背包问题算法
❶ C语言算法求助：背包问题
//如果每种商品只有一件，是0-1背包问题
读入的数据N代表物品个数
V代表背包容量。
//对于你的例子
，输入为
//5
16
//2
3
//3
2
//4
3
//5
7
//6
9
//输出为21
#include
<iostream>
using
namespace
std;
#define
MAXSIZE
1000
int
f[MAXSIZE
+
1],
c[MAXSIZE
+
1],
w[MAXSIZE
+
1];
int
main()
{
int
N,
V;
cin
>>
N
>>
V;
int
i
=
1;
for
(;
i
<=
N;
++i)
{
cin
>>
c[i]
>>
w[i];
}
for
(i
=
1;
i
<=
N;
++i)
{
for
(int
v
=
V;
v
>=
c[i];
--v)
//c[i]可优化为bound,
bound
=
max
{V
-
sum
c[i,...n],
c[i]}
{
f[v]
=
(f[v]
>
f[v
-
c[i]]
+
w[i]
?
f[v]
:
f[v
-
c[i]]
+
w[i]);
}
}
//当i=N时，可以跳出循环单独计算F[V]
cout
<<
f[V]
<<
'\n';
system("pause");
return
0;
}
//如果每种可以有多个，是完全背包问题，
❷ 急，分全拿出来了，算法中的背包问题的贪心算法
#include <stdio.h>
#include <iostream.h>
#define MAXWEIGHT 20
#define n 3
float pw[n]={0},x[n]={0};
int w[n]={0},p[n]={0};
void sort(int p[],int w[])
{
int temp1,temp2;
float temp;
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
pw[i]=float(p[i])/w[i];
}
for(i=0;i<n-1;i++)
{
for(j=i+1;j<n;j++)
{
if(pw[i]<pw[j])
{
temp=pw[i],pw[i]=pw[j],pw[j]=temp;
temp1=p[i],temp2=w[i];
p[i]=p[j],w[i]=w[j];
p[j]=temp1,w[j]=temp2;
}
}
}
}
void GreedyKnapsack(int p[],int w[])
{
int m=MAXWEIGHT,i;
for(i=0;i<n;i++) x[i]=0.0;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(w[i]>m) break;
x[i]=1.0;
m=m-w[i];
}
if(i<n) x[i]=float(m)/w[i];
}
void main()
{
int i;
printf("请输入每个物体的效益和重量:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
cin>>p[i]>>w[i];
}
for(i=0;i<n;i++)
{
printf("原物体%d的效益和重量分别为%d,%d:\n",i+1,p[i],w[i]);
}
sort(p,w);
printf("\n\n\n按效益值非递增顺序排列物体:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
printf("物体%d的效益和重量分别为%d,%d 效益值为:%f\n",(i+1),p[i],w[i],pw[i]);
}
GreedyKnapsack(p,w);
printf("\n\n\n最优解为:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{
printf("第%d个物体要放%f:\n",i+1,x[i]);
}
}
这是正确的算法
❸ C语言 背包问题 递归算法
if(n==0)应该改成
if(n<0)才对，表示没有物品可选了。我的一个改进，但输出选择项还是有问题！
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#defineN3
intMaxW(intn,intC,int*Volume,int*Weight,int*Select){
intW=0,W1=0;
if(n<0){//没有物品了
return0;
}
W=MaxW(n-1,C,Volume,Weight,Select);//没放入n之前的重量
if(C>=Volume[n]){//背包剩余空间可以放下物品n
W1=MaxW(n-1,C-Volume[n],Volume,Weight,Select)+Weight[n];//放入n所能得到的重量
Select[n]=0;
if(W1>W){//放入n能获得更大的重量
Select[n]=1;
W=W1;
}
}
returnW;
}
intmain(){
intC=8,W,i;
//intVolume[N]={1,2,3,4,5};//物品体积
//intWeight[N]={1,2,5,7,8};//物品重量
intVolume[N]={2,3,5};//物品体积
intWeight[N]={5,8,7};//物品重量
intSelect[N]={0};//选择标记
W=MaxW(N-1,C,Volume,Weight,Select);
printf("MaxWeight=%d,SelectList[index(volume,weight)]: ",W);
for(i=0;i<N;++i){
if(Select[i]){
printf("%d(%d,%d)",i,Volume[i],Weight[i]);
}
}
printf(" Finished! ");
getch();
return0;
}
其中的Select数组还是会多选了，你看看。
❹ 背包问题的问法变化
以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。
例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（f数组）之后得到。
还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。
下面说一些变化更大的问法。 一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。
