扩展欧几里得算法

‘壹’ 关于扩展欧几里得算法有点不明白，请大神指教

这是通过数学计算出来的（所以，学好数学很重要），其实你应该仔细理解该算法的原理！如下内容摘自：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
扩展欧几里德算法
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

‘贰’ 扩展欧几里得算法 好懂一点

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a
mod b)
证明：a可以表示成a = kb +
r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a,
d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a
mod b)的公约数
假设d 是(b,a
mod b)的公约数，则
d | b , d
|r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod
b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，其算法用C++语言描述为：
int
Gcd(int a, int b)
{
if(b ==
0)
return a;
return
Gcd(b, a % b);
}
当然你也可以写成迭代形式：
int
Gcd(int a, int b)
{
while(b !=
0)
{
int r = b;
b = a % b;
a =
r;
}
return
a;
}
本质上都是用的上面那个原理。
补充:
扩展欧几里德算法是用来在已知a,
b求解一组x，y使得a*x+b*y=Gcd(a,b)(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使
用C++的实现：
int
exGcd(int a, int b, int &x, int
&y)
{
if(b ==
0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r =
exGcd(b, a % b, x, y);
int t =
x;
x =
y;
y = t - a
/ b * y;
return
r;
}
把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。
可以这样思考:
对于a' = b,
b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a
% b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y
= Gcd(a', b') ===>
bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b)
===>
ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是
y和(x-a/b*y).
在网上看了很多关于不定方程方程求解的问题，可都没有说全，都只说了一部分，看了好多之后才真正弄清楚不定方程的求解全过程，步骤如下：
求a * x
+ b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a'
* x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;
2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' *
y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；
3、根据数论中的相关定理，可得方程a'
* x + b' * y = n'的所有整数解为：
x = n' * x0 + b' * t
y = n' * y0 - a' * t
(t为整数)

上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
步骤如下：
扩展欧几里德算法－求解不定方程，线性同余方程：
解不定方程ax + by = n的步骤如下:

(1)计算gcd(a, b). 若gcd(a, b)不能整除n，则方程无整数解；否则，在方程的两边同除以gcd(a, b)，
得到新的不定方程a'x + b'y = n'，此时gcd(a', b') = 1

(2)求出不定方程a'x + b'y = 1的一组整数解x0, y0，则n'x0，n'y0是方程a'x + b'y = n'的一组整数解。

(3)根据&@^%W#&定理，可得方程a'x + b'y = n'的所有整数解为：
x = n'x0 + b't
y = n'y0 - a't
(t为整数)
这也就是方程ax + by = n的所有整数解

利用扩展的欧几里德算法，计算gcd(a, b)和满足d = gcd(a, b) = ax0 + by0的x0和y0，
也就是求出了满足a'x0 + b'y0 = 1的一组整数解。因此可得：
x = n/d * x0 + b/d * t
y = n/d * y0 - a/d * t
(t是整数)

program oujilide;
var i,j,a,b,c,d,x,y:longint;
function gcd(a,b:longint):longint;
var i:longint;
begin
if a=0 then exit(b);
if b=0 then exit(a);
gcd:=gcd(b,a mod b);
end;
procere extend_gcd(a,b:longint;var x,y:longint);
var i,j:longint;
begin
if b=0 then
begin
x:=1;
y:=0;
exit
end;
extend_gcd(b,a mod b,x,y);
i:=x;
x:=y;
y:=i-(a div b)*x;
end;
begin
assign(input,'oujilide.in');
reset(input);
assign(output,'oujilide.out');
rewrite(output);
read(a,b,c);
d:=gcd(a,b);
if c mod d=0 then begin a:=a div d; b:=b div d; c:=c div d; end
else begin writeln('No answer!'); exit; end;
extend_gcd(a,b,x,y);
x:=c*x;
y:=c*y;
writeln(x,' ',y);
end.

‘叁’ 扩展欧几里得算法PASCAL

gcd(a,b)=ax+by
gcd(b,a mod b) = bx'+(a mod b) y'
=bx'+ ( a- (a div b) *b)y'
=bx'+ ay'- (a div b) *b *y'
=ay'+ b(x'- (a div b) y')
因为gcd(a,b)=gcd(b , a mod b)
所以ax+by=ay'+ b(x'- (a div b) y')
x=y'
y=x'- (a div b) y'

var
a,b,x,y,k:integer;

function extended_gcd(a,b:longint; var x,y:longint):longint;
var
t:longint;
begin
if b=0 then
begin
x:=1; y:=0;
exit(a);
end;
extended_gcd:=extended_gcd(b,a mod b , x, y);
t:=x;
x:=y;
y:=t - (a div b)*y;
end;

begin
readln(a,b);
k:=extended_gcd(a,b,x,y);
writeln(a,'*(',x,')+',b,'*(',y,')=',k);

readln;
end.

分给的也忒少了

‘肆’ 扩展欧几里得算法

//欧几米德算法 //算法描述：给定两个正整数m和n,求他们的最大公因子。 //1.[求余数]用m除以n并令r为所得余数 //2.[余数为0]若r=0,则算法结束，n即为所求答案 //3.[互换]置m←n,n←r,并返回步骤1。 #include <cstdlib> #include <iostream> using namespace std; int main(int argc, char *argv[]) { int n,m; int r; cout << "输入两个数（M，N）："; cin >> m >> n; cout << m << "和" << n << "的最大公约数为"; while(r!=0) { r=m %n; m=n; n=r; } cout << m<< endl; system("PAUSE"); return EXIT_SUCCESS; }

麻烦采纳，谢谢!

‘伍’ 扩展欧几里德算法是什么

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

下面是一个使用C++的实现：

intexGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return a;
}
intr=exGcd(b,a%b,x,y);
intt=x;x=y;y=t-a/b*y;
return r;
}

把这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。