混沌优化算法

1. 地下水管理模型求解方法研究进展

在通常情况下，无论是地下水系统的状态方程，还是管理模型的目标函数或约束条件，圴常具有非线性、多峰性、不连续等特征，这给求解管理模型带来了困难；而传统的优化方法首先要将非线性问题进行线性近似，使得其解强烈依赖于管理模型目标函数的初值和梯度^［52］。当目标函数不连续或不可导时，尤其是在分布参数地下水管理模型中涉及经济或环境因素，会使模型更为庞大而复杂，以致传统的优化方法无法解决^［53］。

近年来，最优化技术有了很大的进展，一些基于试探式具有全局寻优特点的求解方法被应用于地下水管理之中，如遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络算法、禁忌搜索算法以及一些混合智能算法等。

1.2.3.1 遗传算法（Genetic Algorithm，GA）

遗传算法是20世纪70年代初期由Holland等人创立，并由Goldberg发展完善起来的一种新型寻优方法^［54］。遗传算法求解地下水管理模型时，不要求地下水系统必须是线性的，因而更适合求解复杂地下水系统的管理问题。目前，国内外已将遗传算法应用到地下水管理的各个领域。

McKinney等^［55］用遗传算法求解了3个地下水管理问题：含水层最大抽水量，最低抽水费用及含水层修复的最低费用；Katsifarakis等^{［56，57］}结合边界元法和遗传算法求三类经常遇到的地下水流和溶质运移问题的最优解，即确定导水系数、最小化抽水费用及污染羽的水动力控制；Morshed等^［58］综述了遗传算法在地下水管理方面的应用，并提出了一些改进方法；Cai等^［59］将遗传算法和线性规划相结合，求解大型非线性水资源管理模型，先用遗传算法识别出复杂的变量，这些变量不变时，问题趋于线性化，然后用线性规划分段求解水资源管理模型；Zheng等^［60］采用遗传算法求解由响应矩阵法建立的地下水修复系统优化设计模型；Ines等^［61］结合遥感和遗传算法对灌区的水管理进行优化。近年来，国内学者邵景力等^［62］以山东省羊庄盆地地下水非线性管理模型为例，介绍了应用遗传算法求解这类问题的具体步骤；崔亚莉等^［63］以山东省羊庄盆地3个水源地总抽水量最大为目标建立了地下水管理模型，采用遗传算法进行求解。

需要指出的是，遗传算法是一种近似算法和全局优化算法，其收敛速度和解的精度受控于该算法的某些参数选取；对于大规模、多变量的地下水管理问题，其收敛速度较慢，计算时间长，这是遗传算法在求解复杂地下水管理模型的不足之处。

1.2.3.2 模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm，SAA）

模拟退火算法是局部搜索算法的扩展，它不同于局部搜索算法之处是以一定的概率选择邻域中目标函数值好的状态。理论上来说，它是一个全局优化算法，它通过模拟金属物质退火过程与优化问题求解过程的相似性，另辟了求解优化问题新途径^［64］。模拟退火算法已被应用到地下水管理领域。

Wang等^［65］分别用遗传算法和模拟退火算法求解了地下水管理模型，并通过与线性规划、非线性规划和微分动态规划方法的计算结果相对比，评价了两种算法的优缺点。Dougherty等^［66］介绍了模拟退火算法在地下水管理中的应用。Rizzo等^［67］用模拟退火算法求解了多时段地下水修复的管理问题，并应用了一个价值函数以加速算法搜索速度。Cunha^［68］用模拟退火算法求解了地下水管理问题，使在满足需求的条件下选择供水设备，使总安装费用和经营费用最低。Kuo等^［69］提出了基于田间灌水制度和模拟退火算法的模型进行农业水资源管理。Rao等^{［70，71］}运用SEAWAT建立了地下水流和溶质运移模型，并采用模拟退火算法求解地下水管理问题。

模拟退火算法的实验性能具有质量高、初值鲁棒性强、通用易实现的优点，但为寻到最优解，模拟退火算法往往优化时间比较长，这也是此算法最大的缺点^［72］。

1.2.3.3 人工神经网络算法（Artificial Neural Network，ANN）

人工神经网络算法是一门新兴的学科，从20世纪40年代提出基本概念以来得到了迅速的发展。人工神经网络法属于集中参数模型，是模拟人脑工作模式的一种智能仿生模型，可以对信息进行大规模并行处理；具有自组织、自适应和自学习能力，以及具有非线性、非局域性等特点；而且善于联想、概括、类比和推理，能够从大量的统计资料中分析提炼实用的统计规律^［73］。

在地下水管理中，由于含水层性质的空间变异性所导致的数据多变性和参数的不确定性以及水文地质数据的不完备性，使得一些精确分析方法在表达地下水资源系统各部分之间的非线性关系上具有很大的局限性。ANN技术的引入，对地下水管理模型的应用研究有着很大的促进作用。1992年，Rogers在博士论文中首先提出利用人工神经网络技术进行地下水优化管理，并在模型训练与识别中使用了遗传算法。此后，陆续有些学者在这一领域进行了大量研究。Ranjithan等^［74］用人工神经网络模型对渗透系数不确定性条件下的地下水回灌方案进行优化研究；Coppola等^［75］成功地把人工神经网络运用到3种地下水预测问题中，求解复杂地下水管理问题；Parida等^［76］用人工神经网络预测水资源管理中的径流系数。

