超分辨算法

‘壹’ sarfft成像算法是什么算法

雷达成像基于目标的散射点模型.雷达通常发射长时宽的线频调(chirp)信号，然后用参考信号对回波作解线频调(dechirp)处理，再将解线频调的回波作横向排列，则在一定条件下它可近似为二维正弦信号模型，通过二维傅里叶变换，可以重构目标的二维像；采用超分辨算法［1～3］，还可得到更精细的二维目标像.
应当指出，上述二维模型是假设散射点在成像期间不发生超越分辨单元走动，近似认为散射点的移动只影响回波的相移，而子回波包络则固定不变.这种近似，只适用于小观察角时参考点附近有限小尺寸目标成像.
如果目标较大，特别是在离参考点较远处，越分辨单元移动(MTRC)便会发生，从而使得用简单二维模型获得的图像模糊.传统解决的方法是按目标转动用极坐标-直角坐标插值.插值不可避免地会有误差，而超分辨算法通常基于参数化估计，对误差较为敏感，这会影响成像质量.
本文介绍一种近似度较高的二维模型，并利用该模型通过超分辨算法成像，可获得较好的结果.
二、维回波模型
设目标有K个散射点，雷达以平面波自下向上照射目标(图1).目标以参考点为原点相对雷达射线转动，经过N次脉冲发射，散射点Pk点移至P′k点，移动中第n次脉冲时该散射点的垂直坐标为：
ykn=yk+Δykn=xksin(nδθ)+ykcos(nδθ),n=0,1,…,N-1(1)
式中δθ为相邻脉冲的转角，总观测角Δθ=(N-1)δθ.考虑到雷达发射的是长时宽的线频调信号，以原点为参考作解线频调处理，并对信号以 的频率采样，得目标的回波信号(离散形式)为：
(2)
式中Ak为第k个散射点子回波信号的复振幅;fc、γ分别是雷达载频和调频率，c为光速；e(m,n)为加性噪声.

图1二维雷达目标几何图
由于观测角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，则式(2)可近似写成:
(3)
式中
式(3)指数项中的第三项是时频耦合项，它是线频调信号(其模糊函数为斜椭圆)所特有的，如果采用窄脉冲发射，则该项不存在.将该项忽略，则式(3)成为常用的回波二维正弦信号模型.
实际上，式(3)的第三项系“距离移动”项，它与散射点的横坐标xk成正比，目标区域大时必须考虑，而且这还远远不够，散射点的多普勒移动也必须考虑.为此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，则式(2)较精确的近似式可写成：
(4)
式(4)与式(3)相比较，指数中增加了两项，其中前一项是“多普勒移动”项，纵坐标yk越大，影响也越大，这可以补充式(3)之不足；而后项是时频耦合的多普勒移动项，由于Mγ/Fslt;lt;fc，它的影响可以忽略.因此，可将考虑MTRC情况下，回波二维模型的一阶近似式写成：
(5)
需要指出，每个散射点的参数之间存在下述关系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和 k/vk=fcFs/γδθ.由于雷达参数(fc,γ,Fs)和运动参数(δθ)均已知，所以待估计的五个参数中只有三个是独立的.本文假设五个参数是独立的，而在成像计算中已考虑参数之间的关系.
设{ξk}Kk=1≡{αk,ωk, k,μk,vk}Kk=1，现在我们要从y(m,n)中估计参量{ξk}Kk=1.
三、二维推广的RELAX算法
对于(5)式所示的信号模型，令：
Y=［y(m,n)］M×N
则 (6)
式中

