根号算法
‘壹’ 根号的算法啊
我“定义”a^b=a的b次方。
(10a+b)^2
=
100a^2+20ab+b^2
=
100a^2+b(20a+b)
a代表的是已经计算出来的结果,b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中,100a^2都被减掉,剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。
因此,我就照着书里的方法,推导开立方笔算法。
(10a+b)^3
=
1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3
=
1000a^3+b[300a^2+b(30a+b)]
如果每次计算后都能减掉1000a^3的话,那么剩下的任务就是找到最大的整数b',使b'[300a^2+b'(30a+b')]<=b[300a^2+b(30a+b)]。
于是,我就设计了一个版式。下面就开始使用这个版式来检验开立方笔算法。
例如:147^3=3176523
一开始,如下图所示,将3176523从个位开始3位3位分开。(3'176'523)
第一步,我们知道,1^3
<
3
<
2^3,所以,第一位应该填1。
1^3
=
1,3
-
1
=
2,余2,再拖三位,一共是2176。
接下来这一步就比较复杂了。因为我水平有限,我现在还不能把它改造得比较好。
依照“b[300a^2+b(30a+b)]”,所以:
1^2*300=300,1*30=30,如图上所写。
第二位就填4,所以上图3个空位都填4。
然后(34*4+300)*4=1744,2176-1744=432,再拖三位得432523。
然后就照上面一样,
14^2*300=58800,14*30=420,如上图所写。
第三位就填7,所以上图下边3个空位都填7。
然后(427*7+58800)*7=432523,432523-432523=0,到此开立方结束。
在我以后的一些实践中,发现越往后开,300*a^2与b(30a+b)的差距就越大,寻找b的工作就越容易,因为结果中有一项是300*a^2*b。
徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求
2301781.9823406
的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
.............................
最后结果为:18.724......
‘贰’ 数学公式根号怎么计算
从个位起向左每隔两位为一节,若带有小数从小数点起向右每隔两位一节,用“,”号将各节分开; 2.求不大于左边第一节数的完全平方数,为“商”; 3.从左边第一节数里减去求得的商,在它们的差的右边写上第二节数作为第一个余数; 4.把商乘以20,试除第一个余数,所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10,就用9或8作试商); 5.用商乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数,就把这个试商写在商后面,作为新商;如果所得的积大于余数,就把试商逐次减小再试,直到积小于或等于余数为止; 6.用同样的方法,继续求。 上述笔算开方方法是我们大多数人上学时课本附录给出的方法,实际中运算中太麻烦了。我们可以采取下面办法,实际计算中不怕某一步算错!!!而上面方法就不行。 比如136161这个数字,首先我们找到一个和136161的平方根比较接近的数,任选一个,比方说300到400间的任何一个数,这里选350,作为代表。 我们计算0.5*(350+136161/350)得到369.5 然后我们再计算0.5*(369.5+136161/369.5)得到369.0003,我们发现369.5和369.0003相差无几,并且,369^2末尾数字为1。我们有理由断定369^2=136161 一般来说能够开方开的尽的,用上述方法算一两次基本结果就出来了。再举个例子:计算469225的平方根。首先我们发现600^2<469225<700^2,我们可以挑选650作为第一次计算的数。即算 0.5*(650+469225/650)得到685.9。而685附近只有685^2末尾数字是5,因此685^2=469225 对于那些开方开不尽的数,用这种方法算两三次精度就很可观了,一般达到小数点后好几位。 实际中这种算法也是计算机用于开方的算法
‘叁’ 求根号的运算法则
根号运算法则:
(3)根号算法扩展阅读:
根号的由来:
古时候,埃及人用记号“┌”表示平方根。印度人在开平方时,在被开方数的前面写上ka。阿拉伯人用 表示 。1840年前后,德国人用一个点“.”来表示平方根,两点“..”表示4次方根,三个点“...”表示立方根。
与此同时,有人采用“根”字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示开方运算,并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q,或“立方”的第一个字母c,来表示开的是多少次方。例如,中古有人写成R.q.4352。
数学家邦别利(1526~1572年)的符号可以写成R.c.?7p.R.q.14╜,其中“?╜”相当于括号,P(plus)相当于用的加号(那时候,连加减号“+”“-”还没有通用)。
参考资料来源:网络—根号
‘肆’ 求根号的计算方法
看看这个你就明白了:
假设被开放数为a,如果用A(a)表示根号a 那么((A(x)-A(a/x))^2=0的根就是A(a)
变形得
A(a)=(x+a/x)/2
所以你只需设置一个约等于(x+a/x)/2的初始值,代入上面公式,可以得到一个更加近似的值,再将它代入,就得到一个更加精确的值……依此方法,最后得到一个足够精度的(x+a/x)/2的值。
如:计算sqrt(5)
设初值为2
1)A(5)=(2+5/2)/2=2.25
2)A(5)=(2.25+5/2.25)/2=2.236111
3)A(5)=(2.236111+5/2.236111)/2=2.236068
这三步所得的结果和A(5)相差已经小于0.001
同样可以计算A(2)也就是说根号2的结果.
‘伍’ 根号计算
计算公式
4、成立条件:a≥0,b>0,n≥2且n∈N。
(5)根号算法扩展阅读
二次根式运算注意事项:
1、二次根式相加减,先把各根式化为最简二次根式,再合并同类二次根式。
2、二次根式的乘除法常用乘法公式或除法公式来简化计算,运算结果一定要写成最简二次根式。
3、利用三角形的三边关系进行化简。利用二次根式的双重非负性的性质,被开方数开方出来后,等于它的绝对值。
‘陆’ 根号怎么算
1、√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚ 这个可以交互使用.这个最多运用于化简,如:√8=√4·√2=2√2
2、√a/b=√a÷√b﹙a≥0b﹥0﹚
3、√a²=|a|(其实就是等于绝对值)这个知识点是二次根式重点也是难点。当a>0时,√a²=a(等于它的本身);当a=0时,√a²=0;当a<0时,√a²=-a(等于它的相反数)
4、分母有理化:分母不能有二次根式或者不能含有二次根式。当分母中只有一个二次根式,那么利用分式性质,分子分母同时乘以相同的二次根式。如:分母是√3,那么分子分母同时乘以√3。
当分母中含有二次根式,利用平方差公式使分母有理化。具体方法,如:分母是√5 -2(表示√5与2的差)要使分母有理化,分子分母同时乘以√5+2(表示√5与2的和)
(6)根号算法扩展阅读
在实数范围内,偶次根号下不能为负数,其运算结果也不为负。奇次根号下可以为负数。不限于实数,即考虑虚数时,偶次根号下可以为负数,利用【i=√-1】即可
参考资料
网络-根号