之间的关系。

在应用时有以下注意事项：

1）在主数据为稀疏分布，协数据伪密集分布时应用效果最好。

2）如果主数据与协数据之间有一定联系的话效果最好。

3）数据类型最好一致。

‘伍’ 拥塞算法

基于包丢失检测的 Reno、NewReno 或者 cubic 为代表，其主要问题有 Buffer bloat 和长肥管道两种。和这些算法不同，bbr 算法会以时间窗口内的最大带宽 max_bw 和最小 RTT min_rtt，并以此计算发送速率和拥塞窗口

RTProp : round-trip propagation time BtlBW : bottleneck bandwidth，bbr 算法关于拥塞窗口的核心就是计算 BtlBW 和 RTprop，根据这两者值计算 BDP

bbr 算法输出 pacing_rate 和 cwnd 两个数据。pacing_rate 决定发包速率，cwnd 为窗口大小

TCP Tahoe 和 Reno

这两个算法是根据其第一次加入到4.3BSD的时间回溯命名的，两个名字对应自其第一次出现时BSD的代号，而代号分别取自太浩湖（Lake Tahoe）和其附近的城市里诺市

• Tahoe：如果收到三次重复确认——即第四次收到相同确认号的分段确认，并且分段对应包无负载分段和无改变接收窗口——的话，Tahoe算法则进入快速重传，将慢启动阈值改为当前拥塞窗口的一半，将拥塞窗口降为1个MSS，并重新进入慢启动阶段

• Reno：如果收到三次重复确认，Reno算法则进入快速重传，只将拥塞窗口减半来跳过慢启动阶段，将慢启动阈值设为当前新的拥塞窗口值，进入一个称为“快速恢复”的新设计阶段

Fast recovery

是Reno算法新引入的一个阶段，在将丢失的分段重传后，启动一个超时定时器，并等待该丢失分段包的分段确认后，再进入拥塞控制阶段。如果仍然超时，则回到慢启动阶段

TCP Vegas

至1990年代中期，TCP量度延迟和RTT都是以传输缓存中最后一个被传送的分段包为准。vegas通过度量传输缓存中每个传送分段包来代替只量度一个分段包，通过每次度量的平均值来增加拥塞窗口。该算法取名自内华达州最大的城市拉斯维加斯。不过由于一些资源公平性原因，该算法并没有在彼得森的实验室之外广泛部署。一些研究认为该算法和其他拥塞算法混合使用，可能会导致性能竞争不及其他算法。在各种TCP拥塞算法的比较研究中，Vegas被认为是最平滑的控制算法，其次为CUBIC

TCP New Reno

TCP New Reno是对TCP Reno中快速恢复阶段的重传进行改善的一种改进算法，其定义于RFC 6582，覆盖了原有在RFC 3782和RFC 2582的旧定义。

在Reno的快速恢复中，一旦出现3次重复确认，TCP发送方会重发重复确认对应序列号的分段并设置定时器等待该重发分段包的分段确认包，当该分段确认包收到后，就立即退出快速恢复阶段，进入拥塞控制阶段，但如果某个导致重复确认的分段包到遇到重复确认期间所发送的分段包存在多个丢失的话，则这些丢失只能等待超时重发，并且导致拥塞窗口多次进入拥塞控制阶段而多次下降。而New Reno的快速恢复中，一旦出现3次重复确认，TCP发送方先记下3次重复确认时已发送但未确认的分段的最大序列号，然后重发重复确认对应序列号的分段包。如果只有该重复确认的分段丢失，则接收方接收该重发分段包后，会立即返回最大序列号的分段确认包，从而完成重发；但如果重复确认期间的发送包有多个丢失，接收方在接收该重发分段后，会返回非最大序列号的分段确认包，从而发送方继续保持重发这些丢失的分段，直到最大序列号的分段确认包的返回，才退出快速恢复阶段。

