组合算法教程
⑴ 排列组合公式及排列组合算法
排列组合公式
排列组合公式/排列组合计算公式
公式P是指排列，从N个元素取M个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取M个进行组合，不进行排列。
N-元素的总个数
M参与选择的元素个数
！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N到数M个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-m+1);
因为从n到（n-m+1)个数为n－(n-m+1)＝m
举例：
Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P(3,9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）
Q2:有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2:213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1
⑵ 排列组合中A和C怎么算啊
1、排列组合中，组合的计算公式为：
⑶ 组合数公式的算法举例
1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？
2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧，然后把这两个题目作为例题。
先定义一个符号，用S（K=1，N）F（K）表示函数F（K）从K=1到K=N求和。
公式1：
C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）
公式1 证明：
方法1、可直接利用组合数的公式证明。
方法2、（更重要的思路）。
从M个元素中任意指定一个元素。则选出N个的方法中，包含这一个元素的有C（M-1，N-1）种组合，不包含这一个元素的有C（M-1，N）种组合。
因此，C（M-1，N-1）+C（M-1，N）=C（M，N）
公式2：
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N） （M》=N）
证明：C（M，N）是从M个物品中任选N个的方法。
从M个物品中任意指定M-N个，并按次序编号为第1到第M-N号，而其余的还有N个。
则选出N个的方法可分类为：
包含1号的有C（M-1，N-1）种；
不包含1号，但包含2号的有C（M-2，N-1）种；
。。。。。。
不包含1到M-K号，但包含M-K+1号的有C（K-1，N-1）种
。。。。。。
不包含1到M-N-1号，但包含M-N号的有C（N，N-1）种不包含1到M-N号的有C（N，N）种，而C（N，N）=C（N-1，N-1）
由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法，因此
S（K=N，M）C（K-1，N-1）=C（M，N）
公式3：
S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N） （P，Q）=N）
证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C（P+Q，N）。而公式里面的K表示选法中正品数量，
C（P，K）*C（Q，N-K）表示N件产品中有K件正品，N-K件次品的选法。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品、次品数的组合。
因此，S（K=0，N）C（P，K）*C（Q，N-K）=C（P+Q，N）
公式4（一种变换技巧）：
S（K=0，N）K*C（M，K）=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）
证明：
S（K=0，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*C（M，K）
=S（K=1，N）K*M！/K！/（M-K）！
=S（K=1，N）M*（M-1）！/（K-1）！/（M-K）！
=S（K=1，N）M*C（M-1，K-1）
=S（K=0，N-1）M*C（M-1，K）
公式5（公式4的同种）
S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）
=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）
证明：（类似上式）
S（K=0，N）K*（K-1）*C（M，K）
=S（K=2，N）K*（K-1）*M！/K！/（M-K）！
=S（K=2，N）M*（M-1）*（M-2）！/（K-2）！/（M-K）！
=S（K=2，N）M*（M-1）*C（M-2，K-2）
=S（K=0，N-2）M*（M-1）*C（M-2，K）
公式4用于求数学期望，公式4、公式5结合起来可用于求方差。
例1、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件，求得到次品数的期望和方差？
解：（本题利用公式3、4、5）
有K件次品的概率为：
P（K）=C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
E（X）
=S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=S（K=0，149）1000*C（999，K）*（14000，149-K）/C（15000，150）
=1000*C（14999，149）/C（15000，150）
=10
D（X）
=S（K=0，150）（K-10）*（K-10）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=S（K=0，150）（K*K-K-19*K+100）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=S（K=0，150）K*（K-1）*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
-19*S（K=0，150）K*C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=S（K=0，148）1000*999*C（998，K）*C（14000，148-K）/C（15000，150）
-19*S（K=0，149）*1000*C（999，K）*C（14000，149-K）/C（15000，150）
+100*S（K=0，150）C（1000，K）*C（14000，150-K）/C（15000，150）
=1000*999*C（14998，148）/C（15000，150）
-19*1000*C（14999，149）/C（15000，150）+100
=138600/14999
=9.240616041