设ξk估计值为 ，则ξk的估计问题可通过优化下述代价函数解决：
(7)
式中‖.‖F表示矩阵的Frobenius范数，⊙表示矩阵的Hadamard积.
上式中C1的最优化是一个多维空间的寻优问题，十分复杂.本文将RELAX［3］算法推广以求解.为此，首先做以下准备工作，令：
(8)
即假定{ i}i=1,2,…,K,i≠k已经求出，则式(7)C1的极小化等效于下式的极小化：
C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN( k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F(9)
令：Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)(10)
由于Pk为酉矩阵，矩阵Dk的每个元素的模Dk(m,n)=1,显然矩阵Yk与Zk的F范数相同，故C2的极小化等效于下式的极小化：
C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN( k)‖2F(11)
对上式关于αk求极小值就获得αk的估计值 k：
k=aHM(ωk)Zkb*N( k)/(MN)(12)
从式(12)可以看出： 是Zk归一化的二维离散傅里叶变换在{ωk, k}处的值，所以只要得到估计值{ k, k, k, k}，即可通过2D-FFT获得 k.
将估计值 k代入式(11)后，估计值{ k, k, k, k}可由下式寻优得到：
(13)
由上式可见，对于固定的{μk,vk}取值,估计值{ k, k}为归一化的周期图aHM(ωk)Zkb*N( k)2/(MN)主峰处的二维频率值.这样，式(13)的优化问题归结为：在(μk,vk)平面上可能的取值范围内寻找一点{ k, k}，在该点处周期图aHM(ωk)Zkb*N( k)2/(MN)的主峰值比其余各点处的主峰值都大.所以，我们通过上述二维寻优获得{μk,vk}的估计值{ k, k}，再由式(13)得到{ωk, k}的估计值{ k, k}.
实际中，为了加快运算速度，二维(μk,vk)平面的寻优可以用Matlab中的函数Fmin()实现.
在做了以上的准备工作以后，基于推广的RELAX算法的参量估计步骤如下：
第一步：假设信号数K=1,分别利用式(13)和式(12)计算 1.
第二步(2)：假设信号数K=2，首先将第一步计算所得到的 1代入式(8)求出Y2，再利用式(13)和式(12)计算 2；将计算的 2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新计算 1，这个过程反复叠代，直至收敛.
第三步:假设信号数K=3,首先将第二步计算所得到的 1和 2代入式(8)求出Y3，再利用式(13)和式(12)计算 3；将计算的 3和 2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新计算 1；将计算的 1和 3代入式(8)求出Y2，然后利用式(13)和式(12)重新计算 2，这个过程反复叠代，直至收敛.
剩余步骤：令K=K+1,上述步骤持续进行，直到K等于待估计信号数.
上述过程中的收敛判据与RELAX算法的收敛判据相同，即比较代价函数C1在两次叠代过程中的变化值，如果这个变换值小于某个值，如ε=10-3，则认为过程收敛.
四、数值模拟
1.算法参数估计性能模拟
模拟数据由式（5）产生，M=10,N=10，信号数K=2.信号参数和实验条件如表1所示,为复高斯白噪声.注意两信号的频率差小于FFT的分辨率Δf=Δω/(2π)=0.1.表1给出了信号参数估计均方根误差的统计结果及相应情形时的C-R界，可见，估计均方根误差与CR界十分接近.另外表中还给出了估计均值，与真实值也非常接近.
表1二维信号的参数估计、CRB及与均方根差的比较

2.SAR成像模拟
雷达参数为：中心频率f0=24.24GHz,调频率γ=33.357×1011Hz/s,带宽B=133.5MHz,脉冲宽度tp=40μs.四个点目标作正方形放置，间隔50米，左下角的点作为参考点.雷达与目标间隔1公里，观察角Δθ=3.15，数据长度为128×128.采用FFT成像方法时，其纵向和横向距离分辨率为ρr=ρa=1.123米，防止MTRC现象发生所需的目标最大范围为［4］：纵向尺寸Dr＜4ρ2r/λ=40米，横向尺寸Da＜4ρ2a/λ=40米.采用常规超分辨方法时，目标尺寸Dr=Da＞10米则出现明显的性能下降.图2、图3分别给出了RELAX方法及本文推广的RELAX(Extended RELAX)算法的成像结果.可以看出，由于目标远离参考中心，已在横向和纵向出现距离走动，采用常规超分辨的RELAX算法产生图像模糊，对于本文算法，则得到基本正确的成像结果.图4和图5则比较了RELAX算法和推广的RELAX算法的散射点强度估计结果，可以看到，RELAX算法由于距离走动影响，散射点（除参考点以外）的强度降低.对于本文算法，散射点强度接近真实值.