需要强调的是，ANN模型并不是对非线性过程的真实描述，不能反映系统的真实结构，因而不能最终完全替代系统的机理模型。ANN模型的这一本质是在建立各类地下水非线性系统管理模型时都必须首先考虑的。目前我国在地下水资源管理研究中对ANN技术的应用和研究还比较少，特别是在地下水资源管理中ANN技术的综合应用方面，与国外相比，还有一定的差距。

1.2.3.4 禁忌搜索算法（Tabu Search Algorithm，TSA）

禁忌搜索算法的逐步寻优思想最早由Glover^［77］提出，它是对局部邻域搜索的一种扩展，是一种全局算法，是对人类智力过程的一种模拟。禁忌搜索算法通过引入一个灵活的存储结构和相应的禁忌准则来避免迂回搜索，并通过藐视准则来赦免一些被禁忌的优良状态，进而保证多样化的有效探索以最终实现全局优化。

Zheng等^［78］联合禁忌搜索算法和线性规划方法求解了地下水污染的修复设计问题，主要应用了禁忌搜索的优点（在优化离散井位时更有效）和线性规划的优点（在优化连续抽水量时更有效）；Zheng等^［79］分别用禁忌搜索算法和模拟退火算法进行最优参数结构识别，并评价和比较了两种方法的有效性和灵活性；Lee等^［80］给出了八种求解非线性整数规划问题的启发式算法的经验比较，在监测网设计中的应用结果表明，模拟退火算法和禁忌搜索算法表现比较突出；杨蕴和吴剑锋等^［81］将禁忌搜索算法和遗传算法分别应用于求解地下水管理模型，其结果表明禁忌搜索计算效率高于遗传算法。

禁忌搜索算法对初始解有较强的依赖性，好的初始解可使禁忌搜索在解空间搜索到好的解，而较差的初始解则会降低禁忌搜索的收敛速度。禁忌搜索能否在实际问题中应用好，要充分考虑初始解对优化结果的影响，这方面还有待于进一步的研究。此外，迭代搜索过程是串行的，仅是单一状态的移动，而非并行搜索，这就使得算法的优化时间往往较长，为了改善寻优效率，目前的趋势是把禁忌搜索与其他启发式方法结合起来，比如把禁忌搜索算法与遗传算法结合等^{［82，83］}。

1.2.3.5 混合智能算法

模拟退火遗传算法（SAGA）是将遗传算法与模拟退火算法相融合而产生的一种优化算法。Sidiropoulos等^［84］用模拟退火算法和遗传算法研究了以抽水费用最小为目标的地下水管理问题，最后提出了地下水管理模型更有效的解法——模拟退火遗传算法；Shieh等^［85］应用模拟退火遗传算法进行了原位生物修复系统的最优化设计研究；韩万海等^［86］用模拟退火遗传算法进行了石羊河流域的水资源优化配置研究；潘林^［87］等应用模拟退火遗传算法对某灌区的灌溉水量进行了最优分配；吴剑锋等^［88］运用遗传算法，同时用模拟退火罚函数方法处理约束条件，求解了地下水管理模型，并将该方法成功地应用于徐州市地下水资源评价与管理模型之中，取得了较为满意的结果。模拟退火遗传算法不但克服了基于梯度寻优算法的缺点，而且通过模拟退火过程，保证能够有效地求得问题在可行域上的最优解（或接近最优解）。然而在求解大型的多决策地下水优化管理问题时，如何减少群体规模，从而有效地提高遗传算法的寻优速度，还有待于进一步深入研究。

人工神经网络算法和遗传算法相结合来求解地下水管理模型的研究也很多。Rogers等^［89］用人工神经网络算法和遗传算法进行最优地下水修复设计，用人工神经网络预测水流和溶质模拟结果；Aly等^［90］提出了不确定条件下含水层净化系统最优设计的方法——人工神经网络算法和遗传算法；Brian^［91］等将遗传算法与人工神经网络算法相结合求解了具有线性目标函数的含水层系统水质管理问题，并将该方法与基于梯度函数的传统算法进行了比较。

此外，其他一些混合算法也常应用于地下水管理问题中。Tung等^［92］使用模式分类和禁忌搜索算法相结合的方法研究了地下水开采管理问题；Hsiao等^［93］应用遗传算法与约束微分动态规划相结合的混合算法求解了非承压地下水含水层修复优化问题；Mantawy等^［94］将遗传算法、禁忌搜索算法和模拟退火算法相结合求解单位运输问题，算法的核心是遗传算法，用禁忌搜索产生新种群，用模拟退火法加速收敛速度。

