推荐算法矩阵分解

❶ 推荐算法简介

写在最前面：本文内容主要来自于书籍《推荐系统实践》和《推荐系统与深度学习》。

推荐系统是目前互联网世界最常见的智能产品形式。从电子商务、音乐视频网站，到作为互联网经济支柱的在线广告和新颖的在线应用推荐，到处都有推荐系统的身影。推荐算法是推荐系统的核心，其本质是通过一定的方式将用户和物品联系起来，而不同的推荐系统利用了不同的方式。

推荐系统的主要功能是以个性化的方式帮助用户从极大的搜索空间中快速找到感兴趣的对象。因此，目前所用的推荐系统多为个性化推荐系统。个性化推荐的成功应用需要两个条件：

在推荐系统的众多算法中，基于协同的推荐和基于内容的推荐在实践中得到了最广泛的应用。本文也将从这两种算法开始，结合时间、地点上下文环境以及社交环境，对常见的推荐算法做一个简单的介绍。

基于内容的算法的本质是对物品内容进行分析，从中提取特征，然后基于用户对何种特征感兴趣来推荐含有用户感兴趣特征的物品。因此，基于内容的推荐算法有两个最基本的要求：

下面我们以一个简单的电影推荐来介绍基于内容的推荐算法。

现在有两个用户A、B和他们看过的电影以及打分情况如下：

其中问好（?）表示用户未看过。用户A对《银河护卫队 》《变形金刚》《星际迷航》三部科幻电影都有评分，平均分为 4 .7 分 （ (5+4+5 ) / 3=4.7 ）；对《三生三世》《美人鱼》《北京遇上西雅图》三部爱情电影评分平均分为 2.3 分 （ ( 3十2+2 ) /3=2.3 ）。现在需要给A推荐电影，很明显A更倾向于科幻电影，因此推荐系统会给A推荐独立日。而对于用户B，通过简单的计算我们可以知道更喜欢爱情电影，因此给其推荐《三生三世》。当然，在实际推荐系统中，预测打分比这更加复杂些，但是其原理是一样的。

现在，我们可以将基于内容的推荐归纳为以下四个步骤：

通过上面四步就能快速构建一个简单的推荐系统。基于内容的推荐系统通常简单有效，可解释性好，没有物品冷启动问题。但他也有两个明显的缺点：

最后，顺便提一下特征提取方法：对于某些特征较为明确的物品，一般可以直接对其打标签，如电影类别。而对于文本类别的特征，则主要是其主题情感等，则些可以通过tf-idf或LDA等方法得到。

基于协同的算法在很多地方也叫基于邻域的算法，主要可分为两种：基于用户的协同算法和基于物品的协同算法。

啤酒和尿布的故事在数据挖掘领域十分有名，该故事讲述了美国沃尔玛超市统计发现啤酒和尿布一起被购买的次数非常多，因此将啤酒和尿布摆在了一起，最后啤酒和尿布的销量双双增加了。这便是一个典型的物品协同过滤的例子。

基于物品的协同过滤指基于物品的行为相似度（如啤酒尿布被同时购买）来进行物品推荐。该算法认为，物品A和物品B具有很大相似度是因为喜欢物品A的用户大都也喜欢物品B。

基于物品的协同过滤算法主要分为两步：

基于物品的协同过滤算法中计算物品相似度的方法有以下几种：
（1）基于共同喜欢物品的用户列表计算。

此外，John S. Breese再其论文中还提及了IUF（Inverse User Frequence，逆用户活跃度）的参数，其认为活跃用户对物品相似度的贡献应该小于不活跃的用户，应该增加IUF参数来修正物品相似度的公式：

上面的公式只是对活跃用户做了一种软性的惩罚， 但对于很多过于活跃的用户， 比如某位买了当当网80%图书的用户， 为了避免相似度矩阵过于稠密， 我们在实际计算中一般直接忽略他的兴趣列表， 而不将其纳入到相似度计算的数据集中。

（2）基于余弦相似度计算。

（3）热门物品的惩罚。
从上面（1）的相似度计算公式中，我们可以发现当物品 i 被更多人购买时，分子中的 N(i) ∩ N(j) 和分母中的 N(i) 都会增长。对于热门物品，分子 N(i) ∩ N(j) 的增长速度往往高于 N(i)，这就会使得物品 i 和很多其他的物品相似度都偏高，这就是 ItemCF 中的物品热门问题。推荐结果过于热门，会使得个性化感知下降。以歌曲相似度为例，大部分用户都会收藏《小苹果》这些热门歌曲，从而导致《小苹果》出现在很多的相似歌曲中。为了解决这个问题，我们对于物品 i 进行惩罚，例如下式， 当α∈(0, 0.5) 时，N(i) 越小，惩罚得越厉害，从而使热门物品相关性分数下降（ 博主注：这部分未充分理解 ）：

此外，Kary pis在研究中发现如果将ItemCF的相似度矩阵按最大值归一化， 可以提高推荐的准确率。 其研究表明， 如果已经得到了物品相似度矩阵w， 那么可以用如下公式得到归一化之后的相似度矩阵w'：

归一化的好处不仅仅在于增加推荐的准确度，它还可以提高推荐的覆盖率和多样性。一般来说，物品总是属于很多不同的类，每一类中的物品联系比较紧密。假设物品分为两类——A和B， A类物品之间的相似度为0.5， B类物品之间的相似度为0.6， 而A类物品和B类物品之间的相似度是0.2。 在这种情况下， 如果一个用户喜欢了5个A类物品和5个B类物品， 用ItemCF给他进行推荐， 推荐的就都是B类物品， 因为B类物品之间的相似度大。 但如果归一化之后， A类物品之间的相似度变成了1， B类物品之间的相似度也是1， 那么这种情况下， 用户如果喜欢5个A类物品和5个B类物品， 那么他的推荐列表中A类物品和B类物品的数目也应该是大致相等的。 从这个例子可以看出， 相似度的归一化可以提高推荐的多样性。

那么，对于两个不同的类，什么样的类其类内物品之间的相似度高，什么样的类其类内物品相似度低呢？一般来说，热门的类其类内物品相似度一般比较大。如果不进行归一化，就会推荐比较热门的类里面的物品，而这些物品也是比较热门的。因此，推荐的覆盖率就比较低。相反，如果进行相似度的归一化，则可以提高推荐系统的覆盖率。

最后，利用物品相似度矩阵和用户打过分的物品记录就可以对一个用户进行推荐评分：

基于用户的协同算法与基于物品的协同算法原理类似，只不过基于物品的协同是用户U购买了A物品，会计算经常有哪些物品与A一起购买（也即相似度），然后推荐给用户U这些与A相似的物品。而基于用户的协同则是先计算用户的相似性（通过计算这些用户购买过的相同的物品），然后将这些相似用户购买过的物品推荐给用户U。

基于用户的协同过滤算法主要包括两个步骤：

步骤（1）的关键是计算用户的兴趣相似度，主要是利用用户的行为相似度计算用户相似度。给定用户 u 和 v，N(u) 表示用户u曾经有过正反馈（譬如购买）的物品集合，N(v) 表示用户 v 曾经有过正反馈的物品集合。那么我们可以通过如下的 Jaccard 公式简单的计算 u 和 v 的相似度：

