蒙特卡罗算法
Ⅰ 蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）是一种通过随机变量的数字模拟和统计分析来求取数学物理、工程技术问题近似解的数值方法，利用这种方法求解问题的过程可以归纳为下列三个基本步骤：
（1）随机变量的抽样试验。按基本随机变量（输入随机变量）的已知概率分布进行随机抽样（数字模拟）。
（2）样本反应求解。对每个抽取的样本，按问题的性质采用确定性的控制数学、物理方程求取样本反应。
（3）计算反应量的统计量估计。对所有样本反应，按所求解答的类型分别求取输出随机变量的均值、方差或概率分布。
当求解确定性问题时，首先，要根据所提出的问题构造一个简单、适用的概率模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些数字特征（如概率、数学期望、方差等）；然后，在高速运行的计算机上生成随机数，并对随机数进行统计分析试验；最后，利用试验所获结果求出统计特征的估计值作为问题的近似解。总结以上思想，可以得出利用蒙特卡罗方法求解确定性问题的基本步骤为：
（1）根据所要求解的实际问题来构造概型，并使概型的某些统计特征恰好相当于所要求的问题的解。
（2）根据所建立的概率模型，设计、使用一些加速收敛的方法，以求加速收敛并提高计算精度。
（3）给出在计算机上产生概型中各种不同分布随机变量的方法。
（4）统计处理模拟结果，给出问题的近似解并做解的精度估计。
蒙特卡罗方法虽然可以求解许多确定性工程技术问题，但其独到之处还应该在于求解随机性问题。用蒙特卡罗方法求解随机性问题时，一般首先，根据问题的物理性质建立随机模型；然后，再根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，进行大量的统计试验，以取得所求问题的大量试验值；最后，根据这些试验结果求它的统计特征量，从而获得所求问题的解。由此可见，用蒙特卡罗方法求解随机问题的步骤与求解确定性问题的步骤基本一致。
总之，蒙特卡罗方法的理论基础是概率论中的大数定律。设在N次独立试验中，n为事件A出现的次数，而P（A）为事件A在每次试验中出现的概率，贝努利大数定律指出，对于任意ε＞0，当 N→∞时，事件 A 出现的频率的概率收敛于事件的概率。即
地下水系统随机模拟与管理
当随机变量满足独立分布时，若随机变量序列ξ1，ξ2，…，ξN的分布相同，ξi具有有限的数学期望E（ξi）=a，i=1，2，…，N，则根据柯欠莫哥洛夫大数定律，对于任意的ε＞0，当N→∞时，变量ξi 将以概率1收敛于期望值 a，即
地下水系统随机模拟与管理
在蒙特卡罗方法中，采用简单抽样方法进行随机变量的数字模拟，因此其所抽取的子样为具有同分布性质的独立随机变量，当抽取的样本个数足够大时，样本均值将以概率1收敛于分布均值，而事件 A 出现的频率则以概率收敛于事件A 出现的概率，这样就保证了蒙特卡罗方法的概率收敛性。
2.1.1 均匀分布随机数的生成
根据所求解问题性质的不同，其基本随机变量可能属于不同的概率分布，为了产生不同分布类型的随机变量的抽样值（随机数），一般需先产生一个在［0，1］上均匀分布的随机变量的抽样值，然后按照给定的概率分布类型将其转化为所需随机变量的抽样值。因此，均匀分布随机变量随机数的生成是蒙特卡罗方法实现的基础。利用数值法产生的均匀随机变量的抽样值称之为伪随机数，这是因为数值方法的基础是某一数学递推公式，按这类递推公式产生的抽样与［0，1］均匀分布中的抽样在统计性质上不可能完全相同。
数学递推公式的一般形式是：
地下水系统随机模拟与管理
式中：f（xn，xn-1，…，xn-k）——某一给定的函数形式。根据这一函数式，当给定一组初值，x0，x-1，…，x-k后，便可依次求出x1，x2，…，xm…最常用的（0，1）均匀分布随机数生成的递推公式有：
（1）乘同余法。用以产生（0，1）均匀分布随机数的递推公式为：
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式中：λ，M和x0——预先给定的常数。
式（2.4）的意义是指以 M 除以λxi-1后得到的余数记为 xi。由于是余数，所以，即有：
地下水系统随机模拟与管理
如此所得的随机数序列r1，r2，…，ri为具有（0，1）均匀分布的随机数。
由式（2.4）不难看出，不同的xi最多只能有M个，相应地不同的随机数ri也最多只能有M个。所以当产生的随机数ri个数多于M个时，就会出现循环数，这样，便再不能看成是随机数。为了使所产生的随机数能经得住数理统计中的独立性和均匀性检验，需要合理选择随机数生成参数x0，λ及M。表2.1所列为几个经过检验的参数，以供参考。
表2.1
（2）混合同余法。混合同余法的递推公式为：
地下水系统随机模拟与管理
通过适当地选取参数，可以改变伪随机数的统计性质。其他有关伪随机数的生成技术读者可参阅文献［32，41］。
2.1.2 任意分布随机数的生成
任意分布随机数的生成是以（0，1）均匀分布随机数为基础，通过适当的数学变换来形成。可以证明有下列任意分布随机数生成公式。
