朱算法口诀
1. 程大位对数学有什么贡献
程大位(公元1533年~1606年)是中国古代数学家,字汝思,号宾渠,安徽省休宁县(今黄山市)人。其故居至今尚存。
程大位出身小商,自幼聪明好学,尤其喜爱数学,常不惜重金购求算书。20岁左右时,他利用外出经商的机会,邀游吴楚,遍访名师,遇有”睿通数学者,辄造请问难,孜孜不倦”。他身居小县城,对土地测量十分重视,曾创造“丈量步车”,并绘图传世。程大位40岁以后,倦于外游,便“归而覃思于率水之上余二十年”。他认真钻研古籍,绎其文义,审其成法,遍取各家之长,加上自己的心得体会,终于在万历二十年(1592)写成《算法统宗》(原名《直指算法统宗》)17卷。其后6年(1598),又对该书删其繁抚,揭其要领,写成《算法纂要》4卷,先后在休宁刊行。
《算法统宗》中,第一、二卷是全书所用的基本知识;第3到12卷为各种应用题解法汇编,各卷基本上以《九章算术》的章名为标题;第13卷到16卷为“难题”,其实算法都很简单,只是条件用诗歌表达;比较隐晦;第17卷为“杂法”。书中各类问题都用珠算,程大位所使用的一套简明顺口的珠算加减乘除口诀及开方方法,一直沿用至今。该书系统总结了我国的珠算法,成为一部比较完备的珠算书。它的成书及广泛流传,标志着我国数学史上由筹算向珠算转化的完成,程大位本人也因此被誉为“珠算一代宗师”。
明末思想家徐光启曾指出,明代数学落后的原因有两个,一个是“名理之儒土苴天下之实事”,另一个是“妖妄之术谬言数有神理。”程大位作为数学家,却与哪些“名理之儒”的观点不同,他十分重视实事,重视数学的应用。他的《算法统宗》之,所以能“风行宇内”,使“海内握算持筹之士,莫不家藏一编”,是与它的实用性分不开的。
重视数学应用
程大位认为数学有广泛的用处,他说:“远而天地之高广,近而山川之浩衍;大而朝廷军国之需,小而民生日用之费,皆莫能外。”吴继绥在《算法统宗》序中也引用过他说的话:“多算胜少算不胜而况于无算乎?”在程大位看来,数学是社会也是人生不可缺少的。他在《算法统宗》中开宗明义,以诗歌形式写道:“世间六艺任纷坛,算乃人之根本;知书不知算法,如临暗室昏昏。”这与当时的理学家们反对经世致用的学问和轻视数学的态度形成了鲜明对照。当时盛行的八股取士制,是“以四书五经命题,八股文章取士”的,它引导知识分子远离自然科学,严重束缚了知识分子的思想。许多读书人为了功名,埋头于儒家经典,只会奢谈三纲五常之类的封建伦理,哪里还顾得上数学和其他有实用价值的科学技术呢?程大位却能突破儒家思想的束缚,中年以后全力写作《算法统宗》。以解决当时社会急需的实际问题,这种精神是十分可贵的。
不仅如此,程大位还敢于针对时弊,秉笔直书、从数学的角度揭露了贪官污吏对人民的愚弄。卷三的“亩法论”便表现了这种思想,文中说:“万历九年遵诏清丈,敝邑(休宁)总书擅变亩法,田分四等,上则一百九十步,中则二百二十步,下则二百六十步,下下则三百步。……与前贤二百四十步一亩大相缪皮,借日土田有肥硗,征役有轻重,亦宜就土田高下。别米麦之多寡、不得轻变亩法。第总书开其弊窦,举邑业已遵行,何容置喙!姑记之此,以见作聪明乱旧章之自云。”显然,这种以“土地肥挠”和“征役轻重”来确定田亩单位的作法是十分荒唐的。其目的无非是浑水摸鱼,敲诈百姓。这段话的字里行间,流露出一位正直数学家对人民的深切同情。