或通过余弦相似度：

得到用户之间的相似度之后，UserCF算法会给用户推荐和他兴趣最相似的K个用户喜欢的物品。如下的公式度量了UserCF算法中用户 u 对物品 i 的感兴趣程度：

首先回顾一下UserCF算法和ItemCF算法的推荐原理：UserCF给用户推荐那些和他有共同兴趣爱好的用户喜欢的物品， 而ItemCF给用户推荐那些和他之前喜欢的物品具有类似行为的物品。

（1）从推荐场景考虑
首先从场景来看，如果用户数量远远超过物品数量，如购物网站淘宝，那么可以考虑ItemCF，因为维护一个非常大的用户关系网是不容易的。其次，物品数据一般较为稳定，因此物品相似度矩阵不必频繁更新，维护代价较小。

UserCF的推荐结果着重于反应和用户兴趣相似的小群体的热点，而ItemCF的推荐结果着重于维系用户的历史兴趣。换句话说，UserCF的推荐更社会化，反应了用户所在小型兴趣群体中物品的热门程度，而ItemCF的推荐更加个性化，反应了用户自己的个性传承。因此UserCF更适合新闻、微博或微内容的推荐，而且新闻内容更新频率非常高，想要维护这样一个非常大而且更新频繁的表无疑是非常难的。

在新闻类网站中，用户的兴趣爱好往往比较粗粒度，很少会有用户说只看某个话题的新闻，而且往往某个话题也不是每天都会有新闻。 个性化新闻推荐更强调新闻热点，热门程度和时效性是个性化新闻推荐的重点，个性化是补充，所以 UserCF 给用户推荐和他有相同兴趣爱好的人关注的新闻，这样在保证了热点和时效性的同时，兼顾了个性化。

（2）从系统多样性（也称覆盖率，指一个推荐系统能否给用户提供多种选择）方面来看，ItemCF的多样性要远远好于UserCF，因为UserCF更倾向于推荐热门物品。而ItemCF具有较好的新颖性，能够发现长尾物品。所以大多数情况下，ItemCF在精度上较小于UserCF，但其在覆盖率和新颖性上面却比UserCF要好很多。

在介绍本节基于矩阵分解的隐语义模型之前，让我们先来回顾一下传统的矩阵分解方法SVD在推荐系统的应用吧。

基于SVD矩阵分解在推荐中的应用可分为如下几步：

SVD在计算前会先把评分矩阵 A 缺失值补全，补全之后稀疏矩阵 A 表示成稠密矩阵，然后将分解成 A' = U∑V T 。但是这种方法有两个缺点：（1）补成稠密矩阵后需要耗费巨大的储存空间，对这样巨大的稠密矩阵进行储存是不现实的；（2）SVD的计算复杂度很高，对这样大的稠密矩阵中进行计算式不现实的。因此，隐语义模型就被发明了出来。

更详细的SVD在推荐系统的应用可参考 奇异值分解SVD简介及其在推荐系统中的简单应用 。

隐语义模型（Latent Factor Model）最早在文本挖掘领域被提出，用于找到文本的隐含语义。相关的算法有LSI，pLSA，LDA和Topic Model。本节将对隐语义模型在Top-N推荐中的应用进行详细介绍，并通过实际的数据评测该模型。

隐语义模型的核心思想是通过隐含特征联系用户兴趣和物品。让我们通过一个例子来理解一下这个模型。

现有两个用户，用户A的兴趣涉及侦探小说、科普图书以及一些计算机技术书，而用户B的兴趣比较集中在数学和机器学习方面。那么如何给A和B推荐图书呢？

我们可以对书和物品的兴趣进行分类。对于某个用户，首先得到他的兴趣分类，然后从分类中挑选他可能喜欢的物品。简言之，这个基于兴趣分类的方法大概需要解决3个问题：

对于第一个问题的简单解决方案是找相关专业人员给物品分类。以图书为例，每本书出版时，编辑都会给出一个分类。但是，即使有很系统的分类体系，编辑给出的分类仍然具有以下缺点：（1）编辑的意见不能代表各种用户的意见；（2）编辑很难控制分类的细粒度；（3）编辑很难给一个物品多个分类；（4）编辑很难给一个物品多个分类；（5）编辑很难给出多个维度的分类；（6）编辑很难决定一个物品在某一个类别中的权重。

为了解决上述问题，研究员提出可以从数据出发，自动找到那些分类，然后进行个性化推荐。隐语义模型由于采用基于用户行为统计的自动聚类，较好地解决了上面提出的5个问题。

LFM将矩阵分解成2个而不是3个：

推荐系统中用户和物品的交互数据分为显性反馈和隐性反馈数据。隐式模型中多了一个置信参数，具体涉及到ALS（交替最小二乘法，Alternating Least Squares）中对于隐式反馈模型的处理方式——有的文章称为“加权的正则化矩阵分解”：

一个小细节：在隐性反馈数据集中，只有正样本（正反馈）没有负反馈（负样本），因此如何给用户生成负样本来进行训练是一个重要的问题。Rong Pan在其文章中对此进行了探讨，对比了如下几种方法：

用户行为很容易用二分图表示，因此很多图算法都可以应用到推荐系统中。基于图的模型（graph-based model）是推荐系统中的重要内容。很多研究人员把基于领域的模型也称为基于图的模型，因为可以把基于领域的模型看作基于图的模型的简单形式。

在研究基于图的模型之前，需要将用户行为数据表示成图的形式。本节的数据是由一系列用户物品二元组 (u, i) 组成的，其中 u 表示用户对物品 i 产生过行为。

令 G(V, E) 表示用户物品二分图，其中 V=V U UV I 由用户顶点 V U 和物品节点 V I 组成。对于数据集中每一个二元组 (u, i) ，图中都有一套对应的边 e(v u , v i )，其中 v u ∈V U 是用户对应的顶点，v i ∈V I 是物品i对应的顶点。如下图是一个简单的物品二分图，其中圆形节点代表用户，方形节点代表物品，用户物品的直接连线代表用户对物品产生过行为。比如下图中的用户A对物品a、b、d产生过行为。

度量图中两个顶点之间相关性的方法很多，但一般来说图中顶点的相关性主要取决于下面3个因素：

而相关性高的一对顶点一般具有如下特征：

举个例子，如下图，用户A和物品c、e没有边直连，但A可通过一条长度为3的路径到达c，而Ae之间有两条长度为3的路径。那么A和e的相关性要高于顶点A和c，因而物品e在用户A的推荐列表中应该排在物品c之前，因为Ae之间有两条路径。其中，（A,b,C,e）路径经过的顶点的出度为（3，2，2，2），而 (A,d,D,e) 路径经过了一个出度比较大的顶点D，所以 (A,d,D,e) 对顶点A与e之间相关性的贡献要小于（A,b,C,e）。