（1）（a，b）上均匀分布随机数的生成公式为：
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（2）具有指数分布概率密度f（x）=λe-λx（x≥0）的随机数生成公式为：
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（3）正态分布N（0，1）随机数生成公式为：
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（4）正态分布N（μ，σ）随机数生成公式为：
将式（2.8）的xi代入式：
地下水系统随机模拟与管理
即可得 N（μ，σ）分布随机数
上述各式中的ri 为（0，1）均匀分布随机数。
2.1.3 随机数的统计检验
为了进一步了解所生成的随机数是否具有我们所需要的随机数特性，往往需要对所生成的随机数进行参数检验，均匀性检验和独立性检验。参数检验主要是为了检验随机数的子样均值和理论均值的差异是否显着，（0，1）上均匀分布的随机变量R的期望值和方差分别为：
地下水系统随机模拟与管理
地下水系统随机模拟与管理
设随机变数R共有n个观测值r1，r2，…，rn，则由中心极限定理得知：
式中：
地下水系统随机模拟与管理
渐近服从标准正态分布 N（0，1），可以进行 U 检验。当给定显着性水平后，即可根据正态分布表确定临界值，据此判断-r 与其期望值E（R）之差异是否显着，从而决定能否把 r1，r2，…，rn看做是（0，1）均匀分布随机变量 R 的n 个独立取值。
均匀性检验又称频率检验，它检验随机数的经验频率与理论频率的差异是否显着。把（0，1）区间分成 k 等份，以（i=1，2，…，k）表示第 i 个小区间，如 rs 是（0，1）上均匀分布的随机变量 R 的一个取样值，则它落在任一小区间的概率 Pi均匀等于这些小区间的长度，故 n 个值落在任一个小区间的平均数为mi=nPi=n/k，设 n 个rs 值落入第i 个小区间有ni个，则统计量：
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渐近地服从χ2（k-1）分布。据此可进行显着性检验。
独立性检验主要是检验随机数r1，r2，…，中前后各数的统计相关性是否显着。两个随机变数的相关系数反映它们之间的线性相关程度，若两个随机变数相互独立，则它们的相关系数ρK=0，故可通过相关系数来检验随机数的独立性。
设给定n个随机数r1，r2，…，rn，前后距离为k的样本相关系数的计算公式为：
式中：
地下水系统随机模拟与管理
当独立性假设（ρ=0）成立时，则当 n 充分大（如 n＞50+k）时，统计量 U=渐近地服从标准正态分布N（0，1），故可进行 U 检验。
Ⅱ matlab如何实现蒙特卡洛算法
1、打开MATLAB软件，如图所示，输入一下指令。
Ⅲ 能不能简单的给我解释一下蒙特卡罗算法
以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计试验法。
蒙特卡罗是摩纳哥的一个城市，以赌博闻名于世界。蒙特卡罗法借用这一城市的名称是为了象征性地表明该方法的概率统计的特点。
蒙特卡罗法作为一种计算方法，是由S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼在20世纪40年代中叶为研制核武器的需要而首先提出来的。在此之前，该方法的基本思想实际上早已被统计学家所采用了。例如，早在17世纪，人们就知道了依频数来决定概率的方法。
20世纪40年代中叶，出现了电子计算机，使得用数学方法模拟大量的试验成为可能。另外，随着科学技术的不断发展，出现了越来越多的复杂而困难的问题，用通常的解析方法或数值方法都很难加以解决。蒙特卡罗法就是在这些情况下，作为一种可行的而且是不可缺少的计算方法被提出和迅速发展起来的。
基本原理 考虑一个射击运动员的射击成绩 G。令x表示弹着点到靶心的距离，g(x)表示得分，而�0�6(x)表示该运动员的弹着点的分布密度，则
。
另一方面，如果该运动员进行了实弹射击，弹着点依次为X1，X2，…，XN，则平均得分为
。
很明显，弿N是G 的一个近似估计。蒙特卡罗法正是用弿N作为G 的近似估计。
假设 x不是一维空间的点，而是一个S 维空间的点(x1，x2，…，xs)，则上述积分变为
。
蒙特卡罗法计算此积分是用
作为G 的近似估计，式中(X1n，X2n，…，Xsn)是由�0�6(x1，x2，…，xs)中抽取的第n 个样本点。同上述一维积分比较，相同点是，都以某随机变量的N 个独立抽样值的算术平均作为近似估计；不同点仅仅是，决定随机量的样本点不同，一个是一维空间的点，另一个是S 维空间的点。由上式可见， 决定近似估计 弿N好坏的仅仅是随机变量g(x)或g(x1，x2，…，xs)的分布情况，而与它们是由怎样的样本点对应过来的无关。换言之，如果随机变量g(x)和g(x1，x2，…，xs)具有相同分布，在不计抽样，不计计算g(x)和g(x1，x2，…，xs)的差别的情况下，S维情况与一维情况无任何差异。这是其他计算方法所不具有的、一个非常重要的性质。
蒙特卡罗法解题的一般过程是，首先构成一个概率空间；然后在该概率空间中确定一个随机变量g(x)，其数学期望
正好等于所要求的值G，其中F(x)为x的分布函数；最后，以所确定的随机变量的简单子样的算术平均值
作为G 的近似估计。由于其他原因，如确定数学期望为G 的随机变量g(x)有困难，或为其他目的，蒙特卡罗法有时也用G 的渐近无偏估计代替一般过程中的无偏估计弿N来作为G 的近似估计。
收敛性、误差和费用 蒙特卡罗法的近似估计弿N依概率1收敛于G的充分必要条件是随机变量g(x)满足
。
如果随机变量g(x)满足条件
，
式中1≤r<2，则
，
亦即弿N依概率1收敛于G 的速度为。总之，蒙特卡罗法的收敛性取决于所确定的随机变量是否绝对可积，而蒙特卡罗法的收敛速度取决于该随机变量是几次绝对可积的。
根据中心极限定理，只要随机变量g(x)具有有限的异于零的方差σ2，当N 足够大时便有蒙特卡罗法的误差公式如下：
，
式中1-α为置信水平，x由置信水平所惟一确定。根据上述误差公式，为满足问题的误差和置信水平的要求，子样容量N必须大于(x/ε)2σ2，其中ε表示误差。进一步假设每观察一个样本所需要的费用是C，则蒙特卡罗法的费用是。这一结果表明，在相同误差和置信水平要求下，一个蒙特卡罗法的优劣完全取决于σ2C 的值的大小，它的值越小相应的方法越好，或者说，蒙特卡罗法的效率与σ2C 成反比。
提高效率的方法
降低方差技巧 降低方差是提高蒙特卡罗法效率的重要途径之一。考虑二重积分
，
式中�0�6(x，y)为x和y的分布密度函数，g(x，y)的方差存在。蒙特卡罗法计算Eg的一般技巧是用g=g(x， y)作为所确定的随机变量，其中x和y服从分布�0�6(x，y)。降低方差的具体办法有：
① 统计估计技巧用�0�6(x) 和�0�6x(y)分别表示分布�0�6(x，y)的边缘分布和条件分布。计算Eg的统计估计技巧是用y的统计估计量
作为所确定的随机变量，其中x服从分布�0�6(x)。g的方差恰好为两个方差的和，它们分别是对随机变量x和随机变量y采用抽样办法而产生的。gSE的方差正好等于前者，因此gSE的方差一定比g的方差小。统计估计技巧的一般原理是，对于问题中所出现的诸随机变量，能够确定其相应的统计估计量的，就不要再对它们采用随机抽样的办法。
② 重要抽样技巧引入任意分布密度函数�0�6*(x，y)，则
的数学期望同样为Eg，其中x和y服从分布�0�6*(x，y)。当�0�6*(x，y)～|g(x，y)|�0�6(x，y)时，gIS的方差达到最小。在g(x，y)≥0时，方差等于零，gIS实际上变成了与其中出现的随机变量无关的常数。重要抽样技巧的一般原理是，尽量使所确定的随机变量与问题中所出现的随机变量关系不大。
③ 相关抽样技巧考虑一个新的、积分值已知的二重积分
，
可得知
的数学期望同样为Eg，式中x和y服从分布�0�6(x，y)，α为任意常数。当为随机变量g(x，y)和g*(x，y)的均方差σg、λg*之比时，gCS的方差达到最小。此时的方差等于g 的方差 1-ρ2倍，ρ为随机变量g(x，y)和g*(x，y)的相关系数。当ρ=1时，方差变为零。相关抽样技巧的一般原理是，寻找一个数学期望已知的且与原确定的随机变量正相关的随机变量，使相应的相关系数尽量接近1，然后用这两个随机变量的线性组合作为蒙特卡罗法最终所确定的随机变量。
降低方差的技巧还有对偶变数技巧、系统抽样技巧和分层抽样技巧等。对偶变数技巧的一般原理是，除了原确定的随机变量外，寻找另一个（或多个）具有相同数学期望的随机变量，使得它们之间尽量是对偶负相关的，然后用它们的线性组合作为蒙特卡罗法最终所确定的随机变量。系统抽样技巧的一般原理是，对问题中所出现的某些随机变量按相应分布所确定的比例进行抽样，而不是进行随机抽样。分层抽样技巧的一般原理是，对问题中所出现的某些随机变量进行分层，尽量使所确定的随机变量在各层中相对平稳，各层间的抽样按相应分布所确定的比例进行。
其他途径 为了提高蒙特卡罗法的效率，除了简单地降低方差外，还有为降低费用设计的分裂和轮盘赌技巧，为逐步降低方差而设计的多极抽样技巧，为改善收敛速度而设计的拟蒙特卡罗法，为计算条件期望而设计的条件蒙特卡罗法等等。分裂和轮盘赌技巧的一般原理是，将x的积分区域分为重要和非重要两部分，对于抽样确定的X，当它属于重要区域时，对相应的Y 进行多次抽样；当它属于非重要区域时，只有在赌获胜时才对相应的Y 进行抽样。多级抽样技巧的一般原理是，在进行某一级抽样计算的同时，根据它所提供的抽样观察值，设计更好的抽样技巧，用新设计的抽样技巧进行新的一级的抽样计算，依次类推，最后用各级的结果的线性组合作为蒙特卡罗法的近似估计。拟蒙特卡罗法与一般蒙特卡罗法的最大区别是，前者不像后者那样要求子样 g(X1)，g(X2)，…，g(Xn)是相互独立的。用一致分布点列替代由随机数组成的点列的所谓数论方法，实际上就是一种拟蒙特卡罗法。条件蒙特卡罗法的一般原理是，首先将条件期望问题转化成为非条件期望问题，然后用解非条件期望的一般方法来解决条件期望计算问题。由于条件蒙特卡罗法中引进了任意分布密度函数，因此，可以选取合适的分布密度函数来实现进一步降低方差的目的。
优缺点 蒙特卡罗法的最大优点是，在方差存在的情况下，问题的维数不影响它的收敛速度，而只影响它的方差；问题几何形状的复杂性对它的影响不大；它不象其他数值方法那样对问题一定要进行离散化处理，而是常可以进行连续处理；它的程序结构简单，所需计算机存贮单元比其他数值方法少，这对于高维问题差别尤其显着。蒙特卡罗法的最大缺点是，对于维数少的问题它不如其他数值方法好；它的误差是概率误差，而不是一般意义下的误差。
应用 随着电子计算机的迅速发展和科学技术问题日趋复杂，蒙特卡罗法的应用越来越广泛，已经渗透到科学技术的各个领域。
在一些典型数学问题方面的应用主要有：多重积分计算、线性代数方程组求解、矩阵求逆、常微分方程边值问题求解、偏微分方程求解、非齐次线性积分方程求解、本征值计算和最优化计算等等。其中的多重积分计算、非齐次线性积分方程求解和齐次线性积分方程本征值计算等，不仅非常有代表性，而且有很大的实用价值，对于高维问题常比其他数值方法好。
在一些实际问题方面的应用主要有，屏蔽计算、核临界安全计算、反应堆物理计算、微扰计算、实验核物理计算、高能物理计算、核物理计算、统计物理计算、真空技术、公用事业、信息论、系统模拟、可靠性计算和计算机科学等等。其中的屏蔽计算、核临界安全计算、微扰计算、实验核物理计算和统计物理计算等，不仅非常有代表性，而且应用得很广泛，按蒙特卡罗法解决这些问题的能力讲，已经超过了其他计算方法的水平。
Ⅳ 能不能简单的给我解释一下蒙特卡罗算法
首先面对一个盘面，假如轮到Alpha go执白走棋了， Alpha go先随机选择棋盘中任意一点，然后黑棋也随机走一个点，然后Alpha go继续随机下一个点，然后就这样轮流上大约100步后，分析一下局面胜负，然后 Alpha go将上述过程重复上亿次，然后Alpha go统计一下，第一步走哪个位置时，统计出的胜率最大，比如第一步走33时，后续100多万局的随机局面中，最终结果输的局面使40万局，最终赢的结果是60局万，走43时，输的局面是55万局，赢的局面是45万局，那么Alpha go的判断就是走33。
Alpha go不可能穷举所有可能的，Alpha go只是通过大量重复性的随机试验，找出一种胜率较大的下法，当然这种下法不一定是最优解，只是说这种下法是最优解的可能性最大。
总结一下，也就是说，围棋其实并没有被人工智能攻破，理论上Alpha go每走的一步并不一定是最佳走法，只是说Alpha go走的这步棋是最佳走法的概率较大。
也就是说从算法角度来看并没有证据证明Alpha go走的棋就是最优走法，从理论上来讲围棋并没有被人工智能破解。
Ⅳ 蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。
另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡罗方法基于这样的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。借助计算机程序可以生成大量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，通过它们占总点数的比例和坐标点生成范围的面积就可以求出图形面积。
望采纳！
Ⅵ 蒙特卡洛方法原理
蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术,解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。
其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。
设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，„，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，„，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，„，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，„，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，„，xk)(i=1，2，„，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。
Ⅶ 蒙特卡罗方法的基本步骤
实施蒙特卡罗法有三个主要步骤：
（1）构造或描述概率过程。对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程；对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解，即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
