a最短路径算法

1. 最短路径算法（Dijkstra）

Dijkstra（ 迪科斯特拉 ）算法是用来解决单源最短路径的算法，要求路径权值非负数。该算法利用了深度优先搜索和贪心的算法。

下面是一个有权图，求从A到各个节点的最短路径。

第1步：从A点出发，判断每个点到A点的路径（如果该点不能直连A点则距离值为无穷大，如果该点能和A直连则是当前的权值），计算完之后把A点上色，结果如下图:

第2步：从除A点之外的点查找到距离A点最近的点C，从C点出发查找其邻近的节点（除去已上色的点），并重新计算C点的邻近点距离A点的值，如图中B点，若新值（C点到A点的值+C点到该点的路径）小于原值，则将值更新为5，同理更新D、E点。同时将C标记为已经处理过，如图所示涂色。

第3步：从上色的节点中查找距离A最近的B点，重复第3步操作。

第4步： 重复第3步，2步，直到所有的节点都上色。

最后就算出了从A点到所有点的最短距离。

leetcode 743题

2. 图遍历算法之最短路径Dijkstra算法

最短路径问题是图论研究中一个经典算法问题，旨在寻找图中两节点或单个节点到其他节点之间的最短路径。根据问题的不同，算法的具体形式包括：

常用的最短路径算法包括：Dijkstra算法，A 算法，Bellman-Ford算法，SPFA算法（Bellman-Ford算法的改进版本），Floyd-Warshall算法，Johnson算法以及Bi-direction BFS算法。本文将重点介绍Dijkstra算法的原理以及实现。

Dijkstra算法，翻译作戴克斯特拉算法或迪杰斯特拉算法，于1956年由荷兰计算机科学家艾兹赫尔.戴克斯特拉提出，用于解决赋权有向图的 单源最短路径问题 。所谓单源最短路径问题是指确定起点，寻找该节点到图中任意节点的最短路径，算法可用于寻找两个城市中的最短路径或是解决着名的旅行商问题。

问题描述 ：在无向图 中， 为图节点的集合， 为节点之间连线边的集合。假设每条边 的权重为 ，找到由顶点 到其余各个节点的最短路径（单源最短路径）。

为带权无向图，图中顶点 分为两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用 表示）。初始时 只有源点，当求得一条最短路径时，便将新增顶点添加进 ，直到所有顶点加入 中，算法结束。第二组为未确定最短路径顶点集合（用 表示），随着 中顶点增加， 中顶点逐渐减少。

以下图为例，对Dijkstra算法的工作流程进行演示（以顶点 为起点）：

注：
01） 是已计算出最短路径的顶点集合；
02） 是未计算出最短路径的顶点集合；
03） 表示顶点 到顶点 的最短距离为3
第1步 ：选取顶点 添加进

第2步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第3步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第4步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第5步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第6步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

第7步 ：选取顶点 添加进 ，更新 中顶点最短距离

示例：node编号1-7分别代表A,B,C,D,E,F,G

(s.paths <- shortest.paths(g, algorithm = "dijkstra"))输出结果：

(s.paths <- shortest.paths(g,4, algorithm = "dijkstra"))输出结果：

示例：

找到D（4）到G（7）的最短路径：

[1] 维基网络，最短路径问题： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E7%9F%AD%E8%B7%AF%E9%97%AE%E9%A2%98 ；
[2]CSDN，Dijkstra算法原理： https://blog.csdn.net/yalishadaa/article/details/55827681 ;
[3]RDocumentation: https://www.rdocumentation.org/packages/RNeo4j/versions/1.6.4/topics/dijkstra ;
[4]RDocumentation: https://www.rdocumentation.org/packages/igraph/versions/0.1.1/topics/shortest.paths ;
[5]Pypi: https://pypi.org/project/Dijkstar/

3. 最短路径问题5种类型

最短路径问题5种类型有Dijkstra算法、A*算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法，

扩展知识：

用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法有：
Dijkstra算法、A*算法、SPFA算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法，本文主要介绍其中的三种。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。

4. A*算法优化

A算法是游戏中路径搜索的常见算法。Dijkstra是最短路径的经典算法，A算法的思路基本上和Dijkstra算法一致，在Dijkstra算法的基础上增加了启发函数，也就是：

f(n) = g(n) + h(n)