图2距离走动误差下的RELAX成像结果 图3距离走动误差下的

图4RELAX方法估计的信号强度推广RELAX成像结果 图5推广RELAX方法估计的信号强度
五、结束语
现有的雷达成像超分辨算法是基于目标回波信号的二维正弦信号模型，所以仅适用于目标位于参考点附近很小区域时的情形.当目标远离参考点时，模型误差，特别是距离走动误差，将使算法性能严重下降或失效.为此，本文提出一种基于雷达成像近似二维模型的超分辨算法,从而扩大了超分辨算法的适用范围.本文进一步的工作包括SAR实测数据成像及ISAR机动目标成像，结果将另文报道.
附 录：参数估计的C-R界
下面我们给出式(5)所示的二维信号参量估计的C-R界表达式.同时假设式(5)中加性噪声为零均值高斯色噪声，其协方差矩阵未知.令：
y=vec(Y)(A.1)
e=vec(E)(A.2)
dk=vec(Dk)(A.3)
式中vec(X)=(xT1,xT2，…，xTN)T，向量xn(n=1,2,…,N)为矩阵X的列向量.我们将式(5)改写为如下向量形式：
(A.4)
式中 表示Kronecker积,Ω=［{［P1bN( 1)］ aM(ω1)}⊙d1…{［PkbN( K)］ aM(ωK)}⊙dK］,α=(α1，α2，…，αK)T.
令Q=E(eeH)为e的协方差矩阵，则对于由式(A.4)所示的二维信号模型，其Fisher信息阵(FIM)的第ij个元素推广的Slepian-Bangs公式为［5,6］:
(FIM)ij=tr(Q-1Q′iQ-1Q′j)+2Re［(αHΩH)′iQ-1(Ωα)′j］(A.5)
式中X′i表示矩阵X对第i个参数求导，tr(X)为矩阵的迹，Re(X)为矩阵的实部.由于Q与Ωα中的参量无关，而Ωα亦与Q的元素无关，显然FIM为一块对角阵.所以待估计参量的C-R界矩阵由(A.5)式的第二项得到.
令：η=(［Re(α)］T［Im(α)］TωT TμTvT)T(A.6)
式中ω=(ω1，ω2，…，ωK)T,μ=(μ1,μ2,…,μK)T, =( 1， 2，…， K)T,v=(v1,v2,…,vK)T.
令：F=［ΩjΩDωΘD ΘDμΘDvΘ］(A.7)
式中矩阵Dω、D 、Dμ、Dv的第k列分别为： ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ ωk、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ k、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ μk、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ vk，Θ=diag{α1α2…αK}.则关于参量向量η的CRB矩阵为
CRB(η)=［2Re(FHQ-1F)］-1(A.8)

‘贰’ 请问MUSIC算法和LMS算法到底是怎么回事,都是用来干吗的啊

这是两种不同的算法,MUSIC算法是多重信号分类算法,是经典的空间谱估计算法,通过将接受信号分成噪声子空间和信号子空间(这两子空间正交)达到超分辨谱估计.MUSIC算法可以完成DOA(波达方向)估计和频率估计.其实质是基于一维搜索的噪声子空间算法.
LMS算法是最小均方算法，是自适应技术的基础．LMS算法是达到输入信号与期望信号有最小的均方误差的一种算法．

‘叁’ 目前最热开源实时动漫超分辨率算法，Anime4K有什么特点超越其他算法

Anime4K算法可以实现实时把动画变成4k高清，并且延时仅3毫秒的误差，这就是Anime4K超越其他算法的最大特点。

Anime4K为什么这么牛气呢，这是因为它专注于动漫一件事，专注就会带来成绩。Anime4K相比传统超分辨率算法是为了真实的视频而设计，因此它在去模糊或锐化的方式，在靠近物体边缘的时候会发生过冲从而分散观众注意力，导致让人觉得图像画质低，而机器学习方法又太慢，完全不能实时，延时一般都会超过30毫秒以上

而我们聪明的Anime4K，只考虑处理动画，真实的视频有非常多纹理，而动画没有，所以Anime4K基本都是用平直着色法处理的物体和线条，只要画质变好一点点，观众也看得出。Anime4Kd机智地专注于细化边缘，而不考虑整张的画质提升，其实就是偷了个懒，但是大大的提升了效率。