还是以01背包为例，方程为f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}。再用一个数组g [v]，设g[v]=0表示推出f[v]的值时是采用了方程的前一项（也即f[v]=f[v]），g[v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为f[N][V]）：
i=N
v=V
while(i>0)
if(g[v]==0)
print 未选第i项物品
else if(g[v]==1）
print 选了第i项物品
v=v-c
另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据f[v]的值实时地求出来，也即不须纪录g数组，将上述代码中的g [v]==0改成f[v]==f[v]，g[v]==1改成f[v]==f[v-c]+w也可。
输出字典序最小的最优方案
这里“字典序最小”的意思是1..N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出01背包最小字典序的方案为例。
一般而言，求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品1的最优方案，那么答案一定包含物品1，原问题转化为一个背包容量为v-c[1]，物品为2..N的子问题。反之，如果答案不包含物品1，则转化成背包容量仍为V，物品为2..N的子问题。不管答案怎样，子问题的物品都是以i..N而非前所述的1..i的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列来叙述。
在这种情况下，可以按照前面经典的状态转移方程来求值，只是输出方案的时候要注意：从N到1输入时，如果f[v]==f及f[v]==f[f-c]+w同时成立，应该按照后者（即选择了物品i）来输出方案。 对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。
对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是01背包中的物品，转移方程即为f[v]=sum{f[v],f[v-c]+w}，初始条件f[0][0]=1。
事实上，这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。 这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。还是以01背包为例。
结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路，最优方案的总数可以这样求：f[v]意义同前述，g[v]表示这个子问题的最优方案的总数，则在求f[v]的同时求g[v]的伪代码如下：
for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-c]+w}
g[v]=0
if(f[v]==f[v])
inc(g[v],g[v]
if(f[v]==f[v-c]+w)
inc(g[v],g[v-c])
如果你是第一次看到这样的问题，请仔细体会上面的伪代码。 显然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域（例如数论、图论）结合起来的问题，在这篇论背包问题的专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程，遇到其它的变形问法，只要题目难度还属于NOIP，应该也不难想出算法。
触类旁通、举一反三，应该也是一个OIer应有的品质吧。
❺ 背包问题C++递归算算法（求出所有解）
#include <fstream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <time>
#include <queue>
#include <string>
using namespace std;
ofstream cout("out.txt");
struct Item
{
int v, w;
int x;
Item(int val = 0, int weight = 1, int sel = 0): v(val), w(weight), x(sel) {}
};
bool operator<(const Item& a, const Item& b)
{
return double(a.v) / a.w < double(b.v) / b.w;
}
struct Node
{
unsigned level;
int val;
int B;
int cv, cw;
Node *parent, *lson, *rson;
Node(int L, int V, Node* p):
level(L), val(V), parent(p), lson(0), rson(0) {}
};
class KnapsackBase
{
protected:
vector<Item> Items;
int Cap;
int MaxV;
int cw, cv; // for later use.
Node *Root; // as above.
int nNodes; // counting nodes.
string method;
int SumV(Node *p);
int SumW(Node *p);
int SumW();
float Bound(unsigned i);
void StoreX(Node *p);
void Print();
void DeleteTree(Node* r);
public:
KnapsackBase(const vector<Item>& items, int c):
Items(items), Cap(c)
{
sort(Items.begin(), Items.end(), not2(less<Item>()));
Root = new Node(0, -1, 0);
method = "Greedy";
}
virtual void Pack();
~KnapsackBase()
{
cout << "Destructing " << hex << this << dec << "; ";
nNodes = 0;
DeleteTree(Root);
cout << nNodes << " nodes deleted. -- " + method << endl;
}
};
float KnapsackBase::Bound(unsigned i)
