数据库中的关系代数

1. 数据库的关系代数问题

[例]设教学数据库中有3个关系：
学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)
学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)
课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

下面用关系代数表达式表达每个查询语句。

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。
πSNO，GRADE(σ CNO='C2'(SC))

(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名
πSNO，SNAME(σ CNO='C2'(SSC))
由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成：
πSNO，SNAME（S）（πSNO(σ CNO='C2'(SC))）
这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。

（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。
πSNO，SANME(σ CNAME='MATHS'(SSCC))

（4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。
πSNO(σ CNO='C2'∨CNO='C4'(SC))

（5） 检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。
π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）)
这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果关系中的属性序号。
希望能解决您的问题。

2. 关系数据库中关系代数的基本运算有哪些

投影（projection）
关系R的投影运算是从R中选择某些属性的所有值组成的新关系。换言之，投影运算的结果是一个表的垂直方向的子集。关系R的投影运算记为：πA(R)。其中，A为R的一组属性列。投影的结果将消除重复的元组。
选择（selection）
关系R的选择运算是从关系R中选择满足指定条件（用F表示）的元组构成的新关系。换言之，选择运算的结果是一个表的水平方向的子集。关系R的选择运算记为：σF（R）。
其中，F是包括属性名的逻辑表达式，运算符有算术比较运算符：＜，≤，＞，≥，＝，≠，和逻辑运算符：¬¬┐，∨，∧（非、或、与）。
连接（join）
连接运算是关系的二目运算。关系R与关系S的连接运算是从两个关系的广义笛卡尔积中选取属性间满足一定条件（称为连接条件，记为AθB）的元组形成一个新关系。
除（divide）
设关系R的属性可以分成互不相交的两组，用X、Y表示（X∩Y为空集，X∪Y为R的全部属性），则关系R可以表示为：R(X,Y)。

3. 数据库关系代数

因为存在操作符和操作数，操作数为表，操作符为交、并等；
关系代数有分为基于集合的关系代数和基于包的关系代数；
关系代数的基本操作：并、选择、投影、笛卡尔积、差、重命名；
基本操作的意思是其他的操作符可以通过基本操作推出；
注意：如果我们使用并、交、差运算，必须保证R和S的属性集合是相同的，当然如果不同，也可以通过重命名操作；

4. 关系数据库关系代数表达式怎么写

一、关系代数的9种操作：

关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。

五个基本操作：
并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)

四个组合操作：
交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)
注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列)
注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列

二、关系代数表达式：

由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。

三、举例说明：

设教学数据库中有3个关系：
学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)
学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)
课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)

(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩
------------------------------------
SELECT SNO,GRADE
FROM SC
WHERE CNO='C2'
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π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))
************************************

(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名
------------------------------------
SELECT SC.SNO,S.SNAME
FROM SC,S
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND SC.CNO='C2'
------------------------------------
π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))
此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
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π SNO,SNAME （S） （π SNO (σ CNO='C2' (SC))）
自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。
此表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间、省空间。
************************************

(3) 检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名
------------------------------------
SELECT SC.SNO,S.SNAME
FROM SC,S,C
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND SC.CNO=C.CNO
AND C.CNAME='MATHS'
------------------------------------
π SNO, SANME (σ CNAME='MATHS' (S SC C))
************************************

(4) 检索选修课程号为C2或C4的学生学号
------------------------------------
SELECT SNO
FROM SC
WHERE CNO='C2'
OR CNO='C4'
------------------------------------
π SNO (σ CNO='C2'∨CNO='C4' (SC))
************************************

(5) 检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号
------------------------------------
SELECT SA.SNO
FROM SC AS SA,SC AS SB
WHERE SA.SNO=SB.SNO
AND SA.CNO='C2'
AND SB.CNO='C4'
------------------------------------
π 1 (σ 1=4∧2='C2'∧5='C4' （SC×SC）)
************************************