其中，n是路径上某一点，g(n)是从出发点到该点的cost，h(n)是关于该点的启发函数，通常是对从该点到目标花费的一个估计，例如到目标的直线距离或者曼哈顿距离。 A算法每次选择f(n)最小的点，然后更新所有g(n)。
如果你明白Dijkstra算法，那么在这里h(n) = 0 的话，A算法就和Dijkstra算法一样了。
本文不详细讲解A算法，需要详细了解A算法的具体过程的，参见以下两篇文章：

理解A*算法的具体过程
A*算法详解

A*算法优化的关键在于h(n)的选择。 一个启发函数h(n)被称为admissible的，是指h(n)的估计，不会超过节点N到目标的实际花费。
如果h(x)满足以下条件，h(x)被称为单调的(monotone, or consistent)。 对于任意一条边(x,y),
h(x) <= d(x,y) + h(y)
其中d(x,y)是（x,y）的长度

如果满足这个条件，就意味着没有任何节点需要被处理多次，也就是说，在Dijkstra算法中，新加入一个节点会导致已添加节点中cost降低的情况不会存在，也就不需要去更新已添加节点(称为close set)。

如果一个启发函数是单调的，那么该启发函数一定是admissible的。如果该启发函数是admissible的，那么可以证明A*在同类算法中搜寻到最短的路径。

问题出在这里：如果我们更在意的是搜索的时间空间花费，而不是最优结果，那么A*算法就有优化空间。所以我们放松要求，修改我们的启发函数，使得我们搜寻到的路径不会比最佳路径差太多，就是优化算法，称为ε-admissible算法。

有多种ε-admissible算法，在此只举例最简单直接的一种： 加权A*(静态加权)算法。

假如ha(n)是一个admissible的启发函数，我们选取新的启发函数hw(n) = ε ha(n)，其中ε>1 作为启发函数。就可以在某种程度上进行优化。 下图1是使用ha(n)作为启发式算法，下图2是使用hw(n)作为启发式算法，其中ε取5.

图1：ha(x)作为启发算法

图2：hn(x)作为启发算法

可以看出，ha(n)可以找到最小路径，但是多了许多无用的搜索；而hw(n)找到的不是最优路径，但是减少了大量无用搜索。
其他的优化算法思路类似都是在于启发函数的选择。详见参考文献。

参考文献：
https://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm#Admissibility_and_optimality https://en.wikipedia.org/wiki/Consistent_heuristic

5. 最短路径算法

Dijkstra算法，A*算法和D*算法

Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式，Drew为了和下面要介绍的 A* 算法和 D* 算法表述一致，这里均采用OPEN,CLOSE表的方式。

大概过程：
创建两个表，OPEN, CLOSE。
OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
1． 访问路网中里起始点最近且没有被检查过的点，把这个点放入OPEN组中等待检查。
2． 从OPEN表中找出距起始点最近的点，找出这个点的所有子节点，把这个点放到CLOSE表中。
3． 遍历考察这个点的子节点。求出这些子节点距起始点的距离值，放子节点到OPEN表中。
4． 重复2，3，步。直到OPEN表为空，或找到目标点。

提高Dijkstra搜索速度的方法很多，常用的有数据结构采用Binary heap的方法，和用Dijkstra从起始点和终点同时搜索的方法。

A*（A-Star)算法是一种启发式算法，是静态路网中求解最短路最有效的方法。

公式表示为： f(n)=g(n)+h(n),
其中f(n) 是节点n从初始点到目标点的估价函数，
g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，
h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。

保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数h(n)的选取：
估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
如果 估价值>实际值, 搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。
估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好。
例如对于几何路网来说，可以取两节点间欧几理德距离（直线距离）做为估价值，即f=g(n)+sqrt((dx-nx)*(dx-nx)+(dy-ny)*(dy-ny))；这样估价函数f在g值一定的情况下，会或多或少的受估价值h的制约，节点距目标点近，h值小，f值相对就小，能保证最短路的搜索向终点的方向进行。明显优于Dijstra算法的毫无无方向的向四周搜索。
conditions of heuristic
Optimistic (must be less than or equal to the real cost)
As close to the real cost as possible
主要搜索过程：
创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。
遍历当前节点的各个节点，将n节点放入CLOSE中，取n节点的子节点X,->算X的估价值->
While(OPEN!=NULL)
{
从OPEN表中取估价值f最小的节点n;
if(n节点==目标节点) break;
else
{
if(X in OPEN) 比较两个X的估价值f //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( X的估价值小于OPEN表的估价值 )
更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值
if(X in CLOSE) 比较两个X的估价值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( X的估价值小于CLOSE表的估价值 )
更新CLOSE表中的估价值; 把X节点放入OPEN //取最小路径的估价值
if(X not in both)
求X的估价值;
并将X插入OPEN表中; //还没有排序
}
将n节点插入CLOSE表中;
按照估价值将OPEN表中的节点排序; //实际上是比较OPEN表内节点f的大小，从最小路径的节点向下进行。
}