{
int cleft = Cap - cw;
float b = cv;
while (i < Items.size() && Items[i].w <= cleft)
{
cleft -= Items[i].w;
b += Items[i].v;
i++;
}
if (i < Items.size())
b += (float(Items[i].v) / Items[i].w) * cleft;
return b;
}
void KnapsackBase::Pack()
{
unsigned i = 0;
int w = 0;
MaxV = 0;
while (i < Items.size())
{
if (Items[i].w + w <= Cap)
{
Items[i].x = 1;
w += Items[i].w;
MaxV += Items[i].v;
}
else
Items[i].x = 0;
i++;
}
Print();
}
void KnapsackBase::DeleteTree(Node* r)
{
if (r != 0)
{
DeleteTree(r->lson);
DeleteTree(r->rson);
delete r;
nNodes++;
}
}
int KnapsackBase::SumV(Node *p)
{
int s = 0;
while (p != Root)
{
s += Items[p->level - 1].v * p->val;
p = p->parent;
}
return s;
}
int KnapsackBase::SumW(Node *p)
{
int s = 0;
while (p != Root)
{
s += Items[p->level - 1].w * p->val;
p = p->parent;
}
return s;
}
void KnapsackBase::StoreX(Node *p)
{
for (unsigned i = Items.size() - 1; p != Root; p = p->parent, i--)
Items[i].x = p->val;
}
int KnapsackBase::SumW()
{
int s = 0;
for (unsigned i = 0; i < Items.size(); i++)
s += Items[i].w * Items[i].x;
return s;
}
void KnapsackBase::Print()
{
cout << "Result of " + method + " at " << hex << this << dec << endl;
for (unsigned i = 0; i < Items.size(); i++)
cout << Items[i].v << "\t" << Items[i].w << "\t" << Items[i].x << endl;
cout << MaxV << "\t" << SumW() << endl;
}
//----------------------------------------------------------------------------
class KnapsackDFS: public KnapsackBase
{
void DFS(Node* r);
public:
KnapsackDFS(const vector<Item>& items, int c): KnapsackBase(items, c)
{
method = "DFS";
}
void Pack()
{
MaxV = 0;
DFS(Root);
Print();
}
};
void KnapsackDFS::DFS(Node* r)
{
if (r->level == Items.size())
{
int V = SumV(r);
int W = SumW(r);
if (W <= Cap && V > MaxV)
{
StoreX(r);
MaxV = V;
}
}
else
{
r->lson = new Node(r->level + 1, 0, r);
DFS(r->lson);
r->rson = new Node(r->level + 1, 1, r);
DFS(r->rson);
}
}
//----------------------------------------------------------------------------
class KnapsackBFS: public KnapsackBase
{
void BFS();
public:
KnapsackBFS(const vector<Item>& items, int c): KnapsackBase(items, c) {method = "BFS";}
void Pack()
{
MaxV = 0;
BFS();
Print();
}
};
void KnapsackBFS::BFS()
{
queue<Node*> Q;
Node* r;
Q.push(Root);
while (!Q.empty())
{
r = Q.front();
Q.pop();
if (r->level == Items.size())
{
int V = SumV(r);
int W = SumW(r);
if (W <= Cap && V > MaxV)
{
StoreX(r);
MaxV = V;
}
}
else
{
r->lson = new Node(r->level + 1, 0, r);
Q.push(r->lson);
r->rson = new Node(r->level + 1, 1, r);
Q.push(r->rson);
}
}
}
//----------------------------------------------------------------------------
class KnapsackBacktrack: public KnapsackBase
{
void Backtrack(Node* r);
public:
KnapsackBacktrack(const vector<Item>& items, int c): KnapsackBase(items, c) {method = "Backtrack";}
void Pack()
{
MaxV = 0;
cw = 0;
cv = 0;
Backtrack(Root);
Print();
}
};
void KnapsackBacktrack::Backtrack(Node* r)
{
if (r->level == Items.size())
{
int V = SumV(r);
if (V > MaxV)
{
StoreX(r);
MaxV = V;
}
}
else
{
if (cw + Items[r->level].w <= Cap)
{
r->rson = new Node(r->level + 1, 1, r);
cv += Items[r->level].v;
cw += Items[r->level].w;
Backtrack(r->rson);
cv -= Items[r->level].v;
cw -= Items[r->level].w;
}
if (Bound(r->level + 1) > MaxV)
{
r->lson = new Node(r->level + 1, 0, r);
Backtrack(r->lson);
}
}
}
//----------------------------------------------------------------------------
class KnapsackFIFOBB: public KnapsackBase
{
void FIFOBB();
public:
KnapsackFIFOBB(const vector<Item>& items, int c): KnapsackBase(items, c) {method = "FIFOBB";}
void Pack()
{
MaxV = 0;
cv = 0;
cw = 0;
FIFOBB();
Print();
}
};
void KnapsackFIFOBB::FIFOBB()
{
queue<Node*> Q;
Node* r;
Root->cv = 0;
Root->cw = 0;
Q.push(Root);
while (!Q.empty())
{
r = Q.front();
Q.pop();
if (r->level == Items.size())
{
int V = SumV(r);
if (V > MaxV)
{
StoreX(r);
MaxV = V;
}
}
else
{
if (r->cw + Items[r->level].w <= Cap)
{
r->rson = new Node(r->level + 1, 1, r);
r->rson->cv = r->cv + Items[r->level].v;
r->rson->cw = r->cw + Items[r->level].w;
Q.push(r->rson);
}
cv = r->cv;
cw = r->cw;
if (Bound(r->level + 1) > MaxV)
{
r->lson = new Node(r->level + 1, 0, r);
r->lson->cv = r->cv;
r->lson->cw = r->cw;
Q.push(r->lson);
}
}
}
}
//----------------------------------------------------------------------------
class KnapsackLCBB: public KnapsackBase
{
void LCBB();
public:
KnapsackLCBB(const vector<Item>& items, int c): KnapsackBase(items, c) {method = "LCBB";}
void Pack()
{
MaxV = 0;
cv = 0;
cw = 0;
LCBB();
Print();
}
};
class Compare
{
public:
Compare(){}
bool operator()(const Node *p, const Node *q)
{
if (p->B == q->B)
return p->level < q->level;
else
return p->B < q->B;
}
};
void KnapsackLCBB::LCBB()
{
priority_queue<Node*, vector<Node*>, Compare> Q;
Node* r;
Root->cv = 0;
Root->cw = 0;
Root->B = Bound(0);
Q.push(Root);
while (!Q.empty())
{
r = Q.top();
Q.pop();
if (r->level == Items.size())
{
int V = SumV(r);
int W = SumW(r);
if (W <= Cap && V > MaxV)
{
StoreX(r);
MaxV = V;
}
}
else
{
if (r->cw + Items[r->level].w <= Cap)
{
r->rson = new Node(r->level + 1, 1, r);
r->rson->cv = r->cv + Items[r->level].v;
r->rson->cw = r->cw + Items[r->level].w;
r->rson->B = r->B;
Q.push(r->rson);
}
cv = r->cv;
cw = r->cw;
int b;
if ((b = Bound(r->level + 1)) > MaxV)
{
r->lson = new Node(r->level + 1, 0, r);
r->lson->cv = r->cv;
r->lson->cw = r->cw;
r->lson->B = b;
Q.push(r->lson);
}
}
}
}
//----------------------------------------------------------------------------
void test()
{
const int N = 10;
vector<Item> A(N);
for (unsigned i = 0; i < N; i++)
{
A[i].v = 10 + rand() % 20;
A[i].w = 5 + rand() % 25;
}
KnapsackBase B(A, 100);
B.Pack();
cout << endl;
KnapsackDFS E(A, 100);
E.Pack();
cout << endl;
KnapsackBFS R(A, 100);
R.Pack();
cout << endl;
KnapsackBacktrack T(A, 100);
