rsa算法实现
import javax.crypto.Cipher;
import java.security.*;
import java.security.spec.RSAPublicKeySpec;
import java.security.spec.RSAPrivateKeySpec;
import java.security.spec.InvalidKeySpecException;
import java.security.interfaces.RSAPrivateKey;
import java.security.interfaces.RSAPublicKey;
import java.io.*;
import java.math.BigInteger;
/**
* RSA 工具类。提供加密，解密，生成密钥对等方法。
* 需要到http://www.bouncycastle.org下载bcprov-jdk14-123.jar。
* @author xiaoyusong
* mail: [email protected]
* msn:[email protected]
* @since 2004-5-20
*
*/
public class RSAUtil {
/**
* 生成密钥对
* @return KeyPair
* @throws EncryptException
*/
public static KeyPair generateKeyPair() throws EncryptException {
try {
KeyPairGenerator keyPairGen = KeyPairGenerator.getInstance("RSA",
new org.bouncycastle.jce.provider.BouncyCastleProvider());
final int KEY_SIZE = 1024;//没什么好说的了，这个值关系到块加密的大小，可以更改，但是不要太大，否则效率会低
keyPairGen.initialize(KEY_SIZE, new SecureRandom());
KeyPair keyPair = keyPairGen.genKeyPair();
return keyPair;
} catch (Exception e) {
throw new EncryptException(e.getMessage());
}
}
/**
* 生成公钥
* @param molus
* @param publicExponent
* @return RSAPublicKey
* @throws EncryptException
*/
public static RSAPublicKey generateRSAPublicKey(byte[] molus, byte[] publicExponent) throws EncryptException {
KeyFactory keyFac = null;
try {
keyFac = KeyFactory.getInstance("RSA", new org.bouncycastle.jce.provider.BouncyCastleProvider());
} catch (NoSuchAlgorithmException ex) {
throw new EncryptException(ex.getMessage());
}
RSAPublicKeySpec pubKeySpec = new RSAPublicKeySpec(new BigInteger(molus), new BigInteger(publicExponent));
try {
return (RSAPublicKey) keyFac.generatePublic(pubKeySpec);
} catch (InvalidKeySpecException ex) {
throw new EncryptException(ex.getMessage());
}
}
/**
* 生成私钥
* @param molus
* @param privateExponent
* @return RSAPrivateKey
* @throws EncryptException
*/
public static RSAPrivateKey generateRSAPrivateKey(byte[] molus, byte[] privateExponent) throws EncryptException {
KeyFactory keyFac = null;
try {
keyFac = KeyFactory.getInstance("RSA", new org.bouncycastle.jce.provider.BouncyCastleProvider());
} catch (NoSuchAlgorithmException ex) {
throw new EncryptException(ex.getMessage());
}
RSAPrivateKeySpec priKeySpec = new RSAPrivateKeySpec(new BigInteger(molus), new BigInteger(privateExponent));
try {
return (RSAPrivateKey) keyFac.generatePrivate(priKeySpec);
} catch (InvalidKeySpecException ex) {
throw new EncryptException(ex.getMessage());
}
}
/**
* 加密
* @param key 加密的密钥
* @param data 待加密的明文数据
* @return 加密后的数据
* @throws EncryptException
*/
public static byte[] encrypt(Key key, byte[] data) throws EncryptException {
try {
Cipher cipher = Cipher.getInstance("RSA", new org.bouncycastle.jce.provider.BouncyCastleProvider());
cipher.init(Cipher.ENCRYPT_MODE, key);
int blockSize = cipher.getBlockSize();//获得加密块大小，如：加密前数据为128个byte，而key_size=1024 加密块大小为127 byte,加密后为128个byte;因此共有2个加密块，第一个127 byte第二个为1个byte