‘肆’ SRCNN小结

       最近要学做一些关于低剂量重建得工作，花了两天时间专门看了一下SRCNN[1]的论文，以下是自己学习的一些总结。

    首先，SRCNN的网络结构如下：

    SRCNN是一个用于图像图像超分辨的CNN网络，也是用CNN做超分辨的开山之作。在原文中，作者设计了一个三层的全卷积神经网络。SRCNN算法流程如下：

    1.首先对输入的低分辨率的图像使用双三次插值放大至目标尺寸。

    2.将低分辨率图像输入三层卷积神经网络。

    在SRCNN的训练过程中，作者采用平均均方差（MSE：mean squared error）来作为损失函数，并且为了在训练过程中避免边界效应，并未对图像桐悉锋进行填充。在训练过程中前两层的学习率设为0.0001，最后一层学习率为0.00001。在训练过程中，图片采用的是YCbCr格式的图像，并只对Y通道的图像进行超分辨局晌处理，因此输入的通道数c=1。通过对比不同的数据集陆喊以及网络结构，作者得到如下结论。

    1.大量的数据集会对训练的结果有一定提升作用，但提升作用不像其他视觉任务那样明显。

    2.增加网络的宽度（filter数量）会显着的提升训练结果。    

    3.增加filter的size可以收集更丰富的结构信息，从而得到更好的结果。

    4.增加网络层数不会对结果有明显的提升作用，反而会增加训练的难度。

    5.在RGB图像上实现最好的效果，与单通道（Y-only）相比提升并不明显。加入CrCb反而不利于训练。

‘伍’ 请问雷达成像算法中的时域反转镜技术具体计算过程是怎样的谢谢~

雷达成像基于目标的散射点模型.雷达通常发射长时宽的线频调(chirp)信号，然后用参考信号对回波作解线频调(dechirp)处理，再将解线频调的回波作横向排列，则在一定条件下它可近似为二维正弦信号模型，通过二维傅里叶变换，可以重构目标的二维像；采用超分辨算法［1～3］，还可得到更精细的二维目标像.
应当指出，上述二维模型是假设散射点在成像期间不发生超越分辨单元走动，近似认为散射点的移动只影响回波的相移，而子回波包络则固定不变.这种近似，只适用于小观察角时参考点附近有限小尺寸目标成像.
如果目标较大，特别是在离参考点较远处，越分辨单元移动(MTRC)便会发生，从而使得用简单二维模型获得的图像模糊.传统解决的方法是按目标转动用极坐标-直角坐标插值.插值不可避免地会有误差，而超分辨算法通常基于参数化估计，对误差较为敏感，这会影响成像质量.
本文介绍一种近似度较高的二维模型，并利用该模型通过超分辨算法成像，可获得较好的结果.
二、维回波模型
设目标有K个散射点，雷达以平面波自下向上照射目标(图1).目标以参考点为原点相对雷达射线转动，经过N次脉冲发射，散射点Pk点移至P′k点，移动中第n次脉冲时该散射点的垂直坐标为：
ykn=yk+Δykn=xksin(nδθ)+ykcos(nδθ),n=0,1,…,N-1(1)
式中δθ为相邻脉冲的转角，总观测角Δθ=(N-1)δθ.考虑到雷达发射的是长时宽的线频调信号，以原点为参考作解线频调处理，并对信号以 的频率采样，得目标的回波信号(离散形式)为：
(2)
式中Ak为第k个散射点子回波信号的复振幅;fc、γ分别是雷达载频和调频率，c为光速；e(m,n)为加性噪声.

图1二维雷达目标几何图
由于观测角Δθ很小，取近似sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1，则式(2)可近似写成:
(3)
式中
式(3)指数项中的第三项是时频耦合项，它是线频调信号(其模糊函数为斜椭圆)所特有的，如果采用窄脉冲发射，则该项不存在.将该项忽略，则式(3)成为常用的回波二维正弦信号模型.
实际上，式(3)的第三项系“距离移动”项，它与散射点的横坐标xk成正比，目标区域大时必须考虑，而且这还远远不够，散射点的多普勒移动也必须考虑.为此，令sin(nδθ)≈nδθ和cos(nδθ)≈1-(nδθ)2/2，则式(2)较精确的近似式可写成：
(4)
式(4)与式(3)相比较，指数中增加了两项，其中前一项是“多普勒移动”项，纵坐标yk越大，影响也越大，这可以补充式(3)之不足；而后项是时频耦合的多普勒移动项，由于Mγ/Fs<<fc，它的影响可以忽略.因此，可将考虑MTRC情况下，回波二维模型的一阶近似式写成：
(5)
需要指出，每个散射点的参数之间存在下述关系：ωk/μk=2γ/Fsfcδθ2和 k/vk=fcFs/γδθ.由于雷达参数(fc,γ,Fs)和运动参数(δθ)均已知，所以待估计的五个参数中只有三个是独立的.本文假设五个参数是独立的，而在成像计算中已考虑参数之间的关系.
设{ξk}Kk=1≡{αk,ωk, k,μk,vk}Kk=1，现在我们要从y(m,n)中估计参量{ξk}Kk=1.
三、二维推广的RELAX算法
对于(5)式所示的信号模型，令：
Y=［y(m,n)］M×N
则 (6)
式中