T.Pack();
cout << endl;
KnapsackFIFOBB F(A, 100);
F.Pack();
cout << endl;
KnapsackLCBB C(A, 100);
C.Pack();
cout << endl;
}
int main()
{
time_t t;
srand((unsigned) time(&t));
test();
return 0;
}
❻ 贪心算法 部分背包问题
这道题是dp的思想啦，动态规划
(1)背包问题最优值的结构
动态规划的逆向思维法的第一步是刻画一个最优值的结构，如果我们能分析出一个问题的最优值包含其子问题的最优值，问题的这种性质称为最优子结构。一个问题的最优子结构性质是该问题可以使用动态规划的显着特征。
对一个负重能力为m的背包，如果我们选择装入一个第 i 种物品，那么原背包问题就转化为负重能力为 m-w[i] 的子背包问题。原背包问题的最优值包含这个子背包问题的最优值。若我们用背包的负重能力来划分状态，令状态变量s[k]表示负重能力为k的背包，那么s[m]的值只取决于s[k](k≤m)的值。因此背包问题具有最优子结构。
(2)递归地定义最优值
动态规划的逆向思维法的第二步是根据各个子问题的最优值来递归地定义原问题的最优值。对背包问题而言，有状态转移方程：
／max{s[k-w[i]]+v[i]}(其中1≤i≤n，且k-w[i]≥0)
s[k]= 若k>0且存在1≤i≤n使k-w[i]≥0，
＼ 0 否则。
有了计算各个子问题的最优值的递归式，我们就可以直接编写对应的程序。下述的函数knapsack是输入背包的负重能力k，返回对应的子背包问题的最优值s[k]：
❼ 0-1背包问题的多种解法代码（动态规划、贪心法、回溯法、分支限界法）
一.动态规划求解0-1背包问题
/************************************************************************/
/* 0-1背包问题：
/* 给定n种物品和一个背包
/* 物品i的重量为wi，其价值为vi
/* 背包的容量为c
/* 应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品
/* 的总价值最大？
/* 注：在选择装入背包的物品时，对物品i只有两种选择，
/* 即装入或不装入背包。不能将物品i装入多次，也
/* 不能只装入部分的物品i。
/*
/* 1. 0-1背包问题的形式化描述：
/* 给定c>0, wi>0, vi>0, 0<=i<=n，要求找到一个n元的
/* 0-1向量(x1, x2, ..., xn), 使得：
/* max sum_{i=1 to n} (vi*xi),且满足如下约束：
/* (1) sum_{i=1 to n} (wi*xi) <= c
/* (2) xi∈{0, 1}, 1<=i<=n
/*
/* 2. 0-1背包问题的求解
/* 0-1背包问题具有最优子结构性质和子问题重叠性质，适于
/* 采用动态规划方法求解
/*
/* 2.1 最优子结构性质
/* 设(y1,y2,...,yn)是给定0-1背包问题的一个最优解，则必有
/* 结论，(y2,y3,...,yn)是如下子问题的一个最优解：
/* max sum_{i=2 to n} (vi*xi)
/* (1) sum_{i=2 to n} (wi*xi) <= c - w1*y1
/* (2) xi∈{0, 1}, 2<=i<=n
/* 因为如若不然，则该子问题存在一个最优解(z2,z3,...,zn)，
/* 而(y2,y3,...,yn)不是其最优解。那么有：
/* sum_{i=2 to n} (vi*zi) > sum_{i=2 to n} (vi*yi)
/* 且，w1*y1 + sum_{i=2 to n} (wi*zi) <= c
/* 进一步有：
/* v1*y1 + sum_{i=2 to n} (vi*zi) > sum_{i=1 to n} (vi*yi)
/* w1*y1 + sum_{i=2 to n} (wi*zi) <= c
/* 这说明：(y1,z2,z3,...zn)是所给0-1背包问题的更优解，那么
/* 说明(y1,y2,...,yn)不是问题的最优解，与前提矛盾，所以最优
/* 子结构性质成立。
/*
/* 2.2 子问题重叠性质
/* 设所给0-1背包问题的子问题 P(i,j)为：
/* max sum_{k=i to n} (vk*xk)
/* (1) sum_{k=i to n} (wk*xk) <= j
/* (2) xk∈{0, 1}, i<=k<=n
/* 问题P(i,j)是背包容量为j、可选物品为i,i+1,...,n时的子问题
/* 设m(i,j)是子问题P(i,j)的最优值，即最大总价值。则根据最优
/* 子结构性质，可以建立m(i,j)的递归式：
/* a. 递归初始 m(n,j)
/* //背包容量为j、可选物品只有n，若背包容量j大于物品n的
/* //重量，则直接装入；否则无法装入。
/* m(n,j) = vn, j>=wn
/* m(n,j) = 0, 0<=j<wn
/* b. 递归式 m(i,j)
/* //背包容量为j、可选物品为i,i+1,...,n
/* //如果背包容量j<wi，则根本装不进物品i，所以有：
/* m(i,j) = m(i+1,j), 0<=j<wi
/* //如果j>=wi，则在不装物品i和装入物品i之间做出选择
/* 不装物品i的最优值：m(i+1,j)
/* 装入物品i的最优值：m(i+1, j-wi) + vi
/* 所以：
/* m(i,j) = max {m(i+1,j), m(i+1, j-wi) + vi}, j>=wi
/*
/************************************************************************/
#define max(a,b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))
#define min(a,b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))
template <typename Type>
void Knapsack(Type* v, int *w, int c, int n, Type **m)
{
//递归初始条件
int jMax = min(w[n] - 1, c);
for (int j=0; j<=jMax; j++) {
m[n][j] = 0;
}
for (j=w[n]; j<=c; j++) {