综观《算法统宗》全书,作者是十分重视数学应用的。595道题中,绝大部分是密切结合人民生活的应用问题。开方、勾股等方面有些纯数学问题,也是为应用题作准备的。在应用问题中,包括田亩测量、交通运输、物资分配、容积计算、税收贸易、工程技术等。题目分类基本上沿袭《九章算术》,但在体例上与《九章算术》有一点明显的不同,就是首先列举了学习全书所需的基本知识,包括算法提纲、大数、小数、度量衡、田亩测量制、珠算定位法、珠算四则运算口诀等。这就使该书不仅内容丰富,而且便于自学,成为一本良好的数学入门书。
改进珠算法
《算法统宗》的另一特点是大部分题采用珠算,这也体现厂作者着眼于应用的精神。珠算盘是一种构造简单、价格低廉、容易携带的计算工具。珠算与筹算相比,运算更为方便、迅速。但当时的珠算方法还不够完善,有的口诀也不够顺畅,于是程大位便花大力气改进珠算法及珠算口诀。他为了区别乘除法口诀,在卷一明确规定:“九九合数”应“呼小数在上,大数在下”,“九归歌”应“呼大数在上,小数在下”。例如“六八四十八”是乘法口诀,“八六七十四”是除法口诀。书中记载着完整的撞归口诀,如“一归:见一无除作九一,起一下还一”;“二归,见二无除作九二,起一下还二”等等。第六、七卷中,程大位还给出珠算开平、立方的方法。虽不能肯定这是他的发明,但该书确是最早记载这种方法的古算书之一。(成书稍早于《算法统宗》而出版稍晚的朱载培《算学新说》中也有珠算开平、立方法。)书中的珠算定位法则应归功于程大位,因为当时流行的珠算书中都未提到。吴敬的《九章算法比类大全》中虽有定位法,但他是用于筹算。首次完整地叙述珠算定位法的是《算法统宗》中的“定位总歌”:
“数家定位法为奇,因乘俱向下位推。
加减只需认本位,归与归除上位施。
法多原实逆上数,法前得零顺下宜。
法少原实降下数,法前得零逆上知。”
程大位十分重视珠算口诀,他认为口诀是学珠算、用珠算的基础,一定要记熟。他反复强调:“一要熟读九歌,二要诵归除歌法”,“学算之人须努力,先将九数时时习。”
补充面积公式
在用珠算法解决的各种实际问题中,特别引人注目的是面积问题。对于广大农村来说,田亩测量是不可缺少的,所以程大位十分重视面积问题。在《算法统宗》卷三“方田”中,他结合田亩测量总结出大量面积公式,并编成歌谣,给出图形。这一卷所绘图形60余种,其中比较基本的有十几种,其他都是由这些图形割补而成的。这十几种图形中,一些是《九章算术》中已有公式的,如方田(正方形)、直田(矩形)、圭田(三角形)、邪田(梯形)、圆田(圆形)、弧田(弓形)等,另一些图形则是《九章算术》中没有的,程大位分别给出公式。
对于计算结果、程大位既要求尽可能准确,又主张根据具体情况适可而止。
程大位不用旧法而创立“截法”、就是为了计算结果的准确。他说:“遇歪斜不等,必有斜步,岂可作正步相乘?若截之,庶无误矣。”对于更加复杂的图形,只用“截法”还不行,程大位便采用“截盈补虚”的方法,他说:“田之形状甚多,具载难尽,学者不必执泥,在于临场机变,必须截盈补虚,卑尖减大,以合规式。但田中央先取出方、直、勾股、圭、梭等形,另积旁余,并而于一,然后用法乘除之,用少广章开方等法还原,始为精密之术焉。”但他对准确性的要求是有限度的,因为他着眼于应用。他指出:“世之习算者,咸以方五斜七、围三径一为准,殊不知方五则斜七有奇,径一则围三有奇”,可见他知道有更准确的比值,但他认为不一定使用,因为:数多则散漫难收”,即精确的数据位数多,计算起采太复杂,这在实际应用中往往是没有必要的。
创造丈量步车
为了适应当时测量田亩的需要,程大位还创造了一种丈量步车,在《算法统宗》中绘有图形并有详细解说;这种测量工具类似于现在的卷尺,由环、十字架、转轴、锁、钻角及缠在十字架内的竹尺(薄竹片制成的尺)构成。这在当时是一种很先进的测量工具。程大位对自己的发明十分得意,在图边自题:“宾渠制造心机巧,隶首传来数学精。”