设ξk估计值为 ，则ξk的估计问题可通过优化下述代价函数解决：
(7)
式中‖.‖F表示矩阵的Frobenius范数，⊙表示矩阵的Hadamard积.
上式中C1的最优化是一个多维空间的寻优问题，十分复杂.本文将RELAX［3］算法推广以求解.为此，首先做以下准备工作，令：
(8)
即假定{ i}i=1,2,…,K,i≠k已经求出，则式(7)C1的极小化等效于下式的极小化：
C2(ξk)=‖Yk-αk(aM(ωk)bTN( k)Pk)⊙Dk(vk)‖2F(9)
令：Zk=YkP-1k⊙Dk(-vk)(10)
由于Pk为酉矩阵，矩阵Dk的每个元素的模|Dk(m,n)|=1,显然矩阵Yk与Zk的F范数相同，故C2的极小化等效于下式的极小化：
C3=‖Zk-αkaM(ωk)bTN( k)‖2F(11)
对上式关于αk求极小值就获得αk的估计值 k：
k=aHM(ωk)Zkb*N( k)/(MN)(12)
从式(12)可以看出： 是Zk归一化的二维离散傅里叶变换在{ωk, k}处的值，所以只要得到估计值{ k, k, k, k}，即可通过2D-FFT获得 k.
将估计值 k代入式(11)后，估计值{ k, k, k, k}可由下式寻优得到：
(13)
由上式可见，对于固定的{μk,vk}取值,估计值{ k, k}为归一化的周期图|aHM(ωk)Zkb*N( k)|2/(MN)主峰处的二维频率值.这样，式(13)的优化问题归结为：在(μk,vk)平面上可能的取值范围内寻找一点{ k, k}，在该点处周期图|aHM(ωk)Zkb*N( k)|2/(MN)的主峰值比其余各点处的主峰值都大.所以，我们通过上述二维寻优获得{μk,vk}的估计值{ k, k}，再由式(13)得到{ωk, k}的估计值{ k, k}.
实际中，为了加快运算速度，二维(μk,vk)平面的寻优可以用Matlab中的函数Fmin()实现.
在做了以上的准备工作以后，基于推广的RELAX算法的参量估计步骤如下：
第一步：假设信号数K=1,分别利用式(13)和式(12)计算 1.
第二步(2)：假设信号数K=2，首先将第一步计算所得到的 1代入式(8)求出Y2，再利用式(13)和式(12)计算 2；将计算的 2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新计算 1，这个过程反复叠代，直至收敛.
第三步:假设信号数K=3,首先将第二步计算所得到的 1和 2代入式(8)求出Y3，再利用式(13)和式(12)计算 3；将计算的 3和 2代入式(8)求出Y1，然后利用式(13)和式(12)重新计算 1；将计算的 1和 3代入式(8)求出Y2，然后利用式(13)和式(12)重新计算 2，这个过程反复叠代，直至收敛.
剩余步骤：令K=K+1,上述步骤持续进行，直到K等于待估计信号数.
上述过程中的收敛判据与RELAX算法的收敛判据相同，即比较代价函数C1在两次叠代过程中的变化值，如果这个变换值小于某个值，如ε=10-3，则认为过程收敛.
四、数值模拟
1.算法参数估计性能模拟
模拟数据由式（5）产生，M=10,N=10，信号数K=2.信号参数和实验条件如表1所示,为复高斯白噪声.注意两信号的频率差小于FFT的分辨率Δf=Δω/(2π)=0.1.表1给出了信号参数估计均方根误差的统计结果及相应情形时的C-R界，可见，估计均方根误差与CR界十分接近.另外表中还给出了估计均值，与真实值也非常接近.
表1二维信号的参数估计、CRB及与均方根差的比较