New Reno在低错误率时运行效率和“选择确认”（Selective ACKnowledgement，SACK）相当，在高错误率仍优于Reno

TCP Hybla

TCP Hybla旨在消除由于高延迟地面线路或者卫星无线链路下导致的RTT过长而对TCP链接的影响。它通过对拥塞窗口动态分析来修改，来减少对RTT的性能依赖

TCP BIC 和 CUBIC

TCP BIC（Binary Increase Congestion control）旨在优化高速高延迟网络（即根据RFC 1072所定义的“长肥网络”（long fat network，LFN））的拥塞控制，其拥塞窗口算法使用二分搜索算法尝试找到能长时间保持拥塞窗口最大值的值。Linux内核在2.6.8至2.6.18使用该算法作为默认TCP拥塞算法。

CUBIC则是比BIC更温和和系统化的分支版本，其使用三次函数代替二分算法作为其拥塞窗口算法，并且使用函数拐点作为拥塞窗口的设置值。Linux内核在2.6.19后使用该算法作为默认TCP拥塞算法

TCP Westwood和Westwood+

TCP Westwood改良自New Reno，不同于以往其他拥塞控制算法使用丢失来测量，其通过对确认包测量来确定一个“合适的发送速度”，并以此调整拥塞窗口和慢启动阈值。其改良了慢启动阶段算法为“敏捷探测（Agile Probing）”，和设计了一种持续探测拥塞窗口的方法来控制进入“敏捷探测”，使链接尽可能地使用更多的带宽。Westwood+使用更长的带宽估计间隔和优化的滤波器来修正Westwood对ACK压缩场景对带宽估计过高的问题。通过以上改良，TCP Westwood系列算法在有线网络和无线网络的拥塞控制上获取平衡，尤其研究中针对于无线通信网络上

Compound TCP

复合TCP（Compound TCP）是微软自己实现的TCP拥塞控制算法，通过同时维护两个拥塞窗口，来实现在长肥网络有较好的性能而又不损失公平性。该算法在Windows Vista和Windows Server 2008开始广泛部署，并通过补丁的方式回溯支持到Windows XP和Windows Server 2003。在Linux上也有一个旧版本的移植实现

TCP PRR

TCP PRR（TCP Proportional Rate Rection ）是旨在恢复期间提高发送数据的准确性。该算法确保恢复后的拥塞窗口大小尽可能接近慢启动阈值。在Google进行的测试中，能将平均延迟降低3~10%，恢复的超时减少5%。PRR算法之后作为Linux内核3.2版本的默认拥塞算法

TCP BBR

TCP BBR（Bottleneck Bandwidth and Round-trip propagation time）是由Google设计，于2016年发布的拥塞算法。以往大部分拥塞算法是基于丢包来作为降低传输速率的信号，而BBR则基于模型主动探测。该算法使用网络最近出站数据分组当时的最大带宽和往返时间来创建网络的显式模型。数据包传输的每个累积或选择性确认用于生成记录在数据包传输过程和确认返回期间的时间内所传送数据量的采样率。该算法认为随着网络接口控制器逐渐进入千兆速度时，与缓冲膨胀相关的延迟相比丢包更应该被认为是识别拥塞的主要决定因素，所以基于延迟模型的拥塞控制算法（如BBR）会有更高的吞吐量和更低的延迟，可以用BBR来替代其他流行的拥塞算法，例如CUBIC

QUIC Quick UDP Internet Connections

QUIC旨在提供几乎等同于TCP连接的可靠性，但延迟大大减少。它主要通过两个理解HTTP流量的行为来实现这一点：

第一个变化是在连接创建期间大大减少开销。由于大多数HTTP连接都需要TLS，因此QUIC使协商密钥和支持的协议成为初始握手过程的一部分。 当客户端打开连接时，服务器响应的数据包包括将来的数据包加密所需的数据。

QUIC使用UDP协议作为其基础，不包括丢失恢复。相反，每个QUIC流是单独控制的，并且在QUIC级别而不是UDP级别重传丢失的数据。这意味着如果在一个流中发生错误，协议栈仍然可以独立地继续为其他流提供服务