m[n][j] = v[n];
}
//i从2到n-1，分别对j>=wi和0<=j<wi即使m(i,j)
for (int i=n-1; i>1; i--) {
jMax = min(w[i] - 1, c);
for (int j=0; j<=jMax; j++) {
m[i][j] = m[i+1][j];
}
for (j=w[i]; j<=c; j++) {
m[i][j] = max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
m[1][c] = m[2][c];
if (c >= w[1]) {
m[1][c] = max(m[1][c], m[2][c-w[1]]+v[1]);
}
}
template <typename Type>
void TraceBack(Type **m, int *w, int c, int n, int* x)
{
for (int i=1; i<n; i++) {
if(m[i][c] == m[i+1][c]) x[i] = 0;
else {
x[i] = 1;
c -= w[i];
}
}
x[n] = (m[n][c])? 1:0;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
int n = 5;
int w[6] = {-1, 2, 2, 6, 5, 4};
int v[6] = {-1, 6, 3, 5, 4, 6};
int c = 10;
int **ppm = new int*[n+1];
for (int i=0; i<n+1; i++) {
ppm[i] = new int[c+1];
}
int x[6];
Knapsack<int>(v, w, c, n, ppm);
TraceBack<int>(ppm, w, c, n, x);
return 0;
}
二.贪心算法求解0-1背包问题
1.贪心法的基本思路：
——从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。
该算法存在问题：
1).不能保证求得的最后解是最佳的；
2).不能用来求最大或最小解问题；
3).只能求满足某些约束条件的可行解的范围。
实现该算法的过程：
从问题的某一初始解出发；
while 能朝给定总目标前进一步 do
求出可行解的一个解元素；
由所有解元素组合成问题的一个可行解；
2.例题分析
1).[背包问题]有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。
要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。
物品 A B C D E F G
重量 35 30 60 50 40 10 25
价值 10 40 30 50 35 40 30
分析：
目标函数： ∑pi最大
约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi<=M( M=150)
（1）根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？
（2）每次挑选所占空间最小的物品装入是否能得到最优解？
（3）每次选取单位容量价值最大的物品，成为解本题的策略。
<程序代码:>(环境:c++)
#include<iostream.h>
#define max 100 //最多物品数
void sort (int n,float a[max],float b[max]) //按价值密度排序
{
int j,h,k;
float t1,t2,t3,c[max];
for(k=1;k<=n;k++)
c[k]=a[k]/b[k];
for(h=1;h<n;h++)
for(j=1;j<=n-h;j++)
if(c[j]<c[j+1])
{t1=a[j];a[j]=a[j+1];a[j+1]=t1;
t2=b[j];b[j]=b[j+1];b[j+1]=t2;
t3=c[j];c[j]=c[j+1];c[j+1]=t3;
}
}
void knapsack(int n,float limitw,float v[max],float w[max],int x[max])
{float c1; //c1为背包剩余可装载重量
int i;
sort(n,v,w); //物品按价值密度排序
c1=limitw;
for(i=1;i<=n;i++)
{
if(w[i]>c1)break;
x[i]=1; //x[i]为1时，物品i在解中
c1=c1-w[i];
}
}
void main()
{int n,i,x[max];
float v[max],w[max],totalv=0,totalw=0,limitw;
cout<<"请输入n和limitw:";
cin>>n >>limitw;
for(i=1;i<=n;i++)
x[i]=0; //物品选择情况表初始化为0
cout<<"请依次输入物品的价值："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i];
cout<<endl;
cout<<"请依次输入物品的重量："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
cout<<endl;
knapsack (n,limitw,v,w,x);
cout<<"the selection is:";
for(i=1;i<=n;i++)
{
cout<<x[i];
if(x[i]==1)
totalw=totalw+w[i];
}
cout<<endl;
cout<<"背包的总重量为："<<totalw<<endl; //背包所装载总重量
cout<<"背包的总价值为："<<totalv<<endl; //背包的总价值
}
三.回溯算法求解0-1背包问题
1.0-l背包问题是子集选取问题。
一般情况下，0-1背包问题是NP难题。0-1背包
问题的解空间可用子集树表示。解0-1背包问题的回溯法与装载问题的回溯法十分类
似。在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入其左子树。当
右子树有可能包含最优解时才进入右子树搜索。否则将右子树剪去。设r是当前剩余
物品价值总和；cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r≤bestp时，可剪去右