寓算题于诗词
除了《算法统宗》的内容以外,我们从它的文字形式上也可以看出作者重视数学的应用与普及的思想。全书文字分为叙述性文字、诗词歌诀及图表中的文字三种形式,而诗词贯穿全书,占了相当大的比例。这些诗词,既是优美的文学作品,又是直接为数学服务的。例如“留头乘”的歌诀是一首七绝:“下乘之法此为真,起于先将第二因,三四五来乘遍了,却将本位破其身。”衰分章的一首《西江月》用来命题:“群羊一百四十,剪毛不惮勤劳,群中有母有羊羔,先剪二毛比较。大羊剪毛斤二,一十二两羔毛,百五十斤是根苗,子母各该多少?”这些诗词浅明易懂,生动有趣,使读者在学习珠算的过程中同时得到美的享受。再如盈肋章用来命题的一首五律:“今携一壶酒,游春郊外走。逢朋添一倍,入店饮斗九。相逢三处店,饮尽壶中酒。试问能算士,如何知原有?”此诗不仅朗朗上口,而且具有浓厚的生活气息。读罢全诗,仿佛在眼前展现出一幅情趣盎然的携酒春游图。这种大众化的生动诗歌,无疑会引起读者的兴趣。《算法统宗》寓算题于诗词,赋予数学书以文学色彩,其普及数学的效果是显而易见的。人们在愉快地欣赏这些诗词的同时,也就开始了对数学的理解。《算法统宗》成为明清两代流传最广泛的算书,甚至能超越国度,受到日本、朝鲜和东南亚各国人民的欢迎,其引人入胜的文字无疑是原因之一。
2. 珠心算怎么计算的
1、五珠算盘的使用:
下4珠每个代表1,上1珠代表5,从左到右依次为,千分位,百分位,十分位.....大拇指往上拨,食指往下拨,依据法则进行运算。
2、计算口诀(法则):
(1)加法口诀:
不进位的加进位的加
直加满五加进十加破五进十加
加一:一上一,一下五去四,一去九进一
加二:二上二,二下五去三,二去八进一
加三:三上三,三下五去二,三去七进一
加四:四上四,四下五去一,四去六进一
加五:五上五,五去五进一
加六:六上六,六去四进一,六上一去五进一
加七:七上七,七去三进一,七上二去五进一
加八:八上八,八去二进一,八上三去五进一
加九:九上九,九去一进一,九上四去五进一
(2)减法口诀:
不退位的减退位的减
直减破五减退位减退十补五的减
减一:一下一,一上四去五,一退一还九
减二:二下二,二上三去五,二退一还八
减三:三下三,三上二去五,三退一还七
减四:四下四,四上一去五,四退一还六
减五:五下五,五退一还五
减六:六下六,六退一还四,六退一还五去一
减七:七下七,七退一还三,七退一还五去二
减八:八下八,八退一还二,八退一还五去三
减九:九下九,九退一还一,九退一还五去四
(3)乘法口诀:
在春秋战国时已在筹算中得到应用;
归除口诀,首见杨辉《乘除通变算宝》[1274],
朱世杰《算学启蒙》[1299]所载九归口诀已与现代基本相同。
有了四则口诀,珠算的算法就形成一个体系,长期沿用下来。
(4)除法口诀:
珠算除法有归除法和商除法两种.
归除法用口诀进行计算,有九归口诀,退商口诀和商九口诀.
九归口诀共61句:
一归(用1除):逢一进一,逢二进二,逢三进三,逢四进四,逢五进五,逢六进六,逢七进七,逢八进八,逢九进九.
二归(用2除):逢二进一,逢四进二,逢六进三,逢八进四,二一添作五.
三归(用3除):逢三进一,逢六进二,逢九进三,三一三余一,三二六余二.
四归(用4除):逢四进一,逢八进二,四二添作五,四一二余二,四三七余二.
五归(用5除):逢五进一,五一倍作二,五二倍作四,五三倍作六,五四倍作八.
六归(用6除):逢六进一,逢十二进二,六三添作五,六一下加四,六二三余二,六四六余四,六五八余二.