int outputSize = cipher.getOutputSize(data.length);//获得加密块加密后块大小
int leavedSize = data.length % blockSize;
int blocksSize = leavedSize != 0 ? data.length / blockSize + 1 : data.length / blockSize;
byte[] raw = new byte[outputSize * blocksSize];
int i = 0;
while (data.length - i * blockSize > 0) {
if (data.length - i * blockSize > blockSize)
cipher.doFinal(data, i * blockSize, blockSize, raw, i * outputSize);
else
cipher.doFinal(data, i * blockSize, data.length - i * blockSize, raw, i * outputSize);
//这里面doUpdate方法不可用，查看源代码后发现每次doUpdate后并没有什么实际动作除了把byte[]放到ByteArrayOutputStream中，而最后doFinal的时候才将所有的byte[]进行加密，可是到了此时加密块大小很可能已经超出了OutputSize所以只好用dofinal方法。
i++;
}
return raw;
} catch (Exception e) {
throw new EncryptException(e.getMessage());
}
}
/**
* 解密
* @param key 解密的密钥
* @param raw 已经加密的数据
* @return 解密后的明文
* @throws EncryptException
*/
public static byte[] decrypt(Key key, byte[] raw) throws EncryptException {
try {
Cipher cipher = Cipher.getInstance("RSA", new org.bouncycastle.jce.provider.BouncyCastleProvider());
cipher.init(cipher.DECRYPT_MODE, key);
int blockSize = cipher.getBlockSize();
ByteArrayOutputStream bout = new ByteArrayOutputStream(64);
int j = 0;
while (raw.length - j * blockSize > 0) {
bout.write(cipher.doFinal(raw, j * blockSize, blockSize));
j++;
}
return bout.toByteArray();
} catch (Exception e) {
throw new EncryptException(e.getMessage());
}
}
/**
*
* @param args
* @throws Exception
*/
public static void main(String[] args) throws Exception {
File file = new File("test.html");
FileInputStream in = new FileInputStream(file);
ByteArrayOutputStream bout = new ByteArrayOutputStream();
byte[] tmpbuf = new byte[1024];
int count = 0;
while ((count = in.read(tmpbuf)) != -1) {
bout.write(tmpbuf, 0, count);
tmpbuf = new byte[1024];
}
in.close();
byte[] orgData = bout.toByteArray();
KeyPair keyPair = RSAUtil.generateKeyPair();
RSAPublicKey pubKey = (RSAPublicKey) keyPair.getPublic();
RSAPrivateKey priKey = (RSAPrivateKey) keyPair.getPrivate();
byte[] pubModBytes = pubKey.getMolus().toByteArray();
byte[] pubPubExpBytes = pubKey.getPublicExponent().toByteArray();
byte[] priModBytes = priKey.getMolus().toByteArray();
byte[] priPriExpBytes = priKey.getPrivateExponent().toByteArray();
RSAPublicKey recoveryPubKey = RSAUtil.generateRSAPublicKey(pubModBytes,pubPubExpBytes);
RSAPrivateKey recoveryPriKey = RSAUtil.generateRSAPrivateKey(priModBytes,priPriExpBytes);
byte[] raw = RSAUtil.encrypt(priKey, orgData);
file = new File("encrypt_result.dat");
OutputStream out = new FileOutputStream(file);
out.write(raw);
out.close();
byte[] data = RSAUtil.decrypt(recoveryPubKey, raw);
file = new File("decrypt_result.html");
out = new FileOutputStream(file);
out.write(data);
out.flush();
out.close();
}
}
http://book.77169.org/data/web5409/20050328/20050328__3830259.html
这个行吧
http://soft.zdnet.com.cn/software_zone/2007/0925/523319.shtml
再参考这个吧
http://topic.csdn.net/t/20040427/20/3014655.html
‘贰’ 求RSA算法的源代码（c语言）
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define MM 7081
#define KK 1789
#define PHIM 6912
#define PP 85
typedef char strtype[10000];
int len;
long nume[10000];
int change[126];
char antichange[37];
void initialize()
{ int i;
char c;
for (i = 11, c = 'A'; c <= 'Z'; c ++, i ++)
{ change[c] = i;
antichange[i] = c;
}
}
void changetonum(strtype str)
{ int l = strlen(str), i;
len = 0;
memset(nume, 0, sizeof(nume));
for (i = 0; i < l; i ++)
{ nume[len] = nume[len] * 100 + change[str[i]];
if (i % 2 == 1) len ++;
}
if (i % 2 != 0) len ++;
}
long binamod(long numb, long k)
{ if (k == 0) return 1;
long curr = binamod (numb, k / 2);
if (k % 2 == 0)
return curr * curr % MM;
else return (curr * curr) % MM * numb % MM;
}
long encode(long numb)
{ return binamod(numb, KK);
}
long decode(long numb)
{ return binamod(numb, PP);
}
main()
{ strtype str;
int i, a1, a2;
long curr;
initialize();
puts("Input 'Y' if encoding, otherwise input 'N':");
gets(str);
if (str[0] == 'Y')
{ gets(str);
changetonum(str);
printf("encoded: ");
for (i = 0; i < len; i ++)
{ if (i) putchar('-');
printf(" %ld ", encode(nume[i]));
}
putchar('\n');
}
else
{ scanf("%d", &len);
for (i = 0; i < len; i ++)
{ scanf("%ld", &curr);
curr = decode(curr);
a1 = curr / 100;
a2 = curr % 100;
printf("decoded: ");
if (a1 != 0) putchar(antichange[a1]);
if (a2 != 0) putchar(antichange[a2]);
}
putchar('\n');
}
putchar('\n');
system("PAUSE");
return 0;
}
测试：
输入：
Y
FERMAT
输出：
encoded: 5192 - 2604 - 4222
输入
N
3 5192 2604 4222
输出
decoded: FERMAT
‘叁’ RSA算法的C++实现
RSA算法介绍及JAVA实现，其实java和c＋＋差不多，参考一下吧
<一>基础
RSA算法非常简单，概述如下：
找两素数p和q
取n=p*q
取t=(p-1)*(q-1)
取任何一个数e,要求满足e<t并且e与t互素（就是最大公因数为1）
取d*e%t==1
这样最终得到三个数： n d e
设消息为数M (M <n)
设c=(M**d)%n就得到了加密后的消息c
设m=(c**e)%n则 m == M，从而完成对c的解密。
注：**表示次方,上面两式中的d和e可以互换。
在对称加密中：
n d两个数构成公钥，可以告诉别人；
n e两个数构成私钥，e自己保留，不让任何人知道。
给别人发送的信息使用e加密，只要别人能用d解开就证明信息是由你发送的，构成了签名机制。
别人给你发送信息时使用d加密，这样只有拥有e的你能够对其解密。
rsa的安全性在于对于一个大数n，没有有效的方法能够将其分解
从而在已知n d的情况下无法获得e；同样在已知n e的情况下无法
求得d。
<二>实践
接下来我们来一个实践，看看实际的操作：
找两个素数：
p=47
q=59
这样
n=p*q=2773
t=(p-1)*(q-1)=2668
取e=63，满足e<t并且e和t互素
用perl简单穷举可以获得满主 e*d%t ==1的数d：
C:\Temp>perl -e "foreach $i (1..9999){ print($i),last if $i*63%2668==1 }"
847
即d＝847
最终我们获得关键的
n=2773
d=847
e=63
取消息M=244我们看看
加密：
c=M**d%n = 244**847%2773
用perl的大数计算来算一下：
C:\Temp>perl -Mbigint -e "print 244**847%2773"
465
即用d对M加密后获得加密信息c＝465
解密：
我们可以用e来对加密后的c进行解密，还原M：
m=c**e%n=465**63%2773 ：
C:\Temp>perl -Mbigint -e "print 465**63%2773"
244
即用e对c解密后获得m=244 , 该值和原始信息M相等。
<三>字符串加密
把上面的过程集成一下我们就能实现一个对字符串加密解密的示例了。
每次取字符串中的一个字符的ascii值作为M进行计算，其输出为加密后16进制
的数的字符串形式，按3字节表示，如01F
代码如下：
#!/usr/bin/perl -w
#RSA 计算过程学习程序编写的测试程序
#watercloud 2003-8-12
#
use strict;
use Math::BigInt;
my %RSA_CORE = (n=>2773,e=>63,d=>847); #p=47,q=59
my $N=new Math::BigInt($RSA_CORE{n});
my $E=new Math::BigInt($RSA_CORE{e});
my $D=new Math::BigInt($RSA_CORE{d});
print "N=$N D=$D E=$E\n";
sub RSA_ENCRYPT
{
my $r_mess = shift @_;
my ($c,$i,$M,$C,$cmess);
for($i=0;$i < length($$r_mess);$i++)
{
$c=ord(substr($$r_mess,$i,1));
$M=Math::BigInt->new($c);
$C=$M->(); $C->bmodpow($D,$N);
$c=sprintf "%03X",$C;
$cmess.=$c;
}
return \$cmess;
}
sub RSA_DECRYPT
{
my $r_mess = shift @_;
my ($c,$i,$M,$C,$dmess);
for($i=0;$i < length($$r_mess);$i+=3)
{
$c=substr($$r_mess,$i,3);
$c=hex($c);
$M=Math::BigInt->new($c);
$C=$M->(); $C->bmodpow($E,$N);
$c=chr($C);
$dmess.=$c;
}
return \$dmess;
}
my $mess="RSA 娃哈哈哈～～～";
$mess=$ARGV[0] if @ARGV >= 1;
print "原始串：",$mess,"\n";
my $r_cmess = RSA_ENCRYPT(\$mess);
print "加密串：",$$r_cmess,"\n";
my $r_dmess = RSA_DECRYPT($r_cmess);
print "解密串：",$$r_dmess,"\n";
#EOF
测试一下：
C:\Temp>perl rsa-test.pl
N=2773 D=847 E=63
原始串：RSA 娃哈哈哈～～～
加密串：
解密串：RSA 娃哈哈哈～～～
C:\Temp>perl rsa-test.pl 安全焦点（xfocus）
N=2773 D=847 E=63
原始串：安全焦点（xfocus）
加密串：
解密串：安全焦点（xfocus）
<四>提高
前面已经提到，rsa的安全来源于n足够大，我们测试中使用的n是非常小的，根本不能保障安全性，
我们可以通过RSAKit、RSATool之类的工具获得足够大的N 及D E。
通过工具，我们获得1024位的N及D E来测试一下：
n=EC3A85F5005D
4C2013433B383B
A50E114705D7E2
BC511951
d=0x10001
e=DD28C523C2995
47B77324E66AFF2
789BD782A592D2B
1965
设原始信息
M=
完成这么大数字的计算依赖于大数运算库，用perl来运算非常简单：
A) 用d对M进行加密如下：
c=M**d%n :
C:\Temp>perl -Mbigint -e " $x=Math::BigInt->bmodpow(0x11111111111122222222222233
333333333, 0x10001,
D55EDBC4F0
6E37108DD6
);print $x->as_hex"
b73d2576bd
47715caa6b
d59ea89b91
f1834580c3f6d90898
即用d对M加密后信息为：
c=b73d2576bd
47715caa6b
d59ea89b91
f1834580c3f6d90898
B) 用e对c进行解密如下：
m=c**e%n ：
C:\Temp>perl -Mbigint -e " $x=Math::BigInt->bmodpow(0x17b287be418c69ecd7c39227ab
5aa1d99ef3
0cb4764414
, 0xE760A
3C29954C5D
7324E66AFF
2789BD782A
592D2B1965, CD15F90
4F017F9CCF
DD60438941
);print $x->as_hex"
(我的P4 1.6G的机器上计算了约5秒钟）
得到用e解密后的m= == M
C) RSA通常的实现
RSA简洁幽雅，但计算速度比较慢，通常加密中并不是直接使用RSA 来对所有的信息进行加密，
最常见的情况是随机产生一个对称加密的密钥，然后使用对称加密算法对信息加密，之后用
RSA对刚才的加密密钥进行加密。
最后需要说明的是，当前小于1024位的N已经被证明是不安全的
自己使用中不要使用小于1024位的RSA，最好使用2048位的。
----------------------------------------------------------
一个简单的RSA算法实现JAVA源代码：
filename:RSA.java
/*
* Created on Mar 3, 2005
*
* TODO To change the template for this generated file go to
* Window - Preferences - Java - Code Style - Code Templates
*/
import java.math.BigInteger;
import java.io.InputStream;
import java.io.OutputStream;
import java.io.FileInputStream;
import java.io.FileOutputStream;
import java.io.FileNotFoundException;
import java.io.IOException;
import java.io.FileWriter;
import java.io.FileReader;
import java.io.BufferedReader;
import java.util.StringTokenizer;
/**
* @author Steve
*
* TODO To change the template for this generated type comment go to
* Window - Preferences - Java - Code Style - Code Templates
*/
public class RSA {
/**
* BigInteger.ZERO
*/
private static final BigInteger ZERO = BigInteger.ZERO;
/**
* BigInteger.ONE
*/
private static final BigInteger ONE = BigInteger.ONE;
/**
* Pseudo BigInteger.TWO
*/
private static final BigInteger TWO = new BigInteger("2");
private BigInteger myKey;
private BigInteger myMod;
private int blockSize;
public RSA (BigInteger key, BigInteger n, int b) {
myKey = key;
myMod = n;
blockSize = b;
}
public void encodeFile (String filename) {
byte[] bytes = new byte[blockSize / 8 + 1];
byte[] temp;
int tempLen;
InputStream is = null;
FileWriter writer = null;
try {
is = new FileInputStream(filename);
writer = new FileWriter(filename + ".enc");
}
catch (FileNotFoundException e1){
System.out.println("File not found: " + filename);
}
catch (IOException e1){
System.out.println("File not found: " + filename + ".enc");
}
/**
* Write encoded message to 'filename'.enc
*/
try {
while ((tempLen = is.read(bytes, 1, blockSize / 8)) > 0) {
for (int i = tempLen + 1; i < bytes.length; ++i) {
bytes[i] = 0;
}
writer.write(encodeDecode(new BigInteger(bytes)) + " ");
}
}
catch (IOException e1) {
System.out
‘肆’ RSA算法的实现
RSA毕业设计论文
http://wenku..com/view/8b1804c42cc58bd63186bd77.html
‘伍’ RSA算法程序
RSA算法非常简单，概述如下：
找两素数p和q
取n=p*q
取t=(p-1)*(q-1)
取任何一个数e,要求满足e<t并且e与t互素（就是最大公因数为1）
取d*e%t==1
这样最终得到三个数： n d e
‘陆’ rsa算法实现代码
你看看这个行不行，位数可以自己改，今天在网上找到了，我也想用C生成512、1024位的大素数进行RSA加密。。如果谁有好方法麻烦共享下：[email protected]，跪谢
package test;
import java.math.BigInteger;
// 生成一个随机大整数，然后找出比这个整数大的下一个素数
public class Primes {
// 下面的 BigInteger.ZERO 和 BigInteger.ONE 在 JDK 1.1 中是无效的
private static final BigInteger ZERO = BigInteger.ZERO;
private static final BigInteger ONE = BigInteger.ONE;
private static final BigInteger TWO = new BigInteger("2");
// 产生一个错误素数的概率小于 1/2 的 ERR_VAL 次方，可以将 ERR_VAL 定义为 200，降低其错误率
// Java 应该使用的是 Miller-Rabin 测试法，这种错误概率基本上可以认为是无错误。
private static final int ERR_VAL = 100;
private static StringBuffer[] digits = { new StringBuffer("0"), new StringBuffer("1"), new StringBuffer("2"), new StringBuffer("3"), new StringBuffer("4"), new StringBuffer("5"),
new StringBuffer("6"), new StringBuffer("7"), new StringBuffer("8"), new StringBuffer("9") };
private static StringBuffer randomDigit(boolean isZeroOK) {
// 产生一个随机的数字（字符串形式的），isZeroOK 决定这个数字是否可以为 0
int index;
if (isZeroOK)
index = (int) Math.floor(Math.random() * 10);
else
index = 1 + (int) Math.floor(Math.random() * 9);
return (digits[index]);
}
public static BigInteger bigRandom(int numDigits) {
// 产生一个随机大整数，各位上的数字都是随机产生的，首位不为 0
StringBuffer s = new StringBuffer("");
for (int i = 0; i < numDigits; i++)
if (i == 0)
s.append(randomDigit(false));
else
s.append(randomDigit(true));
return (new BigInteger(s.toString()));
}
private static boolean isEven(BigInteger n) {
// 测试一个大整数是否为偶数
return (n.mod(TWO).equals(ZERO));
}
public static BigInteger nextPrime(BigInteger start) {
// 产生一个比给定大整数 start 大的素数，错误率低于 1/2 的 ERR_VAL 次方
if (isEven(start))
start = start.add(ONE);
else
start = start.add(TWO);
if (start.isProbablePrime(ERR_VAL))
return (start);
else
// 采用递归方式（递归的层数会是个天文数字吗？）
return (nextPrime(start));
}
// 一个基于命令行的测试程序，如果位数错误，默认 150 位，输出 20 个素数
public static void main(String[] args) {
int numDigits;
try {
numDigits = Integer.parseInt(args[0]);
} catch (Exception e) {
numDigits = 128;
}
BigInteger start = bigRandom(numDigits);
start = nextPrime(start);
BigInteger end = bigRandom(5);
end = nextPrime(end);
System.out.println("大素数" + start);
System.out.println("大素数" + end);
BigInteger result = start.multiply(end);
System.out.println("结果数" + result);
‘柒’ java RSA算法实现256位密钥怎么做
【下载实例】本文介绍RSA2加密与解密，RSA2是RSA的加强版本，在密钥长度上采用2048, RSA2比RSA更安全，更可靠, 本人的另一篇文章RSA已经发表，有想了解的可以点开下面的RSA文章
‘捌’ 如何用C语言实现RSA算法
RSA算法它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字
命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard
Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。
一、RSA算法 :
首先, 找出三个数, p, q, r,
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数
p, q, r 这三个数便是 private key
接着, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了
再来, 计算 n = pq
m, n 这两个数便是 public key
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小于 n, 然后分段编码
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是编码后的资料
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
于是乎, 解码完毕 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r
所以, 他必须先对 n 作质因数分解
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
使第三者作因数分解时发生困难
<定理>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的
<证明>
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
因为在 molo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以这就是说 a 等于 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解
RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA
的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n
必须选大一些，因具体适用情况而定。
三、RSA的速度
由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。
四、RSA的选择密文攻击
RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：
( XM )^d = X^d *M^d mod n
前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公
钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用
One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。
五、RSA的公共模数攻击
若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：
C1 = P^e1 mod n
C2 = P^e2 mod n
密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。
因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足：
r * e1 + s * e2 = 1
假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。
RSA的小指数攻击。 有一种提高 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有
所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。
RSA算法是
第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人
们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA
的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能
如何，而且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。
RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600
bits
以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目
前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其他实体使用比特的密钥。
C语言实现
#include <stdio.h>
int candp(int a,int b,int c)
{ int r=1;
b=b+1;
while(b!=1)
{
r=r*a;
r=r%c;
b--;
}
printf("%d\n",r);
return r;
}
void main()
{
int p,q,e,d,m,n,t,c,r;
char s;
printf("please input the p,q: ");
scanf("%d%d",&p,&q);
n=p*q;
printf("the n is %3d\n",n);
t=(p-1)*(q-1);
printf("the t is %3d\n",t);
printf("please input the e: ");
scanf("%d",&e);
if(e<1||e>t)
{
printf("e is error,please input again: ");
scanf("%d",&e);
}
d=1;
while(((e*d)%t)!=1) d++;
printf("then caculate out that the d is %d\n",d);
printf("the cipher please input 1\n");
printf("the plain please input 2\n");
scanf("%d",&r);
switch(r)
{
case 1: printf("input the m: "); /*输入要加密的明文数字*/
scanf("%d",&m);
c=candp(m,e,n);
printf("the cipher is %d\n",c);break;
case 2: printf("input the c: "); /*输入要解密的密文数字*/
scanf("%d",&c);
m=candp(c,d,n);
printf("the cipher is %d\n",m);break;
}
getch();
}
‘玖’ RSA算法的实现细节
首先要使用概率算法来验证随机产生的大的整数是否质数，这样的算法比较快而且可以消除掉大多数非质数。假如有一个数通过了这个测试的话，那么要使用一个精确的测试来保证它的确是一个质数。
除此之外这样找到的p和q还要满足一定的要求，首先它们不能太靠近，此外p-1或q-1的因子不能太小，否则的话N也可以被很快地分解。
此外寻找质数的算法不能给攻击者任何信息，这些质数是怎样找到的，尤其产生随机数的软件必须非常好。要求是随机和不可预测。这两个要求并不相同。一个随机过程可能可以产生一个不相关的数的系列，但假如有人能够预测出（或部分地预测出）这个系列的话，那么它就已经不可靠了。比如有一些非常好的随机数算法，但它们都已经被发表，因此它们不能被使用，因为假如一个攻击者可以猜出p和q一半的位的话，那么他们就已经可以轻而易举地推算出另一半。
此外密钥d必须足够大，1990年有人证明假如p大于q而小于2q（这是一个很经常的情况）而，那么从N和e可以很有效地推算出d。此外e = 2永远不应该被使用。 由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上好几倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。RSA的速度比对应同样安全级别的对称密码算法要慢1000倍左右。
比起DES和其它对称算法来说，RSA要慢得多。实际上Bob一般使用一种对称算法来加密他的信息，然后用RSA来加密他的比较短的对称密码，然后将用RSA加密的对称密码和用对称算法加密的消息送给Alice。
这样一来对随机数的要求就更高了，尤其对产生对称密码的要求非常高，因为否则的话可以越过RSA来直接攻击对称密码。 1995年有人提出了一种非常意想不到的攻击方式：假如Eve对Alice的硬件有充分的了解，而且知道它对一些特定的消息加密时所需要的时间的话，那么她可以很快地推导出d。这种攻击方式之所以会成立，主要是因为在进行加密时所进行的模指数运算是一个位元一个位元进行的而位元为1所花的运算比位元为0的运算要多很多，因此若能得到多组讯息与其加密时间，就会有机会可以反推出私钥的内容。
‘拾’ 什么是RSA算法，求简单解释。
RSA公钥加密算法是1977年由Ron Rivest、Adi Shamirh和LenAdleman在（美国麻省理工学院）开发的。RSA取名来自开发他们三者的名字。RSA是目前最有影响力的公钥加密算法，它能够
抵抗到目前为止已知的所有密码攻击，已被ISO推荐为公钥数据加密标准。RSA算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但那时想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上好几倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。RSA的速度比对应同样安全级别的对称密码算法要慢1000倍左右。
基础
大数分解和素性检测——将两个大素数相乘在计算上很容易实现，但将该乘积分解为两个大素数因子的计算量是相当巨大的，以至于在实际计算中是不能实现的。
1.RSA密码体制的建立：
(1)选择两个不同的大素数p和q；
(2)计算乘积n=pq和Φ(n)=(p-1)(q-1)；
(3)选择大于1小于Φ(n)的随机整数e，使得gcd(e,Φ(n))=1；
(4)计算d使得de=1mod Φ(n)；
(5)对每一个密钥k=(n,p,q,d,e)，定义加密变换为Ek(x)=xemodn，解密变换为Dk(x)=ydmodn，这里x,y∈Zn；
(6)以{e,n}为公开密钥，{p,q,d}为私有密钥。
2.RSA算法实例:
下面用两个小素数7和17来建立一个简单的RSA算法：
(1)选择两个素数p=7和q=17；
(2)计算n=pq=7 17=119，计算Φ(n)=(p-1)(q-1)=6 16=96；
(3)选择一个随机整数e=5，它小于Φ(n)＝96并且于96互素；
(4)求出d，使得de=1mod96且d<96，此处求出d=77，因为 77 5＝385＝4 96＋1；
(5)输入明文M＝19，计算19模119的5次幂，Me＝195＝66mod119,传出密文C＝66；(6)接收密文66，计算66模119的77次幂；Cd=6677≡19mod119得到明文19。