(6) 检索不学C2课的学生姓名与年龄
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SELECT SNAME,AGE
FROM S
MINUS
SELECT S.SNAME,S.AGE
FROM SC,S
WHERE SC.SNO=S.SNO
AND SC.CNO='C2'
(Oracle)
------------------------------------
π SNAME, AGE （S）－π SNAME, AGE (σ CNO='C2' （S SC）)
************************************

(7) 检索学习全部课程的学生姓名
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5. 关系数据库中关系代数的基本运算有哪些

五种基本操作：并，差，积，选择，投影；构成关系代数完备的操作集。其他非基本操作：可以用以上五种基本操作合成的所有操作。并（U）、交（⌒）、投影（π）选择（σ）和笛卡儿积（×）。

传统的集合运算：

1、并（UNION）设有两个关系R和S，它们具有相同的结构。R和S的并是由属于R或属于S的元组组成的集合，运算符为∪。记为T=R∪S。

2、差（DIFFERENCE）R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合，运算符为－。记为T=R－S。

3、交（INTERSCTION）R和S的交是由既属于R又属于S的元组组成的集合，运算符为∩。记为T=R∩S。R∩S=R－（R－S）。

(5)数据库中的关系代数扩展阅读：

在数据库世界里，后关系数据库仍旧泰然自若，保持其本色。

在现代IT界，SQL和XML已经成为数据库的非常重要组成部分，这二者成为数据库系统结构组成部分的历史也很长久了，至于开始的时间我也很难记得了。

在60年代末和70年代初，出现了具备灵活字段长度、嵌套表格、松散数据类型选择的数据库构架，这样的数据库系统不仅受市场欢迎，也得到大家的青睐。这些早期的数据库系统虽然缺乏像XML一样的标记功能，但是它们在实际工作中却表现出和XML极为类似的功能。

描述这些数据库系统的术语是“后关系”或者“多值”，它们没有SQL关系数据库知名，是因为这些数据库系统缺乏许多新闻的宣传度，我们很容易把它认为是一个实验而已，然后这些实验在人们的印象中就会半途而废了,最终慢慢的消失。

6. 《数据库原理》知识点之关系代数运算

2.2.1 关系代数的五个基本操作

考核要求：达到“简单应用”

层次知识点：五个基本操作的含义和运算应用

（1）并（∪）：两个关系需有相同的关系模式，并的对象是元组，由两个关系所有元组构成。

RUS≡{t| t∈R ∨t∈S}

（2） 差（-）：同样，两个关系有相同的模式，R和S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合。

R-S≡{t| t∈R ∧t 不属于S}

（3）笛卡尔陵烂拿积（×）：对两个关系R和S进行操作，产生的关系中元组个数为两个关系中元组个数之积。

R×S≡{t| t= tr，ts>∧tr∈R∧ts ∈S}

（4） 投影（σ）：对关系进行垂直分割，消去某些列，并重新安排列的顺序。

（5） 选择（π）：根据某些条件关系尺搭作水平分割，即选择符合条件的元组。

2.2.2 关系代数的四个组合操作

考核要求：达到“简单应用”

层次知识点：四个组合操作的含义和运算应用

（1）交（∩）：R和S的交是由既属于R又属于S的元组构成的集合。

（2）联接：包括θ（算术比较符）联接和F（公式）联接。

选择R×S中满足iθ（r+j）或F条件的元组构成的集合；

概念上比较难理解，关键理解运算实例等值联接（θ为等号“=”的联接）。

（3）自然联接（RS）：在R×S中，选择R和S公共属性值均相等的元组，并去掉R×S中重复的公共属性列。 如果两个关系没有公共属性，则自然联接就转化为笛卡尔积。

（4）除法（÷）：首先除法的结果中元数为两个元数的差， R÷S的操作思路如下——把S看作一个块，如果R中相同属性集中的元组有相同的块， 且除去此块后留下的相应元组均相同，那么可以得到一条元组， 所有这些元组的集合就是除法的结果

对于上述的五个基本操作和四个组合操历友作，应当从实际运算方面进行理解和运用。

应用举例

2.2.3 关系代数表达式及应用

考核要求：达到“简单应用”