基于上面3个主要因素，研究人员设计了很多计算图中顶点相关性的方法，本节将介绍一种基于随机游走的PersonalRank算法。

假设要给用户u进行个性化推荐，可以从用户u对应的节点 v u 开始在用户物品二分图上进行随机游走。游走到任一节点时，首先按照概率α决定是继续游走还是停止这次游走并从 v u 节点重新开始游走。若决定继续游走，则从当前节点指向的节点中按照均匀分布随机选择一个节点作为游走下次经过的节点。这样，经过很多次随机游走后，每个物品被访问到的概率会收敛到一个数。最终的推荐列表中物品的权重就是物品节点的访问概率。

上述算法可以表示成下面的公式：

虽然通过随机游走可以很好地在理论上解释PersonalRank算法，但是该算法在时间复杂度上有明显的缺点。因为在为每个用户进行推荐时，都需要在整个用户物品二分图上进行迭代，知道所有顶点的PR值都收敛。这一过程的时间复杂度非常高，不仅无法在线进行实时推荐，离线计算也是非常耗时的。

有两种方法可以解决上面PersonalRank时间复杂度高的问题：
（1）减少迭代次数，在收敛之前停止迭代。但是这样会影响最终的精度。

（2）从矩阵论出发，重新涉及算法。另M为用户物品二分图的转移概率矩阵，即：

网络社交是当今社会非常重要甚至可以说是必不可少的社交方式，用户在互联网上的时间有相当大的一部分都用在了社交网络上。

当前国外最着名的社交网站是Facebook和Twitter，国内的代表则是微信/QQ和微博。这些社交网站可以分为两类：

需要指出的是，任何一个社交网站都不是单纯的社交图谱或兴趣图谱。如QQ上有些兴趣爱好群可以认识不同的陌生人，而微博中的好友也可以是现实中认识的。

社交网络定义了用户之间的联系，因此可以用图定义社交网络。我们用图 G(V,E,w) 定义一个社交网络，其中V是顶点集合，每个顶点代表一个用户，E是边集合，如果用户va和vb有社交网络关系，那么就有一条边 e(v a , v b ) 连接这两个用户，而 w(v a , v b )定义了边的权重。一般来说，有三种不同的社交网络数据：

和一般购物网站中的用户活跃度分布和物品流行度分布类似，社交网络中用户的入度（in degree，表示有多少人关注）和出度（out degree，表示关注多少人）的分布也是满足长尾分布的。即大部分人关注的人都很少，被关注很多的人也很少。

给定一个社交网络和一份用户行为数据集。其中社交网络定义了用户之间的好友关系，而用户行为数据集定义了不同用户的历史行为和兴趣数据。那么最简单的算法就是给用户推荐好友喜欢的物品集合。即用户u对物品i的兴趣 p ui 可以通过如下公式计算。

用户u和用户v的熟悉程度描述了用户u和用户在现实社会中的熟悉程度。一般来说，用户更加相信自己熟悉的好友的推荐，因此我们需要考虑用户之间的熟悉度。下面介绍3中衡量用户熟悉程度的方法。

（1）对于用户u和用户v，可以使用共同好友比例来计算他们的相似度：

上式中 out(u) 可以理解为用户u关注的用户合集，因此 out(u) ∩ out(v) 定义了用户u、v共同关注的用户集合。

（2）使用被关注的用户数量来计算用户之间的相似度，只要将公式中的 out(u) 修改为 in(u)：

in(u) 是指关注用户u的集合。在无向社交网络中，in(u)和out(u)是相同的，而在微博这种有向社交网络中，这两个集合的含义就不痛了。一般来说，本方法适合用来计算微博大V之间的相似度，因为大v往往被关注的人数比较多；而方法（1）适用于计算普通用户之间的相似度，因为普通用户往往关注行为比较丰富。

（3）除此之外，还可以定义第三种有向的相似度：这个相似度的含义是用户u关注的用户中，有多大比例也关注了用户v：

这个相似度有一个缺点，就是在该相似度下所有人都和大v有很大的相似度，这是因为公式中的分母并没有考虑 in(v) 的大小，所以可以把 in(v) 加入到上面公式的分母，来降低大v与其他用户的相似度：

上面介绍了3种计算用户之间相似度（或称熟悉度）的计算方法。除了熟悉程度，还需要考虑用户之间的兴趣相似度。我们和父母很熟悉，但很多时候我们和父母的兴趣确不相似，因此也不会喜欢他们喜欢的物品。因此，在度量用户相似度时，还需要考虑兴趣相似度，而兴趣相似度可以通过和UserCF类似的方法度量，即如果两个用户喜欢的物品集合重合度很高，两个用户的兴趣相似度很高。

最后，我们可以通过加权的形式将两种权重合并起来，便得到了各个好有用户的权重了。

有了权重，我们便可以针对用户u挑选k个最相似的用户，把他们购买过的物品中，u未购买过的物品推荐给用户u即可。打分公式如下：

其中 w' 是合并后的权重，score是用户v对物品的打分。

node2vec的整体思路分为两个步骤：第一个步骤是随机游走（random walk），即通过一定规则随机抽取一些点的序列；第二个步骤是将点的序列输入至word2vec模型从而得到每个点的embedding向量。

随机游走在前面基于图的模型中已经介绍过，其主要分为两步：（1）选择起始节点；（2）选择下一节点。起始节点选择有两种方法：按一定规则抽取一定量的节点或者以图中所有节点作为起始节点。一般来说会选择后一种方法以保证所有节点都会被选取到。

在选择下一节点方法上，最简单的是按边的权重来选择，但在实际应用中需要通过广度优先还是深度优先的方法来控制游走范围。一般来说，深度优先发现能力更强，广度优先更能使社区内（较相似）的节点出现在一个路径里。

斯坦福大学Jure Leskovec教授给出了一种可以控制广度优先或者深度优先的方法。

以上图为例，假设第一步是从t随机游走到v，这时候我们要确定下一步的邻接节点。本例中，作者定义了p和q两个参数变量来调节游走，首先计算其邻居节点与上一节点t的距离d，根据下面的公式得到α：

一般从每个节点开始游走5~10次，步长则根据点的数量N游走根号N步。如此便可通过random walk生成点的序列样本。

得到序列之后，便可以通过word2vec的方式训练得到各个用户的特征向量，通过余弦相似度便可以计算各个用户的相似度了。有了相似度，便可以使用基于用户的推荐算法了。

推荐系统需要根据用户的历史行为和兴趣预测用户未来的行为和兴趣，因此大量的用户行为数据就成为推荐系统的重要组成部分和先决条件。如何在没有大量用户数据的情况下设计个性化推荐系统并且让用户对推荐结果满意从而愿意使用推荐系统，就是冷启动问题。

冷启动问题主要分为三类：

针对用户冷启动，下面给出一些简要的方案：
（1）有效利用账户信息。利用用户注册时提供的年龄、性别等数据做粗粒度的个性化；
（2）利用用户的社交网络账号登录（需要用户授权），导入用户在社交网站上的好友信息，然后给用户推荐其好友喜欢的物品；
（3）要求用户在登录时对一些物品进行反馈，手机用户对这些物品的兴趣信息，然后给用推荐那些和这些物品相似的物品；
（4）提供非个性化推荐。非个性化推荐的最简单例子就是热门排行榜，我们可以给用户推荐热门排行榜，然后等到用户数据收集到一定的时候，在切换为个性化推荐。