QUIC包括许多其他更普通的更改，这些更改也可以优化整体延迟和吞吐量

每个数据包是单独加密的，因此加密数据时不需要等待部分数据包。 在TCP下通常不可能这样做，其中加密记录在字节流中，并且协议栈不知道该流中的更高层边界。这些可以由运行在更上层的协议进行协商，但QUIC旨在通过单个握手过程完成这些

QUIC的另一个目标是提高网络切换期间的性能，例如当移动设备的用户从WiFi热点切换到移动网络时发生的情况。 当这发生在TCP上时，一个冗长的过程开始了：每个现有连接一个接一个地超时，然后根据需要重新创建。期间存在较高延迟，因为新连接需要等待旧连接超时后才会创建。 为解决此问题，QUIC包含一个连接标识符，该标识符唯一地标识客户端与服务器之间的连接，而无论源IP地址是什么。这样只需发送一个包含此ID的数据包即可重新创建连接，因为即使用户的IP地址发生变化，原始连接ID仍然有效

QUIC在应用程序空间中实现，而不是在操作系统内核中实现。当数据在应用程序之间移动时，这通常会由于上下文切换而调用额外的开销。 但是在QUIC下协议栈旨在由单个应用程序使用，每个应用程序使用QUIC在UDP上托管自己的连接

Chromium的网络堆栈同时打开QUIC和传统TCP连接，并在QUIC连接失败时以零延迟回退到TCP连接

‘陆’ Matlab中插值函数

MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为： yi= interp1(x,y,xi,'method') 其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： 'method'是最邻近插值， 'linear'线性插值； 'spline'三次样条插值； 'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 例：在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为 12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13 问题：推测中午12点（即13点）时的温度． 功能 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 (1)yi = interp1(x,y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。 ’cubic’：该方法保留单调性与数据的外形； 功能 二维数据内插值 (1)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) 返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI 与YI（可以是向量、或同型矩阵） 的元素， 即Zi(i,j) ←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi 与Yi，此时，输出向量Zi 与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。 (2)ZI = interp2(Z,XI,YI) 缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。 用指定的算法method 计算二维插值： ’linear’：双线性插值算法（缺省算法）； ’nearest’：最临近插值； ’spline’：三次样条插值； ’cubic’：双三次插值。 (4)VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI,method) 找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。 %用指定的算法method 作插值计算： ‘linear’：线性插值（缺省算法）； ‘cubic’：三次插值； ‘spline’：三次样条插值； ‘nearest’：最邻近插值。 功能 数据格点 (1)ZI = griddata(x,y,z,XI,YI,method) 用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata 将返回曲面z 在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid 生成的一样）。 用指定的算法method 计算： ‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）； ‘cubic’： 基于三角形的三次插值； ‘nearest’：最邻近插值法； ‘v4’：MATLAB 4 中的griddata 算法。 功能 三次样条数据插值 格式 (1)yy = spline(x,y,xx) 功能 生成用于画三维图形的矩阵数据 格式 [X,Y] = meshgrid(x,y) 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)] 用直线x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点， 这些点的横坐标用矩阵X 表示，X 的每个行向量与向量x 相同；这些点的纵坐标用矩阵Y 表示，Y 的每个列向量与向量y 相同。其中X,Y可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy 平面矩形定义域的划分或曲面作图。 [X,Y] = meshgrid(x) %等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。 [X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) %生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f(x,y,z)或三维容积图。

‘柒’ 三次均匀B样条插值算法

三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）简称Spline插值，是通过一系列形值点的一条光滑曲线，数学上通过求解三弯矩方程组得出曲线函数组的过程。
实际计算时还需要引入边界条件才能完成计算。一般的计算方法书上都没有说明非扭结边界的定义，但数值计算软件如Matlab都把非扭结边界条件作为默认的边界条件。