层次知识点：关系代数表达式的应用

本节的内容是有关实际应用，应该多看例题，多做习题，必须达到以下要求： 能够根据给出的关系代数表达式计算关系值，也能够根据相应查询要求列出关系表达式。

（1）在列关系表达式时，通常有以下形式：

π……（σ……（R×S））或者π……（σ……（RS））

首先把查询涉及到的关系取来，执行笛卡尔积或自然联接操作得到一张大的表格，然后对大表格执行水平分割（选择）和垂直分割（投影）操作。

（2）当查询涉及到否定或全部的逻辑时，往往要用到差或除法操作。

关系代数表达式举例

2.2.4 扩充的关系代数操作

考核要求：达到“识记”

层次知识点：了解“外联接”和“外部并”的含义

注意：（1）“外联接”、“左外联接”、“右外联接”和“自然连接”的差异。

（2）“外部并”和“并”的差异

7. 数据库系统原理之关系代数

关系代数基于集合（关系），定义了一系列对集合（关系）对操作。如并，差，笛卡尔积，选择，更名，投影等基本操作，以及基于基本操作推导出来的扩展操作。
关系代数作用于一个或多个关系，然后产生一个新的关系。可以将关系代数理解为函数，接受一个关系输入，返回一个新对关系。举个例子，我们将并操作命名为 Union ，那么并操作可以表示为：

对于其他对操作如差操作，选择操作等，都有相应对数学符号进行表示，但在中输入这些符号比较困难，再加上我学习关系代数是了解基本的概念知识，这里就不使用数学符号表示了，而是以文字代替。
关系代数定义了基于集合（关系）的操作，其是 SQL 的重要基础（另一个重要基础是关系演算），了解了关系代数的概念以及各个操作要达到的目的之后，对 SQL 中对一些概念也会更加清晰，如连接操作。
本文首先介绍关系代数中的基础操作，再介绍扩展操作。

关系代数的基础操作有：并，差，笛卡尔积，选择，更名，投影等。有些操作如并，差等要求参与运算的关系需要具备并相容性。所谓并相容性，就是两个关系的属性数目（度）相同，并且每个度所在的域相同。
如 R(学生,学号,地址) 和 S(课程,课程号) 两个关系由于度和属性所在的域不相同，因此不具备并相容性，也就无法进行并，差等操作。
相应的， R2(学生,学号,地址) 和 S(教师,教师号,地址) 由于度和属性所在的域相同，因此具备并相容性。

并操作就是将两个关系合并为一个关系，在合并时去掉重复的元组。为什么要去掉重复项呢？这是集合的特质，集合要求不能有重复项。
R 并 S 和 S 并 R 得到的结果是一样的，即并操作满足交换律。
举个例子，有两个关系 R(学生) 和 S(教师)：

这两个关系进行并操作的结果为：

差操作用来选择出现在一个关系但并未出在另一个关系中的元组。
还是以上面两个关系 R(学生) 和 S(教师) 为例，R 差 S 的结果为：

S 差 R 的结果为：

其中元组 T(Jerry,2,澳大利亚) 在两个关系中都出现，是两个关系的交集。因此差操作就是从一个关系中去除和另一个关系的交集所得到的集合。
差操作不满足交换律。

笛卡尔积用来将两个关系连接起来，笛卡尔积的结果将两个关系中所有可能的元组组合起来。假设关系 R 的元组数目为 M，度数为 I，关系 S 的元组数目为 N，度数为 J，那么 R 和 S 进行笛卡尔积运算得到的新关系的元组数目为 M * N，度数为 I + J。
举个例子，有两个关系 R(学生) 和 S(课程) ：