子树。计算右子树中解的上界的更好方法是将剩余物品依其单位重量价值排序，然后
依次装入物品，直至装不下时，再装入该物品的一部分而装满背包。由此得到的价值是
右子树中解的上界。
2.解决办法思路：
为了便于计算上界，可先将物品依其单位重量价值从大到小排序，此后只要顺序考
察各物品即可。在实现时，由bound计算当前结点处的上界。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行结点，搜索就进入左子树，在右子树中有可能包含最优解是才进入右子树搜索。否则将右子树剪去。
回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
2.算法框架：
a.问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
b.回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。换句话说，这个结点不再是一个活结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
3.运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：
a.针对所给问题，定义问题的解空间；
b.确定易于搜索的解空间结构；
c.以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
#include<iostream>
using namespace std;
class Knap
{
friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n );
public:
void print()
{
for(int m=1;m<=n;m++)
{
cout<<bestx[m]<<" ";
}
cout<<endl;
};
private:
int Bound(int i);
void Backtrack(int i);
int c;//背包容量
int n; //物品数
int *w;//物品重量数组
int *p;//物品价值数组
int cw;//当前重量
int cp;//当前价值
int bestp;//当前最优值
int *bestx;//当前最优解
int *x;//当前解
};
int Knap::Bound(int i)
{
//计算上界
int cleft=c-cw;//剩余容量
int b=cp;
//以物品单位重量价值递减序装入物品
while(i<=n&&w[i]<=cleft)
{
cleft-=w[i];
b+=p[i];
i++;
}
//装满背包
if(i<=n)
b+=p[i]/w[i]*cleft;
return b;
}
void Knap::Backtrack(int i)
{
if(i>n)
{
if(bestp<cp)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
bestx[j]=x[j];
bestp=cp;
}
return;
}
if(cw+w[i]<=c) //搜索左子树
{
x[i]=1;
cw+=w[i];
cp+=p[i];
Backtrack(i+1);
cw-=w[i];
cp-=p[i];
}
if(Bound(i+1)>bestp)//搜索右子树
{
x[i]=0;
Backtrack(i+1);
}
}
class Object
{
friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n);
public:
int operator<=(Object a)const
{
return (d>=a.d);
}
private:
int ID;
float d;
};
int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n)
{
//为Knap::Backtrack初始化
int W=0;
int P=0;
int i=1;
Object *Q=new Object[n];
for(i=1;i<=n;i++)
{
Q[i-1].ID=i;
Q[i-1].d=1.0*p[i]/w[i];
P+=p[i];
W+=w[i];
}
if(W<=c)
return P;//装入所有物品
//依物品单位重量排序
float f;
for( i=0;i<n;i++)
for(int j=i;j<n;j++)
{
if(Q[i].d<Q[j].d)
{
f=Q[i].d;
Q[i].d=Q[j].d;
Q[j].d=f;
}
}
Knap K;
K.p = new int[n+1];
K.w = new int[n+1];
K.x = new int[n+1];
K.bestx = new int[n+1];
K.x[0]=0;
K.bestx[0]=0;
for( i=1;i<=n;i++)
{
K.p[i]=p[Q[i-1].ID];
K.w[i]=w[Q[i-1].ID];
}
K.cp=0;
K.cw=0;
K.c=c;
K.n=n;
K.bestp=0;
//回溯搜索
K.Backtrack(1);
K.print();
delete [] Q;
delete [] K.w;
delete [] K.p;
return K.bestp;
}
void main()
{
int *p;
int *w;
int c=0;
int n=0;
int i=0;
char k;
cout<<"0-1背包问题——回溯法 "<<endl;
cout<<" by zbqplayer "<<endl;
while(k)
{
cout<<"请输入背包容量(c)："<<endl;
cin>>c;
cout<<"请输入物品的个数(n)："<<endl;
cin>>n;
p=new int[n+1];
w=new int[n+1];
p[0]=0;
w[0]=0;
cout<<"请输入物品的价值(p)："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>p[i];
cout<<"请输入物品的重量(w)："<<endl;
for(i=1;i<=n;i++)
cin>>w[i];
cout<<"最优解为(bestx)："<<endl;
cout<<"最优值为(bestp)："<<endl;
cout<<Knapsack(p,w,c,n)<<endl;
cout<<"[s] 重新开始"<<endl;
cout<<"[q] 退出"<<endl;
cin>>k;
}
四.分支限界法求解0-1背包问题
1.问题描述：已知有N个物品和一个可以容纳M重量的背包，每种物品I的重量为WEIGHT，一个只能全放入或者不放入，求解如何放入物品，可以使背包里的物品的总效益最大。
2.设计思想与分析：对物品的选取与否构成一棵解树，左子树表示不装入，右表示装入，通过检索问题的解树得出最优解，并用结点上界杀死不符合要求的结点。
#include <iostream.h>
struct good
{
int weight;
int benefit;
int flag;//是否可以装入标记
};
int number=0;//物品数量
int upbound=0;
int curp=0, curw=0;//当前效益值与重量
int maxweight=0;
good *bag=NULL;
void Init_good()
{
bag=new good [number];
for(int i=0; i<number; i++)
{
cout<<"请输入第件"<<i+1<<"物品的重量:";
cin>>bag[i].weight;
cout<<"请输入第件"<<i+1<<"物品的效益:";
cin>>bag[i].benefit;
bag[i].flag=0;//初始标志为不装入背包
cout<<endl;
}
}
int getbound(int num, int *bound_u)//返回本结点的c限界和u限界
{
for(int w=curw, p=curp; num<number && (w+bag[num].weight)<=maxweight; num++)
{
w=w+bag[num].weight;
p=w+bag[num].benefit;
}
*bound_u=p+bag[num].benefit;
return ( p+bag[num].benefit*((maxweight-w)/bag[num].weight) );
}
void LCbag()
{
int bound_u=0, bound_c=0;//当前结点的c限界和u限界
for(int i=0; i<number; i++)//逐层遍历解树决定是否装入各个物品
{
if( ( bound_c=getbound(i+1, &bound_u) )>upbound )//遍历左子树
upbound=bound_u;//更改已有u限界,不更改标志
if( getbound(i, &bound_u)>bound_c )//遍历右子树
//若装入，判断右子树的c限界是否大于左子树根的c限界，是则装入
{
upbound=bound_u;//更改已有u限界
curp=curp+bag[i].benefit;
curw=curw+bag[i].weight;//从已有重量和效益加上新物品
bag[i].flag=1;//标记为装入
}
}
}
void Display()
{
cout<<"可以放入背包的物品的编号为：";
for(int i=0; i<number; i++)
if(bag[i].flag>0)
cout<<i+1<<" ";
cout<<endl;
delete []bag;
}
❽ C语言背包问题递归算法
你学过数据结构了吗？如果学过，那就比较好理解，该算法的思路和求二叉树的高度的算法的思路是十分类似的。把取这i个物体看成i个阶段，则该二叉树有i+1层。其中空背包时为根结点，左孩子则为放弃了第1个物品后的背包，右孩子为选取了第1个物品后的背包。今后在对第i个物品进行选择时，向左表示放弃，向右表示选取。则递归算法可如下：
int fun(int s, int i, int n) //s传入的是背包容量, i是进行第i个物品的选取，n为剩余物品的件数
{
if(s == 0) return 有解；
else if(剩余的每件物品都装不进|| n == 0) return 无解；
L = fun(s, i + 1, n - 1); //放弃第i个物品，则下一步的背包容量仍为s，然后看其是否有解，(递归调用进入左子树)
R = fun(s - wi, i + 1, n - 1); //选取第i个物品，则下一步的背包容量为s-wi，然后看其是否有解，(递归调用进入右子树)
return (l, r); //综合考虑左右两边，看哪边是正解或都无解。其实应该返回 return (L||R);
}
❾ 0-1背包问题用什么实现算法最好
我们书上给的0-1背包问题是是用动态规划方法做的这个算法是动态规划的典型应用所以你把动态规划的思想搞清楚就应该可以理解了下面我把动态规划的思想给你说一下,希望对你有所帮助.哦..不好意思..时间不多了..你自己到网上找一下这方面的思想..然后结合一个实例认真研读一下..弄懂之后..你对动态规划..0-1背包问题就会有比较深入的理解.建议好好学一下算法..这对计算机专业学生来说很重要..我越来越觉得祝学有所成
❿ 求背包问题贪心算法实例结果
找零钱问题：以人民币1元，2元，5元，10元，20元，50元，100元为例，要求所找的张数最少
背包问题：假设物体重量W1，W2．．．Wn其对应的价值为P1，P2．．．Pn，物体可分割，求装入重量限制为m的背包中的物体价值最大．可用P/W来解答．
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct good//表示物品的结构体
{
double p;//价值
double w;//重量
double r;//价值与重量的比
}a[2000];
double s,value,m;
int i,n;
bool bigger(good a,good b)
{
return a.r>b.r;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);//物品个数
for (i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lf%lf",&a[i].w,&a[i].p);
a[i].r=a[i].p/a[i].w;
}
sort(a,a+n,bigger);//调用sort排序函数，你大概不介意吧，按照价值与重量比排序贪心
scanf("%lf",&m);//读入包的容量m
s=0;//包内现存货品的重量
value=0;//包内现存货品总价值
for (i=0;i<n&&s+a[i].w<=m;i++)
{
value+=a[i].p;
s+=a[i].w;
}
printf("The total value in the bag is %.2lf.\n",value);//输出结果
return 0;
}