此题推广形式为：
设M件产品中有P件次品，从中拿出N件（N《=P），求得到次品数的期望和方差？
E（X）=P*N/M
D（X）=P*（P-1）*C（M-2，N-2）/C（M，N）
+（1-2*P*N/M）*P*C（M-2，N-2）/C（M，N）+（P*N/M）^2
例2、设某射手对同一目标射击，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数，已知命中率为P，求E（X）、D（X）。
解：射中R次，使用的射击次数为K次(K>=R)，则前K-1次射中R-1次，第K次射中了，概率为：
P（K）=C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
(以下暂时用W表示无穷大）
射中R次，使用的射击次数可为R次、R+1次...W次
因此S（K=R，W）P（K）=1 （这是概率的特点）
即：S（K=R，W）C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)=1
以上证明的式子是另一个公式，即无论P，R是什么数都成立，以下将应用这一公式。
E（X）
=S（K=R，W）K*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）K*（K-1）！/（R-1）！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）R*K！/R！/（K-R）！*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）R*C（K，R）*P^R*(1-P)^(K-R)
=R/P*S（K=R，W）C（K，R）*P^（R+1）*(1-P)^(K-R)
令K1=K+1，R1=R+1，则
E（X）=R/P*S（K1=R1，W）C（K1-1，R1-1）*P^R1*(1-P)^(K1-R1)
利用以上公式得
E（X）=P/R
D（X）
=S（K=R，W）（K-R/P）^2*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）（K*K-2*K*R/P+R*R/P/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）[K*（K+1）-（K+2*K*R/P）+R*R/P/P]*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=S（K=R，W）[K*（K+1）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
-S（K=R，W）（K+2*K*R/P）*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
+S（K=R，W）R*R/P/P*C（K-1，R-1）*P^R*(1-P)^(K-R)
=（推导过程同求E（X），略）
=R（R+1）/P/P-（2*R+P）*R/P/P+R*R/P/P
=（1-P）*R/P/P
⑷ 排列组合中A和C的算法怎么算的，查了百度都不会，求详细点的谢谢（高中）
排列数 A(n,m) ----------即 字母A右下角n 右上角m,表示n取m的排列数
A(n,m)=n!/(n-m)!=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)
A(n,m)等于从n 开始连续递减的 m 个自然数的积
n取m的排列数 A(n,m) 等于从n 开始连续递减的 m 个自然数的积
例: A(7,3)=7*6*5=210
组合数 C(n,m) ----------即 字母C右下角n 右上角m,表示n取m的排列数
C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)=n*(n-1)*(n-2)*……*(n-m+1)/(1*2*3*……*m)
C(n,m)等于(从n 开始连续递减的 m 个自然数的积)除以(从1开始连续递增的 m 个自然数的积)
n选m的组合数 C(n,m) 等于(从n 开始连续递减的 m 个自然数的积)除以(从1开始连续递增的 m 个自然数的积)
例: C(7,3)=7*6*5/(1*2*3)=35
⑸ 关于各种排列组合java算法实现方法
一 利用二进制状态法求排列组合 此种方法比较容易懂 但是运行喊隐颂效率不高 小数据排列组合可以使用
复制代码 代码如下: import java util Arrays;//利用二进制算法进行全排列 //count : //count :
public class test { public static void main(String[] args) { long start=System currentTimeMillis(); count (); long end=System currentTimeMillis(); System out println(end start); } private static void count (){ int[] num=new int []{ }; for(int i= ;i<Math pow( );i++){ String str=Integer toString(i ); int sz=str length(); for(int j= ;j< sz;j++){ str=" "+str; } char[] temp=str toCharArray(); Arrays sort(temp); String gl=new String(temp); if(!gl equals(" ")){ continue; } String result=""; for(int m= ;m<str length();m++){ result+=num[Integer parseInt(str charAt(m)+"")]; } System out println(result); } } public static void count (){ int[] num=new int []{ }; int[] ss=new int []{ }; int[] temp=new int[ ]; while(temp[ ]< ){ temp[temp length ]++; for(int i=temp length ;i> ;i ){ if(temp[i]== ){ temp[i]= ; temp[i ]++; } } int []tt=temp clone(); Arrays sort(tt); if(!Arrays equals(tt ss)){ continue; } String result=""; for(int i= ;i<num length;i++){ result+=num[temp[i]]; } System out println(result); } } }
二 用递归的思想携慧来求排列跟组合 代码量比较大