那么对 R 和 S 进行笛卡尔积的结果为：

笛卡尔积用来将两个关系连接在一起，获取所有可能的结果，其是连接操作的基础。

选择操作就是从一个关系中，选择出满足条件的元组。
如从上面的学生表中，选择出学号大于等于 2 的学生，结果为：

选择条件由与或非逻辑表达式构成。

投影操作是从给定的关系中，选择出某些属性属性构成新的关系。如从学生表中投影出一个新的关系 R(姓名,地址) ：

关系代数常用的扩展操作有交操作，Theta 连接操作，自然连接操作，外连接操作，除操作等。扩展操作可以由基础操作推导而来。

交操作用来从两个关系中，选择出同时存在于两个关系中的元组。如上面 R(学生) 和 S(教师) 进行交操作的结果为：

Theta 连接操作会从两个关系的笛卡尔积中，选择出某个条件的元组，并去掉重复项。例如在上面笛卡尔积例子，选择出课程号不为 c1 并且学号不为 s1 的元组：

连接操作一般和投影操作配合使用，比如从上面的结果集中投影出 R(姓名,课程) ：

Theta 连接操作中有个特殊的操作，叫做等值连接，即选择条件为判断是否相等。

自然连接可以认为是一种特殊的等值连接，其要求两个关系具有相同的属性，并且判断条件为两个关系中的某两个相同属性的值相等。
自然连接是最常用的连接操作。
假如有两个关系 R(学生 ) 和 S(班级) ：

对这两个关系进行自然连接的结果为：

外连接就是在自然连接的结果集中，将空值元组和没有匹配到的元素放入到结果集中。
假如有两个关系 R(学生 ) 和 S(班级) ：

首先对这两个关系进行自然连接：

我们在自然连接的结果集中，机上空值元组和没有匹配到的元组：

以上就是外连接的结果，也叫做全外连接：保证两端的元素不丢失。对应的，还有左外连接和右外连接，左外连接会保证左侧的元素不丢失，右外连接会保证右侧的元素不丢失。
因此上面两个进行左外连接的结果为：

进行右外连接的结果为：

除操作是对两个关系进行“除法”操作，要求“除数”关系是“被除数”关系的真子集。除操作会从“被除数”关系中，选择出一个新的关系，设为 N，N 也是 “被除数”关系的真子集。N 需要满足一个条件：
N 和“除数”关系的笛卡尔积是“被除数”关系的最大真子集。
好绕啊···
我们还是直接看例子吧。
假设有两个关系： R(A1,A2,A3) 和 S(A3) ：

对 R 和 S 进行除操作，得到的结果为：

如果 S 关系为：

那么对 R 和 S 进行除操作的结果为：

从上面的例子来看，除操作适用于“满足全部····”的查询。举个例子，从学生表中查询选择了所有课程或者选择了软件测试和软件工程这两门课程的学生。
假设存在一个关系 R(学生) 和 S(课程) ：

现在我们要查询选择了软件测试这门课的所有学生，则被除数关系为 R(学生) ，除数关系为：

对两个关系进行除操作，得到的结果为：

如果我们只需要获取学生的姓名，不需要学号这一列，那么可以再对结果集进行投影操作：

本文介绍了关系代数以及关系代数中常用的基础操作和扩展操作，基础操作包括并，差，笛卡尔积，选择，投影，更名等，某些基础要做要求两个参与运算的关系具有并相容性。扩展操作可以由基础操作推导而来，可以完成更复杂的操作。
关系代数是 SQL 语言的基础，SQL 语言是在关系代数上的一层封装，目的是方便程序员使用。
关系代数的操作接受一个或多个关系作为输入，再输出一个新的关系，不同的关系操作可以进行相互的组合。例如可以先进行选择操作再进行投影操作，先进行自然连接操作再进行选择操作等等。根据不同的需求需要灵活的组合这些操作。

完。

8. 关系数据库中关系代数的基本运算有哪些

基本的关系代数运算：选择、投影、并、集合差、笛卡尔积和更名运算，其中选择、投影、更名为一元运算，另外三个对两个关系进行运算，所以为二元运算；
附加的关系代数运算：集合交∩、自然连接运算、赋值运算、外连接运算（左外连接、右外连接、全外连接）；
扩展的关系代数运算：广义投影、聚集（常用聚集函数：sum，avg，min，max）。