破圈算法

❶ 运筹学有哪些算法

图像法，单纯形法，对偶单纯法，两阶段法。图像法只能解一般的含两个未知数的不等式。后3种是解多个未知数的不等式。运筹学还有整数规划，一般有分支定界法，隐枚举法，匈牙利法。运输问题——一般为产销问题，用最小元素法先做，再用位势法调整目标规划问题——先建模，再用单纯形法解，一般现在用excel解决动态规划——逆序法，顺序法最小支撑树图——避圈法，破圈法最短路问题——dijkstra算法

❷ 为什么破圈法和避圈法为什么不能求一点至另一点的最短距离

1.1最小生成树

最小生成树：一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边，如图1.1.1所示。

图1.1.1 最小生成树示意图

设G = (V, E)是无向连通带权图，即一个网络。E中的每一条边（v, w）的权为W(v, w)。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。

1.1.1避圈法

避圈法的主要思想就是：开始选一条最小权的边，以后每一步中，总从与已选边不构成圈的那些未选边中，选择一条权最小的（每一步中，如果有两条或两条以上的边都是权值最小的边，则从中任选一条）。避圈法主要分为两种：Prim算法和Kruskal算法，下面分别进行介绍。

1.1.1.1 Prim算法

设G = (V, E)是连通带权图，V = {1,2,…,n}。构造G的最小生成树Prim算法的基本思想是：首先置S = {1}，然后，只要S是V的真子集，就进行如下的贪心选择：选取满足条件i∈S, j∈V – S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。图1.1.2显示了某一带权图。最小生成树的生成过程如下：

→=

c

13;1

→=

c

36;4

32;5

→=

c

c

→=

25;3

最终得到的最小生成树如图1.1.3所示。

图1.1.2 带权图G

图1.1.3 带权图G的最小生成树示意图

1.1.1.2 Kruskal算法

给定无向连通带权图G = (V, E), V = {1,2,...,n}。Kruskal算法构造G的最小生成树的基本思想是：

(1) 将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支，并将所有的边按权从小到大排序；

(2) 从第一条边开始，依据每条边的权值递增的顺序检查每一条边，并按照下述方法连接两个不同的连通分支：当查看到第k条边(v, w)时，如果端点v和w分别是当前两个不同的连通分支T1和T2的端点时，就用边(v, w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接查看第k+1条边，这个过程一个进行到只剩下一个连通分支时为止。此时，已构成G的一棵最小生成树。

仍以图1.1.2所示的带权图G为例说明其最小生成树的生成过程，生成过程如下所示：

→=

c

13;1

25;3c →=

36;4c →=

23;5c →=

最终得到的最小生成树和图1.1.3所示是一样的。

1.1.2 破圈法

破圈法可以描述如下：

(1) 如果我们给的连通图G 中没有回路，那么G 本身就是一棵生成树；

(2) 若G 中只有一个回路，则删去G 的回路上的一条边（不删除结点），则产生的图仍是连通的且没有回路，则得到的子图就是图G 的一棵生成树；

(3) 若G 的回路不止一个，只要删去每一个回路上的一条边，直到G 的子图是连通没有回路且与图G 有一样的结点集，那么这个子图就是一棵生成树。

由于我们破坏回路的方法可以不一样，所以可得到不同的生成树，但是在求最小生成树的时候，为了保证求得的生成树的树权最小，那么在删去回路上的边的时候，总是在保证带权图仍连通的前提下删掉权值较大的边，保留权值较小的边。破圈法就是在带权图的回路中找出权值最大的边，将该边去掉，重复这个过程，直到图连通且没有圈为止，保留下来的边所组成的图即为最小生成树。下面仍利用图1.1.2对破圈法进行说明。

首先是去除权值大的边，并且检测去除该边后整个图是否连通，对于图1.1.2来说，即第一步去掉权值为6的边，如图1.1.4所示。

图1.1.4 去掉权值为6的G 的示意图

从图中可以看出，去掉权值为6的边后整个图仍是连通的。所以接下来去除权值为5的边，并且检测去除该边后图是否连通，结果如图1.1.5所示。由图可知，去掉所有权值为5的边会造成图G 不连通，因此23;5c →=这条边是必须保留的。然后再去除权值为4的

边。由于权值为1、2、3、4的边分别连接着独立的节点，故都必须保留，得到的最小生成

图1.1.5 去掉权值为5的G的示意图

树结果与图1.1.3也是一样的。

1.1.3避圈法与破圈法比较

Prim算法是从空图出发，将点进行二分化，从而逐步加边得到最小生成树。它是近似求解算法，虽然对于大多数最小生成树问题都能求得最优解，但相当一部分求得的是近似最优解，具体应用时不一定很方便。但是它可以看作是很多种最小树算法的概括，在理论上有一定的意义。

Kruskal算法也是从空图出发。它是精确算法，即每次都能求得最优解，但对于规模较大的最小生成树问题，求解速度较慢。

破圈法是从图G出发，逐步去边破圈得到最小生成树。它最适合在图上工作，当图较大时，可以几个人同时在各个子图上工作，因此破圈法在实用上是很方便的。

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破圈法vs避圈法
1.1最小生成树

最小生成树：一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边，如图1.1.1所示。

图1.1.1 最小生成树示意图

设G = (V, E)是无向连通带权图，即一个网络。E中的每一条边（v, w）的权为W(v, w)。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。

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1.1.1避圈法

避圈法的主要思想就是：开始选一条最小权的边，以后每一步中，总从与已选边不构成圈的那些未选边中，选择一条权最小的（每一步中，如果有两条或两条以上的边都是权值最小的边，则从中任选一条）。避圈法主要分为两种：Prim算法和Kruskal算法，下面分别进行介绍。

1.1.1.1 Prim算法

设G = (V, E)是连通带权图，V = {1,2,…,n}。构造G的最小生成树Prim算法的基本思想是：首先置S = {1}，然后，只要S是V的真子集，就进行如下的贪心选择：选取满足条件i∈S, j∈V – S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。图1.1.2显示了某一带权图。最小生成树的生成过程如下：