复制代码 代码如下郑郑: package practice;import java util ArrayList; import java util List;
public class Test {
/** * @param args */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto generated method stub Object[] tmp={ }; // ArrayList<Object[]> rs=RandomC(tmp); ArrayList<Object[]> rs=cmn(tmp ); for(int i= ;i<rs size();i++) { // System out print(i+"="); for(int j= ;j<rs get(i) length;j++) { System out print(rs get(i)[j]+" "); } System out println(); } }
// 求一个数组的任意组合 static ArrayList<Object[]> RandomC(Object[] source) { ArrayList<Object[]> result=new ArrayList<Object[]>(); if(source length== ) { result add(source); } else { Object[] psource=new Object[source length ]; for(int i= ;i<psource length;i++) { psource[i]=source[i]; } result=RandomC(psource); int len=result size();//fn组合的长度 result add((new Object[]{source[source length ]})); for(int i= ;i<len;i++) { Object[] tmp=new Object[result get(i) length+ ]; for(int j= ;j<tmp length ;j++) { tmp[j]=result get(i)[j]; } tmp[tmp length ]=source[source length ]; result add(tmp); } } return result; } static ArrayList<Object[]> cmn(Object[] source int n) { ArrayList<Object[]> result=new ArrayList<Object[]>(); if(n== ) { for(int i= ;i<source length;i++) { result add(new Object[]{source[i]}); } } else if(source length==n) { result add(source); } else { Object[] psource=new Object[source length ]; for(int i= ;i<psource length;i++) { psource[i]=source[i]; } result=cmn(psource n); ArrayList<Object[]> tmp=cmn(psource n ); for(int i= ;i<tmp size();i++) { Object[] rs=new Object[n]; for(int j= ;j<n ;j++) { rs[j]=tmp get(i)[j]; } rs[n ]=source[source length ]; result add(rs); } } return result; }
}
三 利用动态规划的思想求排列和组合
复制代码 代码如下: package Acm; //强大的求组合数 public class MainApp { public static void main(String[] args) { int[] num=new int[]{ }; String str=""; //求 个数的组合个数 // count( str num ); // 求 n个数的组合个数 count ( str num); }private static void count (int i String str int[] num) { if(i==num length){ System out println(str); return; } count (i+ str num); count (i+ str+num[i]+" " num); }
private static void count(int i String str int[] num int n) { if(n== ){ System out println(str); return; } if(i==num length){ return; } count(i+ str+num[i]+" " num n ); count(i+ str num n); } }
下面是求排列
复制代码 代码如下: lishixin/Article/program/Java/JSP/201311/20148
⑹ 组合计算公式
组合数的计算公式为：
组合是数学的重要概念之一，它表示从 n 个不同元素中每次取出 m 个不同元素，不管其顺序合成一组，称为从 n 个元素中不重复地选取 m 个元素的一个组合。所有这样的组合的种数称为组合数。
n 元集合 A 中不重复地抽取 m 个元素作成的一个组合实质上是 A 的一个 m 元子集和。如果给集 A 编序成为一个序集，那么 A 中抽取 m 个元素的一个组合对应于数段到序集 A 的一个确定的严格保序映射。
(6)组合算法教程扩展阅读
组合数的性质：
1、互补性质：即从n个不同元素中取出m个元素的组合数=从n个不同元素中取出 (n-m) 个元素的组合数；这个性质很容易理解，例如C(9,2)=C(9,7)，即从9个元素里选择2个元素的方法与从9个元素里选择7个元素的方法是相等的。
2、组合恒等式：若表示在 n 个物品中选取 m 个物品，则如存在下述公式：C(n,m)=C(n,n-m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。
⑺ 数学排列组合公式算法
交你个简单的运用发比如a3/5=5*4*3
这个你就从5开始往下乘3位数，也就是
5*4*3在看a2/5=5*4
同样从5开始往下乘，乘两位，
也就是5*4在比如a4/7=7*6*5*4
这就是从7开始往下乘4位，
就是7*6*5*4又如a5/7=7*6*5*4*3
这就是从7开始往下乘5个，就是7*6*5*4*3
其实这些公式很容易的，向这种，你就看a
下面的数字是多少，就从那个数开始乘，
a上面的那个数字就是它要向下乘的几位数。
你照我上面写的这个方法，随便写两个算算就会明白的
n!那个是阶层
和上面有个共同点，其实n！又可以写成a
n/n
比如5！=a5/5
即从5开始往下乘5位，5*4*3*2*1
这种你就从那个数字开始往下成，一直乘到1
希望我的方法能让你学会，你自己试试