立方插值算法

‘壹’ 什么是插值

“插值”最初是电脑的术语，现在引用到数码图像的处理上。即图像放大时，像素也相应地增加，增加的过程就是“插值”程序自动选择信息较好的像素作为增加的像素，而并非只使用临近的像素，所以在放大图像时，图像看上去会比较平滑、干净。不过需要说明的是插值并不能增加图像信息。通俗地讲插值的效果实际就是给一杯香浓的咖啡兑了一些白开水。 ★ 常见的插值方法及其原理 1. 最临近像素插值：图像出现了马赛克和锯齿等明显走样的原因。不过最临近插值法的优点就是速度快。 2. 线性插值（Linear）：线性插值速度稍微要慢一点，但效果要好不少。所以线性插值是个不错的折中办法。 3. 其他插值方法：立方插值，样条插值等等，它们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，它们不得不利用到周围若干范围内的点，不过计算量显然要比前两种大许多。 在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline、Turbo Photo等。它们的目的就是使边缘的表现更完美。 ★ 评断插值结果的好坏 第一个标准：走样现象的轻重。放大图像的时候，要看边缘是否产生了锯齿，缩小图像的时候，看看是否有干扰条纹，边缘是否平顺。第二个标准：边缘是否清晰？同样贴两个例子，左边是差的算法，右边是好的算法（如图1）。第三个标准：过渡带的层次感细节感怎么样？贴两个例子，左边是差的算法，右边是好的算法（如图2）。 插值的今生 ★ 是否有必要 购买插值数码相机 看了上面的原理介绍，相信大家应该已经了解了插值实际上就是一种技术，它能给我们的照片信息提供一些美化和提高，但是这样的技术提升是有限制的，使用320×240分辨率的相机是不可能代替百万像素的数码相机的，虽然我们可以使用Photoshop将分辨率为320×240的照片放大成1280×960，但它的照片真实信息仍然只有320×240。其余增加的可都是“白开水”。]

‘贰’ 图像双三次插值算法原理及python实现

一. 图像双三次插值算法原理：

        假设源图像 A 大小为 m*n ，缩放后的目标图像 B 的大小为 M*N 。那么根据比例我们可以得到 B(X,Y) 在 A 上的对应坐标为 A(x,y) = A( X*(m/M), Y*(n/N) ) 。在双线性插值法中，我们选取 A(x,y) 的最近四个点。而在双立方插值法中，我们选取的是最近的16个像素点作为计算目标图像 B(X,Y) 处像素值的参数。如图所示：

        如图所示 P 点就是目标图像 B 在 (X,Y) 处对应于源图像中的位置，P 的坐标位置会出现小数部分，所以我们假设 P 的坐标为 P(x+u,y+v)，其中 x,y 分别表示整数部分，u,v 分别表示小数部分。那么我们就可以得到如图所示的最近 16 个像素的位置，在这里用 a(i,j)(i,j=0,1,2,3) 来表示。 

        双立方插值的目的就是通过找到一种关系，或者说系数，可以把这 16 个像素对于 P 处像素值的影响因子找出来，从而根据这个影响因子来获得目标图像对应点的像素值，达到图像缩放的目的。 

        BiCubic基函数形式如下：

二. python实现双三次插值算法

from PIL import Image

import numpy as np

import math

# 产生16个像素点不同的权重

def BiBubic(x):

    x=abs(x)

    if x<=1:

        return 1-2*(x**2)+(x**3)

    elif x<2:

        return 4-8*x+5*(x**2)-(x**3)

    else:

        return 0

# 双三次插值算法

# dstH为目标图像的高，dstW为目标图像的宽

def BiCubic_interpolation(img,dstH,dstW):

    scrH,scrW,_=img.shape

    #img=np.pad(img,((1,3),(1,3),(0,0)),'constant')

    retimg=np.zeros((dstH,dstW,3),dtype=np.uint8)

    for i in range(dstH):

        for j in range(dstW):

            scrx=i*(scrH/dstH)

            scry=j*(scrW/dstW)

            x=math.floor(scrx)

            y=math.floor(scry)

            u=scrx-x

            v=scry-y

            tmp=0

            for ii in range(-1,2):

                for jj in range(-1,2):

                    if x+ii<0 or y+jj<0 or x+ii>=scrH or y+jj>=scrW:

                        continue

                    tmp+=img[x+ii,y+jj]*BiBubic(ii-u)*BiBubic(jj-v)

            retimg[i,j]=np.clip(tmp,0,255)

    return retimg

im_path='../paojie.jpg'

image=np.array(Image.open(im_path))

image2=BiCubic_interpolation(image,image.shape[0]*2,image.shape[1]*2)

image2=Image.fromarray(image2.astype('uint8')).convert('RGB')

image2.save('BiCubic_interpolation.jpg')

三. 实验结果：

四. 参考内容：

         https://www.cnblogs.com/wojianxin/p/12516762.html

         https://blog.csdn.net/Ibelievesunshine/article/details/104942406

‘叁’ Matlab中插值函数

MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为： yi= interp1(x,y,xi,'method') 其中x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果；x,y为向量， 'method'表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有几种： 'method'是最邻近插值， 'linear'线性插值； 'spline'三次样条插值； 'cubic'立方插值．缺省时表示线性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 例：在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为 12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13 问题：推测中午12点（即13点）时的温度． 功能 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 x：原始数据点 Y：原始数据点 xi：插值点 Yi：插值点 (1)yi = interp1(x,y,xi,method) 用指定的算法计算插值： ’nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ’linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ’spline’：三次样条函数插值。 ’cubic’：该方法保留单调性与数据的外形； 功能 二维数据内插值 (1)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) 返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI 与YI（可以是向量、或同型矩阵） 的元素， 即Zi(i,j) ←[Xi(i,j),yi(i,j)]。用户可以输入行向量和列向量Xi 与Yi，此时，输出向量Zi 与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。 (2)ZI = interp2(Z,XI,YI) 缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再按第一种情形进行计算。 用指定的算法method 计算二维插值： ’linear’：双线性插值算法（缺省算法）； ’nearest’：最临近插值； ’spline’：三次样条插值； ’cubic’：双三次插值。 (4)VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI,method) 找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点（XI,YI,ZI）的值。 %用指定的算法method 作插值计算： ‘linear’：线性插值（缺省算法）； ‘cubic’：三次插值； ‘spline’：三次样条插值； ‘nearest’：最邻近插值。 功能 数据格点 (1)ZI = griddata(x,y,z,XI,YI,method) 用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata 将返回曲面z 在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid 生成的一样）。 用指定的算法method 计算： ‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）； ‘cubic’： 基于三角形的三次插值； ‘nearest’：最邻近插值法； ‘v4’：MATLAB 4 中的griddata 算法。 功能 三次样条数据插值 格式 (1)yy = spline(x,y,xx) 功能 生成用于画三维图形的矩阵数据 格式 [X,Y] = meshgrid(x,y) 将由向量x，y（可以是不同方向的）指定的区域[min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y)] 用直线x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,…,length(x) ，j=1,2,…,length(y)）进行划分。这样，得到了length(x)*length(y)个点， 这些点的横坐标用矩阵X 表示，X 的每个行向量与向量x 相同；这些点的纵坐标用矩阵Y 表示，Y 的每个列向量与向量y 相同。其中X,Y可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy 平面矩形定义域的划分或曲面作图。 [X,Y] = meshgrid(x) %等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。 [X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) %生成三维阵列X,Y,Z，用于计算三元函数v=f(x,y,z)或三维容积图。