因数分解算法

① 用短除法分解质因数65

65＝5×13

质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式 [1] 。只有一个质因子的正整数为质数。
每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式 [2] ，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；而这个因数一定是一个质数。
1没有质因子。
5只有1个质因子，5本身。（5是质数）
6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3)
2、4、8、16等只有1个质因子：2。（2是质数，4 =2²，8 = 2³，如此类推）
10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5)

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基本信息
质因数 [3] 就是一个数的约数，并且是质数。
比如8=2×2×2，2就是8的质因数；
12=2×2×3，2和3就是12的质因数。
把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。
把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数 [4] ，如16=2×2×2×2，2就是16的质因数。
把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。
分解质因数只针对合数。（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。
分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数 。
分解质因数的有两种表示方法，除了最常用的“短除分解法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。
分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。
Pollard Rho因数分解
1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为
。
分解质因数代码：
将一个正整数分解质因数。例如：输入90，打印出90=2*3*3*5。
程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：
(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。
(2)如果n>k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商作为新的正整数n，重复执行第一步。
(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值，重复执行第一步。
计算方法
短除法
求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例1、求12与18的最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12 。
18的因数有：1、2、3、6、9、18。
12与18的公因数有：1、2、3、6。
12与18的最大公因数是6 [4] 。
这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12=2×2×3
18=2×3×3
12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与18都有公约数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。
采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。
从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。
在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。
只含有1个质因数的数一定是亏数。

② 分解质因数的方法

1、相乘法

写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。

如：36=2*2*3*3 运算时可逐步分解写成36=4*9=2*2*3*3或3*12=3*2*2*3

2、短除法

从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法。

(2)因数分解算法扩展阅读：

定理

不存在最大质数的证明：（使用反证法）

假设存在最大的质数为N，则所有的质数序列为：N1，N2，N3……N

设M=（N1×N2×N3×N4×……N）+1，

可以证明M不能被任何质数整除，得出M也是一个质数。

而M>N，与假设矛盾，故可证明不存在最大的质数。

最大公约数的求法：

1、用分解质因数的方法，把公有的质因数相乘。

2、用短除法的形式求两个数的最大公约数。

3、特殊情况：如果两个数互质，它们的最大公约数是1。

如果两个数中较小的数是较大的数的约数，那么较小的数就是这两个数的最大公约数。

③ 质因数分解算法

数学中，整数分解（素因数分解）问题是指：给出一个正整数，将其写成几个约数的乘积。例如，给出45这个数，它可以分解成32 ×5。根据算术基本定理，这样的分解结果应该是独一无二的。这个问题在代数学、密码学、计算复杂性理论和量子计算机等领域中有重要意义。
2005年，作为公共研究一部分的有663个二进制数位之长的RSA-200已经被一种一般用途的方法所分解。

如果一个大的，有n个二进制数位长度的数是两个差不多大小相等的约数的乘积，现在还没有很好的算法来以多项式时间复杂度分解它。

这就意味着没有已知算法可以在O（nk）（k为常数）的时间内分解它。但是现在的算法也是比Θ(en)快的。换句话说，现在我们已知最好的算法比指数数量级时间要快，比多项式数量级时间要慢。已知最好的渐近线运行时间是普通数域筛选法(GNFS)。时间是：

对于平常的计算机，GNFS是我们已知最好的对付n个二进制数位大约数的方法。不过，对于量子计算机， 彼得·秀尔在1994年发现了一种可以用多项式时间来解决这个问题的算法。如果大的量子计算机建立起来，这将对密码学有很重要的意义。这个算法在时间上只需要O(n3)，空间只要O(n)就可以了。 构造出这样一个算法只需要2n量子位。2001年，第一个7量子位的量子计算机第一个运行这个算法，它分解的数是15

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