对于物品冷启动，可以利用新加入物品的内容信息，将它们推荐给喜欢过和他们相似的物品的用户。

对于系统冷启动，可以引入专家知识，通过一定高效的方式快速建立起物品的相关度表。

在上面介绍了一些推荐系统的基础算法知识，这些算法大都是比较经典且现在还在使用的。但是需要注意的是，在实践中，任何一种推荐算法都不是单独使用的，而是将多种推荐算法结合起来，也就是混合推荐系统，但是在这里并不准备介绍，感兴趣的可以查阅《推荐系统》或《推荐系统与深度学习》等书籍。此外，在推荐中非常重要的点击率模型以及基于矩阵的一些排序算法在这里并没有提及，感兴趣的也可自行学习。

虽然现在用的很多算法都是基于深度学习的，但是这些经典算法能够让我们对推荐系统的发展有一个比较好的理解，同时，更重要的一点——“推陈出新”，只有掌握了这些经典的算法，才能提出或理解现在的一些更好地算法。

❷ 推荐系统产品和算法概述丨产品杂谈系列

本文主要是对最近所学的推荐系统的总结，将会简单概述非个性化范式、群组个性化范式、完全个性化范式、标的物关联标的物范式、笛卡尔积范式等5种常用的推荐范式的设计思路。

许多产品的推荐算法都依赖于三类数据：标的物相关的描述信息（如推荐鞋子，则包括鞋子的版型、适用对象、材质等信息、用户画像数据（指的是用户相关数据，如性别、年龄、收入等）、用户行为数据（例如用户在淘宝上的浏览、收藏、购买等）。这三类数据是推荐模型的主要组成部分，除此之外一些人工标注的数据（例如为商品人工打上标签）、第三方数据也能够用于补充上述的三类数据。

服务端在有以上数据的基础上，就可以从三个维度进行推荐：

根据个性化推荐的颗粒度，我们可以将基于用户维度的推荐分为非个性化推荐、群组个性化推荐及完全个性化推荐三种类型。

非个性化推荐指的是每个用户看到的推荐内容都是一样的 在互联网产品中，我们最常见的非个性化推荐的例子是各种排行榜，如下图是酷狗音乐的排行榜推荐，通过各个维度计算各类榜单，不管是谁看到这个榜单，上面的排序和内容都是一致的。

群组个性化推荐指的是将具有相同特征的用户聚合成一组，同一组用户在某些方面具备相似性，系统将为这一组用户推荐一样的内容 。这种推荐方式是很多产品进行用户精细化运营时会采用的方式，通过用户画像系统圈定一批批用户，并对这批用户做统一的运营。例如音乐软件的推荐播放，若以摇滚乐为基准将一批用户聚合成组，则为这些用户提供的每日推荐歌单是相同的内容和顺序，但与另一组爱听民谣的用户相比，两组用户看到的每日推荐内容将是不同的。

完全个性化指的是为每个用户推荐的内容都不一样，是根据每一位用户的行为及兴趣来为用户做推荐，是当今互联网产品中最常用的一种推荐方式 。大多数情况下我们所说的推荐就是指这种形式的推荐，例如淘宝首页的“猜你喜欢”就是一个完全个性化的推荐，千人千面，每个人看到的推荐尚品都不一样。

完全个性化可以只基于用户行为进行推荐，在构建推荐算法时只考虑到用户个人的特征和行为 ，不需要考虑其他用户，这也是最常见的内容推荐方式。除此之外， 还可以基于群组行为进行完全个性化推荐，除了利用用户自身的行为外，还依赖于其他用户的行为构建推荐算法模型 。例如，用户属性和行为相似的一群用户，其中90%的用户买了A商品后也买了B商品，则当剩下的10%用户单独购买B商品时，我们可以为该用户推荐商品A。

基于群组行为进行的完全个性化推荐可以认为是全体用户的协同进化，常见的协同过滤、基于模型的推荐等都属于这类推荐形式。

基于标的物的推荐指的是用户在访问标的物详情页或者退出标的物详情页时，可以根据标的物的描述信息为用户推荐一批相似的或者相关的标的物，对应的是最开始提到的“标的物关联标的物范式” 。如下图酷狗的相似歌曲推荐，

除了音乐产品外，视频网站、电商、短视频等APP都大量使用基于标的物维度的推荐。如下图便是YouTube基于标的物关联标的物的推荐。在YouTube上我观看一个周杰伦的音乐视频时，YouTube在该页面下方为我推荐更多与周杰伦有关的视频。

基于用户和标的物交叉维度的推荐指的是将用户维度和标的物维度结合起来，不同用户访问同一标的物的详情页时看到的推荐内容也不一样，对应的是开头提到的笛卡尔积推荐范式。 拿酷狗音乐对相似歌曲的推荐来举例，如果该推荐采用的是用户和标的物交叉维度的推荐的话，不同用户看到的“没有理想的人不伤心”这首歌曲，下面的相似歌曲是不一样的。拿淘宝举例的话，一样是搜索“裤子”这一关键词，不同的人搜索得到的搜索结果和排序是不同的，可能用户A搜索出来优先展示的是牛仔裤，而用户B优先展示的是休闲裤，淘宝将结合搜索关键词与用户个人的历史行为特征展示对应的搜索结果和排序。

对于基于笛卡尔积推荐范式设计的推荐系统来说，由于每个用户在每个标的物上的推荐列表都不一样，我们是没办法是先将所有组合计算出来并储存（组合过多，数量是非常巨大的），因此对于系统来说，能否在用户请求的过程中快速地为用户计算个性化推荐的标的物列表将会是一个比较大的挑战，对于整个推荐系统的架构也有更高的要求，因此在实际应用中，该种推荐方式用的比较少。

非个性化范式指的是为所有用户推荐一样的标的物列表，常见的各种榜单就是基于此类推荐规则，如电商APP中的新品榜、畅销榜等。排行榜就是基于某个规则来对标的物进行排序，将排序后的部分标的物推荐给用户。例如新品榜是按照商品上架的时间顺序来倒序排列，并将排序在前列的产品推荐给用户。而畅销榜则是按照商品销量顺序降序排列，为用户推荐销量靠前的商品。

根据具体的产品和业务场景，即使同样是非个性化范式推荐，在具体实施时也可能会比较复杂。例如在电商APP中畅销榜的推荐可能还会将地域、时间、价格等多个维度纳入考虑范围内，基于每个维度及其权重进行最终的排序推荐。

大部分情况下，非个性化范式推荐可以基于简单的计数统计来生成推荐，不会用到比较复杂的机器学习算法，是一种实施门槛较低的推荐方式。基于此，非个性化范式推荐算法可以作为产品冷启动或者默认的推荐算法。

完全个性化范式是目前的互联网产品中最常用的推荐模式，可用的推荐方法非常多。下面对常用的算法进行简单梳理。

该推荐算法只需要考虑到用户自己的历史行为而不需要考虑其他用户的行为，其核心思想是：标的物是有描述属性的，用户对标的物的操作行为为用户打上了相关属性的烙印，这些属性就是用户的兴趣标签，那么我们就可以基于用户的兴趣来为用户生成推荐列表。还是拿音乐推荐来举例子，如果用户过去听了摇滚和民谣两种类型的音乐，那么摇滚和民谣就是这个用户听歌时的偏好标签，此时我们就可以为该用户推荐更多的摇滚类、民谣类歌曲。

基于内容的个性化推荐在实操中有以下两类方式。

第一种是基于用户特征标识的推荐。
标的物是有很多文本特征的，例如标签、描述信息等，我们可以将这些文本信息基于某种算法转化为特征向量。有了标的物的特征向量后，我们可以将用户所有操作过的标的物的特征向量基于时间加权平均作为用户的特征向量，并根据用户特征向量与标的物特征向量的乘积来计算用户与标的物的相似度，从而计算出该用户的标的物推荐列表。

第二种是基于倒排索引查询的推荐。
如果我们基于标的物的文本特征（如标签）来表示标的物属性，那么基于用户对该标的物的历史行为，我们可以构建用户画像，该画像即是用户对于各个标签的偏好，并且对各个标签都有相应的偏好权重。

在构建完用户画像后，我们可以基于标签与标的物的倒排索引查询表，以标签为关键词，为用户进行个性化推荐。

举个粗暴的例子，有歌曲A、B、C分别对应摇滚、民谣、古风三个音乐标签，我听了歌曲A、B，则在我身上打了摇滚和民谣的标签，又基于我听这两个歌曲的频率，计算了我对“摇滚”和“民谣”的偏好权重。
在倒排索引查询表中，摇滚和民谣又会分别对应一部分歌曲，所以，可以根据我对摇滚和民谣的偏好权重从查询表中筛选一部分歌曲并推荐给我。

基于倒排索引查询的推荐方式是非常自然直观的，只要用户有一次行为，我们就可以据此为用户进行推荐。但反过来，基于用户兴趣给用户推荐内容，容易局限推荐范围，难以为用户推荐新颖的内容。

基于协同过滤的推荐算法，核心思想是很朴素的”物以类聚、人以群分“的思想。所谓物以类聚，就是计算出每个标的物最相似的标的物列表，我们就可以为用户推荐用户喜欢的标的物相似的标的物，这就是基于物品的协同过滤。所谓人以群分，就是我们可以将与该用户相似的用户喜欢过的标的物(而该用户未曾操作过)的标的物推荐给该用户，这就是基于用户的协同过滤。

常见的互联网产品中，很多会采用基于标的物的协同过滤，因为相比之下用户的变动概率更大，增长速度可能较快，这种情况下，基于标的物的协同过滤算法将会更加的稳定。

协同过滤算法思路非常简单直观，也易于实现，在当今的互联网产品中应用广泛。但协同过滤算法也有一些难以避免的问题，例如产品的冷启动阶段，在没有用户数据的情况下，没办法很好的利用协同过滤为用户推荐内容。例如新商品上架时也会遇到类似的问题，没有收集到任何一个用户对其的浏览、点击或者购买行为，也就无从基于人以群分的概念进行商品推荐。

基于模型的推荐算法种类非常多，我了解到的比较常见的有迁移学习算法、强化学习算法、矩阵分解算法等，且随着近几年深度学习在图像识别、语音识别等领域的进展，很多研究者和实践者也将其融入到推荐模型的设计当中，取得了非常好的效果。例如阿里、京东等电商平台，都是其中的佼佼者。

由于该算法涉及到比较多的技术知识，在下也处于初步学习阶段，就不班门弄斧做过多介绍了，有兴趣的朋友可以自行进行学习。

群组个性化推荐的第一步是将用户分组，因此，采用什么样的分组原则就显得尤为重要。常见的分组方式有两种。

先基于用户的人口统计学数据（如年龄、性别等）或者用户行为数据（例如对各种不同类型音乐的播放频率）构建用户画像。用户画像一般用于做精准的运营，通过显示特征将一批人圈起来形成同一组，对这批人做针对性的运营。因为前头已经提到此算法，这里不再重复介绍。

聚类是非常直观的一种分组思路，将行为偏好相似的用户聚在一起成为一个组，他们有相似的兴趣。常用的聚类策略有如下两类。

标的物关联标的物就是为每个标的物推荐一组标的物。该推荐算法的核心是怎么从一个标的物关联到其他的标的物。这种关联关系可以是相似的（例如嘉士伯啤酒和喜力啤酒），也可以是基于其他维度的关联（例如互补品，羽毛球拍和羽毛球）。常用的推荐策略是相似推荐。下面给出3种常用的生成关联推荐的策略。

这类推荐方式一般是利用已知的数据和标的物信息来描述一个标的物，通过算法的方式将其向量化，从而根据不同标的物向量之间的相似度来急速标的物之间的相似度，从而实现相识标的物的推荐。

在一个成熟的产品中，我们可以采集到的非常多的用户行为，例如在电商平台中，我们可以手机用户搜索、浏览、收藏、点赞等行为，这些行为就代表了用户对某个标的物的某种偏好，因此，我们可以根据用户的这些行为来进行关联推荐。

例如，可以将用户的行为矩阵分解为用户特征矩阵和物品特征矩阵，物品特征矩阵可以看成是衡量物品的一个向量，利用该向量我们就可以计算两个标的物之间的相似度了，从而为该用户推荐相似度高的其他产品。

再例如， 采用购物篮的思路做推荐，这种思路非常适合图书、电商等的推荐 。 以电商为例，我们可以把用户经常一起浏览(或者购买)的商品形成一个列表，将过去一段时间所有的列表收集起来。对于任何一个商品，我们都可以找到与它一起被浏览或者购买的其他商品及其次数，并根据次数来判断其关联性，从而进行关联推荐。

我们可以对用户进行分组，同样，我们也能够对标的物进行聚类分组。通过某位参考维度，我们将一些列具有相似性的标的物分成一组，当我们为用户进行推荐的时候，便可以将同一组内的其他标的物作为推荐对象，推荐给用户。

笛卡尔积范式的推荐算法一般是先采用标的物关联标的物范式计算出待推荐的标的物列表。再根据用户的兴趣来对该推荐列表做调整（例如根据不同兴趣的权重重新调整推荐列表的排序）、增加（例如基于个性化增加推荐对象）、删除（例如过滤掉已经看过的），由于其复杂程度较高在实际业务场景中应用较少，这边不再详细介绍。

好了，本次的介绍就到此为止了。本次主要是做了一个非常简单的推荐算法概述，在实际的业务场景中，还经常需要与产品形态或者更多的未读（如时间、地点等）相结合，是一个很有意思的领域，有兴趣的朋友可以进一步了解。

❸ 高等数学三重积分

这是二重积分

❹ 向大家请教矩阵的奇异值分解的具体算法

schmit正交化方法，你上网查吧，实在打不出来，线性代数任何一本教材中应该都有的

❺ 矩阵分解的奇异值分解法

奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V分别代表两个正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。
MATLAB以svd函数来执行svd分解法， 其语法为[S,V,D]=svd(A)。

❻ 正定矩阵因子分解法（PMF）

3.2.4.1 方法建立

就全国范围而言，我国地下水质量总体较好，根据国家《地下水质量标准》（GB/T 14848—93），我国63%的地区地下水可直接饮用，17%经适当处理后可供饮用，12%不宜饮用，剩余8%为天然的咸水和盐水，由此可见，不宜饮用的地下水和天然咸水、盐水占到了20%，对于这些地下水型水源地饮用水指标并不一定受到污染而存在超标现象，其水质可能受到地下水形成演化影响更为明显，因此，考虑选择反映地下水形成、演化的地下水水化学类型常规指标，进行影响因素解析。地下水水质指标在取样与分析过程中，由于取样和样品处理、试剂和水纯度、仪器量度和仪器洁净、采用的分析方法、测定过程以及数据处理等过程均会产生测量误差（系统误差，随机误差，过失误差）。从取样到分析结果计算误差都绝对存在，虽然在各个过程中进行质量控制，但无法完全消除不确定性的影响，为确保分析结果的可靠性，采用PMF法对地下水水质指标考虑一定的不确定性误差，使分析数据能够准确地反映实际情况。

PMF（Positive Matrix Factorization）与主成分分析（PCA）、因子分析（FA）都是利用矩阵分解来解决实际问题的分析方法，在这些方法中，原始的大矩阵被近似分解为低秩的V＝WH形式。但PMF与PCA和FA不同，PCA、FA方法中因子W和H中的元素可为正或负，即使输入的初始矩阵元素全是正的，传统的秩削减算法也不能保证原始数据的非负性。在数学上，从计算的观点看，分解结果中存在负值是正确的，但负值元素在实际问题中往往是没有意义的。PMF是在矩阵中所有元素均为非负数约束条件之下的矩阵分解方法，在求解过程中对因子载荷和因子得分均做非负约束，避免矩阵分解的结果中出现负值，使得因子载荷和因子得分具有可解释性和明确的物理意义。PMF使用最小二乘方法进行迭代运算，能够同时确定污染源谱和贡献，不需要转换就可以直接与原始数据矩阵作比较，分解矩阵中元素非负，使得分析的结果明确而易于解释，可以利用不确定性对数据质量进行优化，是美国国家环保局（EPA）推荐的源解析工具。

3.2.4.2 技术原理

PMF：模型是一种基于因子分析的方法，具有不需要测量源指纹谱、分解矩阵中元素非负、可以利用数据标准偏差来进行优化等优点。目前PMF模型此方法成功用于大气气溶胶、土壤和沉积物中持久性有毒物质的源解析，已有成熟的应用模型 PMF1.1，PMF2.0，PMF3.0等。PMF模型基本方程为：

X_nm＝G_npF_pm+E （3.7）

式中：n——取样点数；

m——各取样点测试的成分数量；

p——污染源个数；

X_nm——取样点各成分含量；

G_np——主要源的贡献率；

F_pm——源指纹图谱。

基本计算过程如下：

1）样品数据无量纲化，无量纲化后的样品数据矩阵用D表示。

2）协方差矩阵求解，为计算特征值和特征向量，可先求得样品数据的协方差矩阵，用D′为D的转置，算法为：

Z＝DD′ （3.8）

3）特征值及特征向量求解，用雅各布方法可求得协方差矩阵Z的特征值矩阵E和特征向量矩阵Q，Q′表示Q的转置。这时，协方差矩阵可表示为：

Z＝QEQ′ （3.9）

4）主要污染源数求解，为使高维变量空间降维后能尽可能保留原来指标信息，利用累计方差贡献率提取显着性因子，判断条件为：

地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例

式中：n——显着性因子个数；

m——污染物个数；

λ——特征值。

5）因子载荷矩阵求解，提取显着性因子后，利用求解得到的特征值矩阵E和特征向量矩阵Q进一步求得因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C，这时，因子载荷矩阵可表示为：

S＝QE^1/2 （3.11）

因子得分矩阵可表示为：

C＝（S′S）^-1S′D （3.12）

6）非负约束旋转，由步骤5求得的因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C分别对应主要污染源指纹图谱和主要污染源贡献，为解决其值可能为负的现象，需要做非负约束的旋转。

7）首先利用转换矩阵T₁对步骤5求得的因子载荷矩阵S和因子得分矩阵C按下式进行旋转：

地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例

C₁＝T₁C （3.14）

式中：S₁——旋转后的因子载荷矩阵；

C₁——旋转后的因子得分矩阵；

T₁——转换矩阵，且T₁＝（C^∗C′）（C^∗C′）^-1（其中：C^∗为把C中的负值替换为零后的因子得分矩阵）。

8）利用步骤7中旋转得到的因子载荷矩阵S₁构建转换矩阵T₂对步骤5中旋转得到的因子载荷矩阵S₁和因子得分矩阵C₁继续旋转：

S₂＝S₁T₂ （3.15）

地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例

式中：S₂——二次旋转后的因子载荷矩阵；

C₂——二次旋转后的因子得分矩阵；

T₂——二次转换矩阵，且T₂＝（S′₁+S₁）^-1（S′₁+

）（其中：

为S₁中的负值换为零后的因子载荷矩阵）。

9）：重复步骤7、8，直到因子载荷中负值的平方和小于某一设定的误差精度e而终止，最终得到符合要求的因子载荷矩阵S，即主要污染源指纹图谱。

3.2.4.3 方法流程

针对受体采样数据直接进行矩阵分解，得到各污染源组分及其贡献率的统计方法（图3.5）。

图3.5 方法流程图

（1）缺失值处理

正定矩阵因子分析是基于多元统计的分析方法，对数据有效性具有一定的要求，因此在进行分析之前首先对数据进行预处理。根据已有数据的特征结合实际情况主要有以下5种处理方法。

1）采样数据量充足的情况下直接丢弃含缺失数据的记录。

2）存在部分缺失值情况下用全局变量或属性的平均值来代替所有缺失数据。把全局变量或是平均值看作属性的一个新值。

3）先根据欧式距离或相关分析来确定距离具有缺失数据样本最近的K个样本，将这K个值加权平均来估计该样本的缺失数据。

4）采用预测模型来预测每一个缺失数据。用已有数据作为训练样本来建立预测模型，如神经网络模型预测缺失数据。该方法最大限度地利用已知的相关数据，是比较流行的缺失数据处理技术。

5）对低于数据检测限的数据可用数据检测限值或1/2检测限以及更小比例检测限值代替。

（2）不确定性处理

计算数据不确定性。

地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例

式中：s——误差百分数；

c——指标浓度值；

l——因子数据检出限。

（3）数据合理性分析

本研究所用数据在放入模型前以信噪比S/N（Signal to Noise）作为标准进行筛选，信噪比S/N为：

地下水型饮用水水源地保护与管理：以吴忠市金积水源地为例

式中：x_ij——第i采样点第j个样品的浓度；

s_ij——第i采样点第j个样品的标准偏差。

信噪比小，说明样品的噪声大，信噪比越大则表示样品检出的可能性越大，越适合模型。

（4）数据输入及因子分析

与其他因子分析方法一样，PMF不能直接确定因子数目。确定因子数目的一般方法是尝试多次运行软件，根据分析结果和误差，Q值以及改变因子数目时Q值的相对变化等来确定合理的因子数目。

3.2.4.4 适用范围

PMF对污染源和贡献施加了非负限制，并考虑了原始数据的不确定性，对数据偏差进行了校正，使结果更具有科学的解释。PMF使用最小二乘方法，得到的污染源不需要转换就可以直接与原始数据矩阵作比较，PMF方法能够同时确定污染源和贡献，而不需要事先知道源成分谱。适用于水文地质条件简单，观测数据量较大，污染源和污染种类相对较少的地区，运用简便，可应用分析软件进行计算。

3.2.4.5 NMF 源解析

NMF在实现上较PMF算法简单易行，非负矩阵分解根据目的的不同大致可以分为两种：一是在保证数据某些性质的基础上，将高维空间的样本点映射到某个低维空间上，除去一些不重要的细节，获得原数据的本质信息；二是在从复杂混乱的系统中得到混合前的独立信息的种类和强度。因此，基于非负矩阵分解过程应用领域的不同，分解过程所受的约束和需要保留的性质都不相同。本书尝试性地将NMF算法应用于水质影响因素的分离计算中（表3.2）。

表3.2 RMF矩阵分解权值表

依照非负矩阵分解理论的数学模型，寻找到一个分解过程V≈WH，使WH和V无限逼近，即尽可能缩小二者的误差。在确保逼近的效果，定义一个相应的衡量标准，这个衡量标准就叫作目标函数。目标函数一般采用欧氏距离和散度偏差来表示。在迭代过程中，采用不同的方法对矩阵W和H进行初始化，得到的结果也会不同，算法的性能主要取决于如何对矩阵W和H进行初始化。传统的非负矩阵算法在对矩阵W和H赋初值时采用随机方法，这样做虽然简单并且容易实现，但实验的可重复性以及算法的收敛速度是无法用随机初始化的方法来控制的，所以这种方法并不理想。许多学者提出改进W和H的初始化方法，并发展出专用性比较强的形式众多的矩阵分解算法，主要有以下几种：局部非负矩阵分解（Local Non-negative Matrix Factorization，LNMF）、加权非负矩阵分解（Weighted Non-negative Matrix Factorization，WNMF）、Fisher非负矩阵分解（Fisher Non-negative Matrix Factorization，FNMF）、稀疏非负矩阵分解（Sparse Non-negative Matrix Factorization，SNMF）、受限非负矩阵分解（Constrained Non-negative Matrix Factorization，CNMF）、非平滑非负矩阵分解（Non-smooth Non-negative Matrix Factorization，NSNMF）、稀疏受限非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization with Sparseness Constraints，NMF-SC）等理论方法，这些方法针对某一具体应用领域对NMF算法进行了改进。

本书尝试应用MATLAB工具箱中NNMF程序与改进的稀疏非负矩阵分解（SNMF）对研究区11项指标（同PMF数据）进行分解，得到各元素在综合成分中的得分H，初始W₀，H₀采用随机法取初值。r为分解的基向量个数，合适的r取值主要根据试算法确定，改变r值观察误差值变化情况，本书利用SMNF算法计算时，r分别取2，3，4，采用均方误差对迭代结果效果进行评价，结果显示当r取2，4时误差值为0.034，取3时误差值为0.016，因此r＝3是较合理的基向量个数。采用NNMF算法进行计算时，利用MATLAB工具箱提供的两种计算法分别进行计算，乘性法则（Multiplicative Update Algorithm）计算结果误差项比最小二乘法（Alternating Least-squares Algorithm）计算误差值小且稳定，但总体NNMF计算误差较大，改变初始W₀，H₀取值和增加迭代次数误差均未明显减小，调整r取值，随着r值的增大误差逐渐减小。

对比SNMF和NNMF算法所得权值结果，两种方法所得权值趋势一致，但得分值有所不同，由于SNMF算法对矩阵进行了稀疏性约束，计算结果中较小的权值更趋近于0，两次结果中在三个基向量上总体权值较大的元素项为T-Hard、

、Mg²⁺、Ca²⁺、

，从盲源分离的角度来看该几种元素对地下水具有较大的影响，但从地下水水质影响因素来看，该方法对数据的分析偏重于突出局部数据的特征，在各因素相关性较大但含量不高的情况下，容易忽略了关键的影响因素。从权值得分来看，SNMF法解析的第一个基向量上的元素包括EC、T-Hard、NH₄—N、

、

、TDS；第二基向量主要有Na⁺、Mg²⁺、Cl^-；第三个基向量

、Ca²⁺，从结果可以看出该方法进行矩阵分解并未得到可合理解释的源项结果，方法有待进一步研究及验证。

❼ 简要智能阅读中智能推荐的技术原理

智能推荐算法总的来说分为两种：基于内容的推荐算法和协同过滤推荐算法。

基于内容的推荐算法：

根据内容的相似度（静态的东西）进行推荐，内容不好提取的可以采取贴标签的形式来区分计算内容的相似程度。然后根据用户的喜好设置，关注等进行相似内容推荐。

协同过滤推荐算法：

根据动态信息来进行推荐，即推荐的过程是自动的，推荐结果的产生是系统从用户的购买行为或浏览记录等隐式信息拿到的，无需用户通过填表格等方式来明确自己的喜好。因为这些数据都是要读到内存中进行运算的，所以又叫基于内存的协同过滤（Memory-based Collaborative Filtering）,另一种协同过滤算法则是基于模型的协同过滤(Model-based Collaborative Filtering)；m个物品，m个用户的数据，只有部分用户和部分数据之间是有评分数据的，其它部分评分是空白，此时我们要用已有的部分稀疏数据来预测那些空白的物品和数据之间的评分关系，找到最高评分的物品推荐给用户。对于这个问题，用机器学习的思想来建模解决，主流的方法可以分为：用关联算法，聚类算法，分类算法，回归算法，矩阵分解，神经网络,图模型以及隐语义模型来解决。