七归(用7除):逢七进一,逢十四进二,七一下加三,七二下加六,七三四余二,七四五余五,七五七余一,七六八余四.
八归(用8除):逢八进一,八四添作五,八一下加二,八二下加四,八三下加六,八五六余二,八六七余四,八七八余六.
九归(用9除):逢九进一,九一下加一,九二下加二,九三下加三,九四下加四,九五下加五,九六下加六,九七下加七,九八下加八。
(5)开乘方:
珠算乘方可以直接乘,也可以根据公式,高次方若幂是质素,就只有直接乘,若可以分解因式,则可分解因式再来算。
珠算开平方,一般有半九九开平方法,积差开平方法,公式开平方法,增乘开平方法。
开三次方,有三倍根开立方法,过大商开立方法。
开五次方,有多种,常见的有增乘开五次方。
开高次方一般很少在珠算上用。
(2)朱算法口诀扩展阅读:
1、算盘计算相关术语:
(1)空档:某一档的上、下都离梁的时候,叫做空档。空档表示这一档没有记数,或者表示0。
(2)空盘:算盘的各档都是空档是,表示全盘没有记数,叫做空盘。
(3)内珠:靠梁记数的算珠,叫做内珠。
(4)外珠:离梁不记数的算珠,叫做外珠。
(5)拨上:是指将下珠拨靠梁。
(6)拨下:是指将上珠拨靠梁。
(7)拨去:是指将上珠或下珠拨离梁。
(8)本档:是指正要拨珠记数的这一档。
(9)前档:是指本档的前一档,也叫左一档(位)。
(10)后档:是指本档的后一档,也叫右一档(位)。
(11)漂珠:拨珠时用力过轻,不靠梁不着框,浮漂在档中间的算珠。
(12)带珠:拨珠时,把本档或邻档不应拨入或拨去的算珠带入或带出叫带珠。
(13)实珠:靠梁表示正数的算珠。
(14)虚珠:也叫负珠,是指算珠拨到既不靠梁又不靠框,表示负数的悬珠。
(15)置数:也教布数,按照计算的要求,把数字拨入算盘,为计算作准备。
(16)档位:也叫档次,是指档的位次。
(17)错档:也叫错位,是指运算过程中未将算珠拨入应拨的档位。
(18)进位:是指本档加上一个数后,大于或等于10,须向前位加1,叫做进位。
(19)退位:是指在本档减去一个数时本档不够,许向前面一位减1,叫做退位。
(20)首位:也叫最高位,是指一个多位数的第一个非零数字为首位。如3284中的3,0.0726中的7。
2、算盘的收藏价值:
(1)高档材质的算盘值得收藏。据国家文化艺术品网介绍,按算珠和边框材料,算盘可分为金、银、铜、铁、玉、竹、木、象牙、水晶、大理石等;按立柱材料,包括铁、木、银、铜、铝、竹等。算盘材质越好,收藏价值越高,升值潜力自然就强。举例来说,普通木质算盘的身价低于象牙算盘,而贵金属制成的算盘,价值就更高了。
另外,算盘上的立柱,即俗称的“档”,也有高低之分。算盘的价值还可以通过做工和品相来衡量。
(2)上乘木质算盘升值前景好。国家文化艺术品网讯,如果收藏木质算盘,紫檀、红木、花梨木的藏品为上乘。上乘木质的算盘不会上油漆,因为木质好的算盘更注重原色,经过岁月的洗礼,好的木头会越用越亮,算珠也会越来越光滑。只有一般材质的木算盘,才会涂上厚重的油漆以遮盖木质的平庸。
梨木、松木、沉香木、柏木属于中等材质,杂木则属于低档材质。
(3)异形算盘身价逐渐走高。圆形、扇形、拱形、筒形、宝塔等造型奇特的算盘,因为工艺考究、妙趣横生,是收藏家追捧和寻觅的对象。
由于算盘的档数通常都是奇数档,例如九、十一、十三、十五、十七等,带有赏玩性质的偶数档算盘的身价就比奇数档的高。而小巧玲珑的袖珍算盘以及21档以上的大型算盘,无疑丰富了算盘的文化内涵,也值得收藏。