破圈算法
❶ 运筹学有哪些算法
图像法,单纯形法,对偶单纯法,两阶段法。图像法只能解一般的含两个未知数的不等式。后3种是解多个未知数的不等式。运筹学还有整数规划,一般有分支定界法,隐枚举法,匈牙利法。运输问题——一般为产销问题,用最小元素法先做,再用位势法调整目标规划问题——先建模,再用单纯形法解,一般现在用excel解决动态规划——逆序法,顺序法最小支撑树图——避圈法,破圈法最短路问题——dijkstra算法
❷ 为什么破圈法和避圈法为什么不能求一点至另一点的最短距离
1.1最小生成树
最小生成树:一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有n个结点,并且有保持图连通的最少的边,如图1.1.1所示。
图1.1.1 最小生成树示意图
设G = (V, E)是无向连通带权图,即一个网络。E中的每一条边(v, w)的权为W(v, w)。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树,则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为生成树的耗费。在G的所有生成树中,耗费最小的生成树称为G的最小生成树。
1.1.1避圈法
避圈法的主要思想就是:开始选一条最小权的边,以后每一步中,总从与已选边不构成圈的那些未选边中,选择一条权最小的(每一步中,如果有两条或两条以上的边都是权值最小的边,则从中任选一条)。避圈法主要分为两种:Prim算法和Kruskal算法,下面分别进行介绍。
1.1.1.1 Prim算法
设G = (V, E)是连通带权图,V = {1,2,…,n}。构造G的最小生成树Prim算法的基本思想是:首先置S = {1},然后,只要S是V的真子集,就进行如下的贪心选择:选取满足条件i∈S, j∈V – S,且c[i][j]最小的边,将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。图1.1.2显示了某一带权图。最小生成树的生成过程如下:
→=
c
13;1
→=
c
36;4
32;5
→=
c
c
→=
25;3
最终得到的最小生成树如图1.1.3所示。
图1.1.2 带权图G
图1.1.3 带权图G的最小生成树示意图
1.1.1.2 Kruskal算法
给定无向连通带权图G = (V, E), V = {1,2,...,n}。Kruskal算法构造G的最小生成树的基本思想是:
(1) 将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支,并将所有的边按权从小到大排序;
(2) 从第一条边开始,依据每条边的权值递增的顺序检查每一条边,并按照下述方法连接两个不同的连通分支:当查看到第k条边(v, w)时,如果端点v和w分别是当前两个不同的连通分支T1和T2的端点时,就用边(v, w)将T1和T2连接成一个连通分支,然后继续查看第k+1条边;如果端点v和w在当前的同一个连通分支中,就直接查看第k+1条边,这个过程一个进行到只剩下一个连通分支时为止。此时,已构成G的一棵最小生成树。
仍以图1.1.2所示的带权图G为例说明其最小生成树的生成过程,生成过程如下所示:
→=
c
13;1
25;3c →=
36;4c →=
23;5c →=
最终得到的最小生成树和图1.1.3所示是一样的。
1.1.2 破圈法
破圈法可以描述如下:
(1) 如果我们给的连通图G 中没有回路,那么G 本身就是一棵生成树;
(2) 若G 中只有一个回路,则删去G 的回路上的一条边(不删除结点),则产生的图仍是连通的且没有回路,则得到的子图就是图G 的一棵生成树;
(3) 若G 的回路不止一个,只要删去每一个回路上的一条边,直到G 的子图是连通没有回路且与图G 有一样的结点集,那么这个子图就是一棵生成树。
由于我们破坏回路的方法可以不一样,所以可得到不同的生成树,但是在求最小生成树的时候,为了保证求得的生成树的树权最小,那么在删去回路上的边的时候,总是在保证带权图仍连通的前提下删掉权值较大的边,保留权值较小的边。破圈法就是在带权图的回路中找出权值最大的边,将该边去掉,重复这个过程,直到图连通且没有圈为止,保留下来的边所组成的图即为最小生成树。下面仍利用图1.1.2对破圈法进行说明。
首先是去除权值大的边,并且检测去除该边后整个图是否连通,对于图1.1.2来说,即第一步去掉权值为6的边,如图1.1.4所示。
图1.1.4 去掉权值为6的G 的示意图
从图中可以看出,去掉权值为6的边后整个图仍是连通的。所以接下来去除权值为5的边,并且检测去除该边后图是否连通,结果如图1.1.5所示。由图可知,去掉所有权值为5的边会造成图G 不连通,因此23;5c →=这条边是必须保留的。然后再去除权值为4的
边。由于权值为1、2、3、4的边分别连接着独立的节点,故都必须保留,得到的最小生成
图1.1.5 去掉权值为5的G的示意图
树结果与图1.1.3也是一样的。
1.1.3避圈法与破圈法比较
Prim算法是从空图出发,将点进行二分化,从而逐步加边得到最小生成树。它是近似求解算法,虽然对于大多数最小生成树问题都能求得最优解,但相当一部分求得的是近似最优解,具体应用时不一定很方便。但是它可以看作是很多种最小树算法的概括,在理论上有一定的意义。
Kruskal算法也是从空图出发。它是精确算法,即每次都能求得最优解,但对于规模较大的最小生成树问题,求解速度较慢。
破圈法是从图G出发,逐步去边破圈得到最小生成树。它最适合在图上工作,当图较大时,可以几个人同时在各个子图上工作,因此破圈法在实用上是很方便的。
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破圈法vs避圈法
1.1最小生成树
最小生成树:一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,且包含原图中的所有n个结点,并且有保持图连通的最少的边,如图1.1.1所示。
图1.1.1 最小生成树示意图
设G = (V, E)是无向连通带权图,即一个网络。E中的每一条边(v, w)的权为W(v, w)。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树,则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为生成树的耗费。在G的所有生成树中,耗费最小的生成树称为G的最小生成树。
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1.1.1避圈法
避圈法的主要思想就是:开始选一条最小权的边,以后每一步中,总从与已选边不构成圈的那些未选边中,选择一条权最小的(每一步中,如果有两条或两条以上的边都是权值最小的边,则从中任选一条)。避圈法主要分为两种:Prim算法和Kruskal算法,下面分别进行介绍。
1.1.1.1 Prim算法
设G = (V, E)是连通带权图,V = {1,2,…,n}。构造G的最小生成树Prim算法的基本思想是:首先置S = {1},然后,只要S是V的真子集,就进行如下的贪心选择:选取满足条件i∈S, j∈V – S,且c[i][j]最小的边,将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。图1.1.2显示了某一带权图。最小生成树的生成过程如下: