A. 关于离散余弦变换（DCT）
1.转自： 离散余弦变换(DCT)的定义_小火车_新浪博客
已知离散傅里叶变换（ DFT）为：
由于许多要处理的信号都是实信号，在使用DFT时由于傅里叶变换时由于实信号傅立叶变换的共轭对称性导致DFT后在频域中有一半的数据冗余。
离散余弦变换（DCT）是对实信号定义的一种变换，变换后在频域中得到的也是一个实信号，相比DFT而言,DCT可以减少一半以上的计算。DCT还有一个很重要的性质（能量集中特性）：大多书自然信号（声音、图像）的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，因而DCT在（声音、图像）数据压缩中得到了广泛的使用。由于DCT是从DFT推导出来的另一种变换，因此许多DFT的属性在DCT中仍然是保留下来的。
推导N点长实序列的DCT，首先来定义一个新的长度为2N的序列：
可看作是将周期为N的序列x[m]做一个周期延拓成一个周期为2N的序列。如图1中第一张图。
再来看图1中第一张图是关于x = -1/2对称的，要让他关于x = 0对称需要将其向右平移1/2个单位，得到x’[m] = x’[m – 1/2]就是关于x = 0对称的周期序列了（如图1中第二张图）。
然后求这个2N序列的DFT：
就是颤饥DCT-2型离散余弦变换.从上面的过程也可以直接看出,离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换.
变换后粗举的x[n]是以2N为周期,偶对称的序列: X[N+n] = X[N+n-2N] = X[n-N] = x[N-n]
定义变换矩阵C[n,m]:
用计算机计算DCT-2 (用的是O(n^2)朴素算法，用于验证正交特性以及观察其频域数据)：
DCT的结果：
对相同序列FFT的结果：
比较DFT和FFT的结果可以观察出DCT变换只有实部，而DFT变换后有虚部。在这个例子中DCT在频域中只用3个点就可以表示这个信号，而DFT变换后在频域中需要5个点来表示信号。
参考： http://fourier.eng.hmc.e/e161/lectures/dct/node1.html
2.转自： 二维DCT变换 - Wuyuan's Blog
写这篇文章的目的主要是为了给x264打好基础，x264用的是整数DCT变换，所以就先来说说DCT变换吧。
DCT(Discrete Cosine Transform)，又叫离散余弦变换，它的第二种类型，经常用于信号和图像数据的压缩。经过DCT变换后的数据能量非常集中，一般只有左上角的数值是非零的，也就是能量都集中在离散余弦变换后的直流和低频部分，下面我会用matlab来演示整个过程。
1.一维DCT变换
我们首先来看看一维的DCT变换，这是二维的基础。一维的DCT变换共有8种，其中最实用的是第二种形式，公式如下：
其中c(u)是加上去一个系数，为了能使DCT变换矩阵成为正交矩阵，在后面二维变换将看到他的作用。N是f(x)的总数。相比其他几种形式，他的运算还是比较简单的，因此也用的比较广。
2.二维DCT变换
二维DCT变换是在一维的基础上再进行一次DCT变换，这个比较好理解，直接看公式：
这里我只讨论两个N相等的情况，也就是数据是方阵的形式，在实际应用中对不是方阵的数据都是先补齐再进岩洞碧行变换的。为了matlab仿真方便点，写成矩阵形式：
下面就用matlab来模拟一下，使用随机生成的4x4矩阵作为输入，程序如下：
Y是使用上面的公式进行变换，YY是用matlab自带的dct2函数变换，结果是是：
可以看出Y和YY的结果是一样的，这也进一步验证了上面的公式是正确的。由于X是我随机生成的，相关性很小，变换后的结果比较乱；如果是信号或图像这样相关性比较大的数据的话，数值会集中在左上角，右下角一般都是零，再使用“之”字型扫描得到数据流会包含很多连续的零，编码后数据量会非常小，这就是DCT变换带来的好处。
3.二维DCT反变换
DCT逆变换的公式如下：
矩阵形式可以由正变换的公式直接推出来，因为在A中加了c(i)这个系数，使得A成为了正交矩阵，所以我们就可以这样做：
在用matlab来验证是否能反变换出原来的数据：
X使用的是上面正变换用的数据，运行后得到的X1为：
X1=
61.000019.000050.000020.0000
82.000026.000061.000045.0000
89.000090.000082.000043.0000
93.000059.000053.000097.0000
和X完全相等。在实际进行编码的时候，比如JPEG压缩的时候，只会对Y左上角的数据进行传输，所以解码出来的内容不会完全和原来的相同。
4.整数DCT变换
说道DCT就顺便提一下x264中的整数DCT变换，整数DCT变换是以DCT变换为基础的，为了减少计算量做的一些调整，下面我写一下整数DCT变换公式的大致推导过程：
然后根据A是正交矩阵，把c=bd带入A中，使行向量为单位向量可以得到d=0.4142。令d=0.5，得到b*b=0.4,代入上面的式子中，把0.5提取出来放到右边的点乘中就得到了：
这样在对大括号部分进行计算时就都是加法和减法了，而且在精度上没有太大降低。在x264实际编码中，变换和量化是一起进行的，使得编码速度有了很大的提高。
B. 离散余弦变换算法
公式神凳
http://image..com/i?ct=503316480&z=0&tn=imagedetail&word=dct+%B9%AB%CA%BD&in=28008&cl=2&cm=1&sc=0&lm=-1&pn=18&rn=1&di=9783368550&ln=536&fr=&ic=0&s=0&se=1
有游搜旅漏宏256个
C. 离散余弦变换和分形编码图像压缩算法的性能比较
目前，分形编码还未完全实用化 ，其主要困难在于传统空域的分形压缩有很多瓶颈 ，例如，运算复杂度太大、收敛过程较难预测和控制、高压缩倍率时的块状效应等 。尽管自动图像压缩算法的改进工作 已持续 了十几年 ，但编码时间、压缩 比以及压缩效果仍不够理想 ，远没有达到分形本身应该达到的效果，因而 ，在当前 图像压缩编码 中还不 占主 导地位。为了能真正发挥分形高压缩 比的潜力，必须寻求 IFS码算法 的突破，找到编码实现的快速算法 ，或者对分形块压缩方法作出重大改进，否则分形图像压缩技术很难与成熟的JPEG和 MPEG竞争。
离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换(Karhunen-Loève 变换--它具有最优的去相关性)的性能。
例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分类。