（https://www.cnblogs.com/chenliyang/p/6548306.html）

而基于内存的协同过滤又有两种：

• 基于user的协同过滤(用户相似度):通过相似用户的喜好来推荐

• 基于item的协同过滤(内容相似度):通过用户对项目的不同评分推荐可能让用户打高评分的项目，是项目之间的相似度。

任何一种单一推荐算法都有缺点，我们在实际项目中，可以采用混合推荐算法，融合以上方法，通过串联并联等融合，构造出自己的一套推荐体系。

❽ 怎么样在真实推荐系统中应用矩阵分解算法

里面有自带的LU分解函数，你可在帮助文档搜索 LU 给你一个我自己写的LU分解函数 function [myl,myu,x]=MYLU(A,b) %依据《现代电力系统分析》编制的LU分解程序。 %matlab自带的lu函数与书上所讲略有不同，不方便参照课本步骤进行后续计算。 %A为待分解的矩阵，myl为分解后下三角矩阵，myu为分解后的上三角矩阵,未考虑单独的对角阵D %clc %A=[5,0,0,5,1;2,1,1,0,0;0,1,2,0,10;1,0,5,1,0;1,1,0,3,10] %两组测试用矩阵方程 %b=[1,3,3,4,1]'; %M=[1,2,1,1;2,1,0,0;1,0,1,0;1,0,0,1] %b=[-1,1,2,0]' %A=[2,3,1;3,7,-1;5,-4,2] %b=[12,13,5]' n=length(A); myl=speye(n); %可以先不分配内存，由系统自动分配内存 myu=speye(n); %==============LU分解================ for i=1:n for j=1:n if (i<j) x=0; for k=1:i-1 x=x+myl(i,k)*myu(k,j); end myu(i,j)=(A(i,j)-x)/myl(i,i); end if(i>=j) x=0; for k=1:j-1 x=x+myl(i,k)*myu(k,j); end myl(i,j)=A(i,j)-x; end end end %B=myl*myu %测试LU分解矩阵，B=A表明结果正确 %===============解方程Ax=b================ y=(zeros(1,n))'; x=(zeros(1,n))'; y(1)=b(1)/myl(1,1);%解Ly=b for i=2:n p=0; for k=1:i-1 p=p+myl(i,k)*y(k); end y(i)=(b(i)-p)/myl(i,i); end %C=(myl*y) %测试Ly=b，如果相等表明结果正确 x(n)=y(n); for i=1:n-1 p=0; for k=n-i+1:n p=p+myu(n-i,k)*x(k); end x(n-i)=y(n-i)-p; end %D=myl*myu*x 里面注释部分可以删除

❾ 矩阵分解在协同过滤推荐算法中的应用

矩阵分解在协同过滤推荐算法中的应用
推荐系统是当下越来越热的一个研究问题，无论在学术界还是在工业界都有很多优秀的人才参与其中。近几年举办的推荐系统比赛更是一次又一次地把推荐系统的研究推向了高潮，比如几年前的Neflix百万大奖赛，KDD CUP 2011的音乐推荐比赛，去年的网络电影推荐竞赛，还有最近的阿里巴巴大数据竞赛。这些比赛对推荐系统的发展都起到了很大的推动作用，使我们有机会接触到真实的工业界数据。我们利用这些数据可以更好地学习掌握推荐系统，这些数据网上很多，大家可以到网上下载。
推荐系统在工业领域中取得了巨大的成功，尤其是在电子商务中。很多电子商务网站利用推荐系统来提高销售收入，推荐系统为Amazon网站每年带来30%的销售收入。推荐系统在不同网站上应用的方式不同，这个不是本文的重点，如果感兴趣可以阅读《推荐系统实践》（人民邮电出版社，项亮）第一章内容。下面进入主题。
为了方便介绍，假设推荐系统中有用户集合有6个用户，即U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}，项目（物品）集合有7个项目，即V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}，用户对项目的评分结合为R，用户对项目的评分范围是[0, 5]。R具体表示如下：

推荐系统的目标就是预测出符号“？”对应位置的分值。推荐系统基于这样一个假设：用户对项目的打分越高，表明用户越喜欢。因此，预测出用户对未评分项目的评分后，根据分值大小排序，把分值高的项目推荐给用户。怎么预测这些评分呢，方法大体上可以分为基于内容的推荐、协同过滤推荐和混合推荐三类，协同过滤算法进一步划分又可分为基于基于内存的推荐（memory-based）和基于模型的推荐（model-based），本文介绍的矩阵分解算法属于基于模型的推荐。
矩阵分解算法的数学理论基础是矩阵的行列变换。在《线性代数》中，我们知道矩阵A进行行变换相当于A左乘一个矩阵，矩阵A进行列变换等价于矩阵A右乘一个矩阵，因此矩阵A可以表示为A=PEQ=PQ（E是标准阵）。
矩阵分解目标就是把用户-项目评分矩阵R分解成用户因子矩阵和项目因子矩阵乘的形式，即R=UV，这里R是n×m， n =6， m =7，U是n×k，V是k×m。直观地表示如下：

高维的用户-项目评分矩阵分解成为两个低维的用户因子矩阵和项目因子矩阵，因此矩阵分解和PCA不同，不是为了降维。用户i对项目j的评分r_ij =innerproct(u_i, v_j)，更一般的情况是r_ij =f(U_i, V_j)，这里为了介绍方便就是用u_i和v_j内积的形式。下面介绍评估低维矩阵乘积拟合评分矩阵的方法。
首先假设，用户对项目的真实评分和预测评分之间的差服从高斯分布，基于这一假设，可推导出目标函数如下：

最后得到矩阵分解的目标函数如下：

从最终得到得目标函数可以直观地理解，预测的分值就是尽量逼近真实的已知评分值。有了目标函数之后，下面就开始谈优化方法了，通常的优化方法分为两种：交叉最小二乘法（alternative least squares）和随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。
首先介绍交叉最小二乘法，之所以交叉最小二乘法能够应用到这个目标函数主要是因为L对U和V都是凸函数。首先分别对用户因子向量和项目因子向量求偏导，令偏导等于0求驻点，具体解法如下：

上面就是用户因子向量和项目因子向量的更新公式，迭代更新公式即可找到可接受的局部最优解。迭代终止的条件下面会讲到。
接下来讲解随机梯度下降法，这个方法应用的最多。大致思想是让变量沿着目标函数负梯度的方向移动，直到移动到极小值点。直观的表示如下：

其实负梯度的负方向，当函数是凸函数时是函数值减小的方向走；当函数是凹函数时是往函数值增大的方向移动。而矩阵分解的目标函数L是凸函数，因此，通过梯度下降法我们能够得到目标函数L的极小值（理想情况是最小值）。
言归正传，通过上面的讲解，我们可以获取梯度下降算法的因子矩阵更新公式，具体如下：

（3）和（4）中的γ指的是步长，也即是学习速率，它是一个超参数，需要调参确定。对于梯度见（1）和（2）。
下面说下迭代终止的条件。迭代终止的条件有很多种，就目前我了解的主要有
1） 设置一个阈值，当L函数值小于阈值时就停止迭代，不常用
2） 设置一个阈值，当前后两次函数值变化绝对值小于阈值时，停止迭代
3） 设置固定迭代次数
另外还有一个问题，当用户-项目评分矩阵R非常稀疏时，就会出现过拟合（overfitting）的问题，过拟合问题的解决方法就是正则化（regularization）。正则化其实就是在目标函数中加上用户因子向量和项目因子向量的二范数，当然也可以加上一范数。至于加上一范数还是二范数要看具体情况，一范数会使很多因子为0，从而减小模型大小，而二范数则不会它只能使因子接近于0，而不能使其为0，关于这个的介绍可参考论文Regression Shrinkage and Selection via the Lasso。引入正则化项后目标函数变为：

（5）中λ_1和λ_2是指正则项的权重，这两个值可以取一样，具体取值也需要根据数据集调参得到。优化方法和前面一样，只是梯度公式需要更新一下。
矩阵分解算法目前在推荐系统中应用非常广泛，对于使用RMSE作为评价指标的系统尤为明显，因为矩阵分解的目标就是使RMSE取值最小。但矩阵分解有其弱点，就是解释性差，不能很好为推荐结果做出解释。
后面会继续介绍矩阵分解算法的扩展性问题，就是如何加入隐反馈信息，加入时间信息等。