共轭梯度算法

① 共轭梯度法是什么

共轭梯度法（Conjugate Gradient）是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息。

但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。

在各种优化算法中：

共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，存储量少，计算方便。

② 什么是共轭梯度法

共轭梯度法，又称共轭斜量法。。。
几句话说不清楚，建议参考下数值代数。

③ 共轭梯度法的介绍

共轭梯度法（Conjugate Gradient）是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

④ 什么是共轭梯度法

共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 共轭梯度法最早是又Hestenes和Stiefle（1952）提出来的，用于解正定系数矩阵的线性方程组，在这个基础上，Fletcher和Reeves（1964）首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，现在共轭梯度法已经广泛地应用与实际问题中。 共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，存储量少，计算方便

⑤ 如何更好的理解共轭梯度方法

共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

⑥ 共轭梯度法 公式问题

共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 共轭梯度法最早是又Hestenes和Stiefle（1952）提出来的，用于解正定系数矩阵的线性方程组，在这个基础上，Fletcher和Reeves（1964）首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。由于共轭梯度法不需要矩阵存储，且有较快的收敛速度和二次终止性等优点，现在共轭梯度法已经广泛地应用与实际问题中。 共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，存储量少，计算方便

⑦ 牛顿法，拟牛顿法，共轭梯度法各自的优缺点是什么

牛顿法需要函数的一阶、二阶导数信息，也就是说涉及到Hesse矩阵，包含矩阵求逆运算，虽然收敛速度快但是运算量大。拟牛顿法采用了一定的方法来构造与Hesse矩阵相似的正定矩阵，而这个构造方法计算量比牛顿法要小；共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜素，求出目标函数的极小点。根据共轭方向基本性质，这种方法运算量不太大收敛速度也不慢。

⑧ 梯度下降法和共轭梯度法有何异同

两者的区别：

梯度下降法是沿着梯度的负方向最小化目标函数；共轭方向法是把x表示成相对于系数矩阵A共轭的一组基向量的线性组合，然后每次沿着共轭方向一维最小化目标函数。

梯度下降法就是常说的最速下降法，考虑一个n维空间，我任意选取一个初始点，然后每次迭代的时候都以该点的负梯度方向（如果目标函数求最小值）进行精确一维搜索，正因为是精确搜索，所以相邻的迭代方向正交的，所以会出现“锯齿”现象，可能刚开始下降很多，但到后面越来越慢，收敛速度很慢。

而共轭梯度法是共轭方向法的一种，它在最速下降法的基础上对它进行了改良，初始点的下降方向仍是负梯度方向，但后面的迭代方向不再是该点的负梯度方向了，后面的迭代方向是该点的负梯度方向和前一次迭代方向形成的凸锥中的一个方向，这样有效地避免了“锯齿”现象。

总结如下：

共轭梯度法在空间寻找一组basis，然后把优化问题完全分解成n个等价的子问题（expanded subplane minimizer），用n个局部最优可以合成一个全局最优。

⑨ 共轭梯度法与变尺度法的优缺点比较，相比而言，都有什么优点和缺点

共轭梯度法：
计算简单，收敛速度快；收敛速度比最速下降法大为加快，而计算又比牛顿法大为简化；

变尺度法：
收敛快，效果好，被认为是目前最有效的无约束优化方法。适用于维数较高，具有一阶偏导数的目标函数。

针对梯度法收敛速度慢，提出收敛速度更快的共轭梯度法；针对牛顿法的缺点提出了变尺度法。