A*算法和Dijistra算法的区别在于有无估价值，Dijistra算法相当于A*算法中估价值为0的情况。

动态路网，最短路算法 D*A* 在静态路网中非常有效（very efficient for static worlds），但不适于在动态路网，环境如权重等不断变化的动态环境下。

D*是动态A*（D-Star,Dynamic A*） 卡内及梅隆机器人中心的Stentz在1994和1995年两篇文章提出，主要用于机器人探路。是火星探测器采用的寻路算法。

主要方法：
1.先用Dijstra算法从目标节点G向起始节点搜索。储存路网中目标点到各个节点的最短路和该位置到目标点的实际值h,k（k为所有变化h之中最小的值,当前为k=h。每个节点包含上一节点到目标点的最短路信息1(2),2(5),5(4)，4（7）。则1到4的最短路为1-2-5-4。
原OPEN和CLOSE中节点信息保存。
2.机器人沿最短路开始移动，在移动的下一节点没有变化时，无需计算，利用上一步Dijstra计算出的最短路信息从出发点向后追述即可，当在Y点探测到下一节点X状态发生改变，如堵塞。机器人首先调整自己在当前位置Y到目标点G的实际值h(Y)，h(Y)=X到Y的新权值c(X,Y)+X的原实际值h(X).X为下一节点(到目标点方向Y->X->G），Y是当前点。k值取h值变化前后的最小。
3.用A*或其它算法计算，这里假设用A*算法,遍历Y的子节点，点放入CLOSE,调整Y的子节点a的h值，h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a),比较a点是否存在于OPEN和CLOSE中，方法如下：
while()
{
从OPEN表中取k值最小的节点Y;
遍历Y的子节点a,计算a的h值 h(a)=h(Y)+Y到子节点a的权重C(Y,a)
{
if(a in OPEN) 比较两个a的h值
if( a的h值小于OPEN表a的h值 )
{ 更新OPEN表中a的h值;k值取最小的h值
有未受影响的最短路经存在
break;
}
if(a in CLOSE) 比较两个a的h值 //注意是同一个节点的两个不同路径的估价值
if( a的h值小于CLOSE表的h值 )
{
更新CLOSE表中a的h值; k值取最小的h值;将a节点放入OPEN表
有未受影响的最短路经存在
break;
}
if(a not in both)
将a插入OPEN表中; //还没有排序
}
放Y到CLOSE表；
OPEN表比较k值大小进行排序；
}
机器人利用第一步Dijstra计算出的最短路信息从a点到目标点的最短路经进行。

D*算法在动态环境中寻路非常有效，向目标点移动中，只检查最短路径上下一节点或临近节点的变化情况，如机器人寻路等情况。对于距离远的最短路径上发生的变化，则感觉不太适用。

6. 什么是 a算法a* 算法有什么特点

A*算法：A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路径最有效的直接搜索方法。估价值与实际值越接近，估价函数取得就越好
A* （A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路最有效的直接搜索方法。
注意是最有效的直接搜索算法。之后涌现了很多预处理算法（ALT，CH，HL等等），在线查询效率是A*算法的数千甚至上万倍。
公式表示为： f(n)=g(n)+h(n),
其中 f(n) 是从初始点经由节点n到目标点的估价函数，
g(n) 是在状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，
h(n) 是从n到目标节点最佳路径的估计代价。
保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数f(n)的选取：
估价值h(n)<= n到目标节点的距离实际值，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。并且如果h(n)=d(n)，即距离估计h(n)等于最短距离，那么搜索将严格沿着最短路径进行， 此时的搜索效率是最高的。
如果 估价值>实际值,搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。

7. 求A到B之间的最短路径，怎么获取

问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有着名的启发式搜索算法A*，不过A*准备单独出一篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径的长度。任意一个最短路算法都是基于这样一个事实：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B。
(1) 迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度(看下面表格的最后一行，就是next点)递增次序产生最短路径。先把V分成两组：
S：已求出最短路径的顶点的集合
V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合
将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证，说实话，真不明白哦）。
(2) 求最短路径步骤
初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值， 若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和SPFA初始化方式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
从T中选取一个其距离值为最小的顶点W(贪心体现在此处)，加入S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作用至关重要)，对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值（上面两个并列for循环，使用最小点更新）。
重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止（说明最外层是除起点外的遍历）。