2.SAR成像模拟
雷达参数为：中心频率f0=24.24GHz,调频率γ=33.357×1011Hz/s,带宽B=133.5MHz,脉冲宽度tp=40μs.四个点目标作正方形放置，间隔50米，左下角的点作为参考点.雷达与目标间隔1公里，观察角Δθ=3.15，数据长度为128×128.采用FFT成像方法时，其纵向和横向距离分辨率为ρr=ρa=1.123米，防止MTRC现象发生所需的目标最大范围为［4］：纵向尺寸Dr＜4ρ2r/λ=40米，横向尺寸Da＜4ρ2a/λ=40米.采用常规超分辨方法时，目标尺寸Dr=Da＞10米则出现明显的性能下降.图2、图3分别给出了RELAX方法及本文推广的RELAX(Extended RELAX)算法的成像结果.可以看出，由于目标远离参考中心，已在横向和纵向出现距离走动，采用常规超分辨的RELAX算法产生图像模糊，对于本文算法，则得到基本正确的成像结果.图4和图5则比较了RELAX算法和推广的RELAX算法的散射点强度估计结果，可以看到，RELAX算法由于距离走动影响，散射点（除参考点以外）的强度降低.对于本文算法，散射点强度接近真实值.

图2距离走动误差下的RELAX成像结果 图3距离走动误差下的

图4RELAX方法估计的信号强度推广RELAX成像结果 图5推广RELAX方法估计的信号强度
五、结束语
现有的雷达成像超分辨算法是基于目标回波信号的二维正弦信号模型，所以仅适用于目标位于参考点附近很小区域时的情形.当目标远离参考点时，模型误差，特别是距离走动误差，将使算法性能严重下降或失效.为此，本文提出一种基于雷达成像近似二维模型的超分辨算法,从而扩大了超分辨算法的适用范围.本文进一步的工作包括SAR实测数据成像及ISAR机动目标成像，结果将另文报道.
附 录：参数估计的C-R界
下面我们给出式(5)所示的二维信号参量估计的C-R界表达式.同时假设式(5)中加性噪声为零均值高斯色噪声，其协方差矩阵未知.令：
y=vec(Y)(A.1)
e=vec(E)(A.2)
dk=vec(Dk)(A.3)
式中vec(X)=(xT1,xT2，…，xTN)T，向量xn(n=1,2,…,N)为矩阵X的列向量.我们将式(5)改写为如下向量形式：
(A.4)
式中 表示Kronecker积,Ω=［{［P1bN( 1)］ aM(ω1)}⊙d1…{［PkbN( K)］ aM(ωK)}⊙dK］,α=(α1，α2，…，αK)T.
令Q=E(eeH)为e的协方差矩阵，则对于由式(A.4)所示的二维信号模型，其Fisher信息阵(FIM)的第ij个元素推广的Slepian-Bangs公式为［5,6］:
(FIM)ij=tr(Q-1Q′iQ-1Q′j)+2Re［(αHΩH)′iQ-1(Ωα)′j］(A.5)
式中X′i表示矩阵X对第i个参数求导，tr(X)为矩阵的迹，Re(X)为矩阵的实部.由于Q与Ωα中的参量无关，而Ωα亦与Q的元素无关，显然FIM为一块对角阵.所以待估计参量的C-R界矩阵由(A.5)式的第二项得到.
令：η=(［Re(α)］T［Im(α)］TωT TμTvT)T(A.6)
式中ω=(ω1，ω2，…，ωK)T,μ=(μ1,μ2,…,μK)T, =( 1， 2，…， K)T,v=(v1,v2,…,vK)T.
令：F=［ΩjΩDωΘD ΘDμΘDvΘ］(A.7)
式中矩阵Dω、D 、Dμ、Dv的第k列分别为： ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ ωk、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ k、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ μk、 ［{［PkbN( k)］ aM(ωk)}⊙dk］/ vk，Θ=diag{α1α2…αK}.则关于参量向量η的CRB矩阵为
CRB(η)=［2Re(FHQ-1F)］-1(A.8)