（2）实现从已知概率分布抽样。构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量，随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生，这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过经过多种统计检验表明，它与真正的随机数或随机数序列具有相似的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。从已知分布随机抽样有多种方法，与从（0，1）上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。
（3）建立各种估计量。一般来说，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计量。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。
Ⅷ 蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。
Ⅸ 什么是蒙特卡洛分析
蒙特卡罗分析法（统计模拟法），是一种采用随机抽样统计来估算结果的计算方法，可用于估算圆周率，由约翰·冯·诺伊曼提出。由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。
利用蒙特卡罗分析法可用于估算圆周率，如图，在边长为 2 的正方形内作一个半径为 1 的圆，正方形的面积等于 2×2=4，圆的面积等于 π×1×1=π，由此可得出，正方形的面积与圆形的面积的比值为 4:π。
现在让我们用电脑或轮盘生成若干组均匀分布于 0-2 之间的随机数，作为某一点的坐标散布于正方形内，那么落在正方形内的点数 N 与落在圆形内的点数 K 的比值接近于正方形的面积与圆的面积的比值，即，N:K ≈ 4:π，因此，π ≈ 4K/N 。
用此方法求圆周率，需要大量的均匀分布的随机数才能获得比较准确的数值，这也是蒙特卡罗分析法的不足之处。
(9)蒙特卡罗算法扩展阅读：
使用蒙特·卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：
1． 使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。
2． 对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。
3． 计算新的分子构型的能量。
4． 比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。
若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。 若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼因子，并产生一个随机数。
若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。 若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。
5． 如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。
项目管理中蒙特·卡罗模拟方法的一般步骤是：
1．对每一项活动，输入最小、最大和最可能估计数据，并为其选择一种合适的先验分布模型；
2．计算机根据上述输入，利用给定的某种规则，快速实施充分大量的随机抽样
3．对随机抽样的数据进行必要的数学计算，求出结果
4．对求出的结果进行统计学处理，求出最小值、最大值以及数学期望值和单位标准偏差
5．根据求出的统计学处理数据，让计算机自动生成概率分布曲线和累积概率曲线(通常是基于正态分布的概率累积S曲线)
6．依据累积概率曲线进行项目风险分析。
Ⅹ 蒙特卡洛算法是什么
蒙特卡洛算法一般指蒙特·卡罗方法，也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。
蒙特卡罗算法并不是一种算法的名称，而是对一类随机算法的特性的概括。举个例子，假如筐里有100个苹果，让我每次闭眼拿1个，挑出最大的。于是我随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……我每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小。
拿的次数越多，挑出的苹果就越大，但我除非拿100次，否则无法肯定挑出了最大的。这个挑苹果的算法，就属于蒙特卡罗算法——尽量找好的，但不保证是最好的。
蒙特卡罗是一类随机方法的统称。这类方法的特点是，可以在随机采样上计算得到近似结果，随着采样的增多，得到的结果是正确结果的概率逐渐加大，但在（放弃随机采样，而采用类似全采样这样的确定性方法）获得真正的结果之前，无法知道目前得到的结果是不是真正的结果。