地下水管理模型求解的方法有很多，除文中提及的优化算法外，近年来快速发展的智能方法，如混沌优化算法、蚁群算法等都为解决这一问题提供了新的思路。地下水资源系统本身是一个高度复杂的非线性系统，其功能与作用是多方面、多层次的；模型的输入有确定的，也有随机的。因此，为实现地下水更科学有效的管理，地下水管理模型的求解方法也必须更具有准确性和实用性。

2. 基坑工程环境影响控制

为了避免或减少基坑工程带来的环境问题，学者们从多个角度进行了研究，具体如下：

（1）地面沉降预测

避免地面沉降带来的环境问题，首先要对基坑工程引发的地面沉降量进行预测，以此指导基坑的设计、施工。基坑工程带来的地面沉降主要由两部分组成，基坑降水引发的地面沉降和基坑支护结构位移引发的地面沉降，其中前者对环境影响的半径更大，后者对基坑临近建（构）筑物、地下管线影响较大（蒋国盛，2000）。近年来，预测基坑降水引发地面沉降的研究成果较多，个别学者综合考虑了降水和支护结构对地面沉降的共同作用。

GgambolatiG（1974）研究威尼斯的由多层含水层与弱透水层组成的地下水系统抽水引起的地面沉降问题时最早提出两步走的地面沉降预测模型，即水流模型和土体变形模型分别计算，该模型首先由概化的轴对称拟三维地下水流模型计算含水层中水头H的变化，根据含水层和弱透水层的水头H变化计算有效应力的变化，从而计算各土层的变形量，这些变形量之和即为地面沉降量。顾小芸等（1998）考虑三维渗流和一维次固结变形，均通过孔隙比和渗透系数之间的关系实现土体变形和渗流的耦合，提出了各自的地面沉降部分耦合模型。

R.W.Lewis（1978）以Biot固结理论为基础提出完全耦合模型，并于1978年将其运用于威尼斯的地面沉降计算中，结果表明水头下降和地面沉降比两步计算较快地趋于稳定。

周志芳（2004）在土层降水-固结过程中，考虑到渗透系数和贮水系数随土层物理力学参数的非线性变化，提出了深基坑降水与沉降的非线性耦合计算方法。

骆祖江（2006）将地下水渗流场和土体应力场进行耦合，建立了深基坑降水与地面沉降变形的水土全耦合三维数学模型，并采用三维有限元数值分析方法，以上海市环球金融中心深基坑降水为例，模拟预测了基坑中心水位降至标高-23.4m时基坑周围地下水渗流场与地面沉降变形场的分布特征。结果表明，全耦合模型稳定性好，收敛速度快，能模拟复杂三维地质体和整个基坑降水工程的结构。

王翠英（2006）通过比较大量深基坑降水地面沉降实测值与理论值，得出理论沉降修正系数，对类似地层的基坑降水工程预测沉降量具有实用价值。

陈锦剑（2006）为预测基坑开挖及降水过程中周围土体的沉降，采用基于比奥固结理论的有限单元法在大型有限元软件中建立轴对称模型进行了分析。结果表明：该方法可以反映抽水引起的孔隙水压力变化及土体沉降变化规律，是种实用可行的方法。

（2）基坑支护结构变形预测

基坑支护结构变形预测的方法有以下五类：

① 在基坑施工过程中，对监测数据进行实时统计分析，研究基坑变形发展趋势。利英博（2003）对广州某深基坑的变形位移进行了监测，并通过分析其发展趋势指导基坑施工。

② 从基坑变形机理的角度，基于数值模拟的方法进行研究。任建喜（2007）以北京地铁奥运支线森林公园车站南基坑为工程背景，采用有限元法研究了影响地铁深基坑围护结构变形的主要因素，预测了围护结构的变形。李琳（2007）就杭州和上海软土地区46个成功深基坑的实测结果进行了研究和总结，分析了基坑开挖深度与最大侧移及其位置的关系。丁勇春（2008）通过对上海软土地区地铁车站基坑实测数据的分析，探讨了基坑围护结构变形、坑外土体变形及地表沉降的一般规律。侯永茂（2009）采用三维有限元分析方法研究得到了无支撑基坑变形的规律。王桂平（2009）针对软土地基基坑工程存在的“时空效应”特性，在杆系有限元法的基础上，综合考虑土体的时空效应作用，提出软土地区基坑支护结构内力和变形的工程实用计算方法。贾彩虹（2010）采用非稳定渗流-应力耦合的方法对基坑降水开挖过程中的变形问题进行数值模拟分析，计算了坑底开挖的隆起量和桩后地表沉降。

③ 基于灰色理论进行研究。赵昌贵（2008）、胡冬（2009）用灰色系统预测理论建立了深基坑变形的非等时距GM（1，1）预测模型。闫韶兵（2006）应用等维GM（1，1）模型预测基坑变形，经过精度检验和残差修正，预测精度较高，编写了实用的MATLAB算法程序。

④ 基于神经网络进行研究。贺志勇（2008）基于BP神经网络建立了深基坑变形预测模型。贾备（2009）将灰色理论和BP神经网络相结合，王江（2007）将混沌优化算法和BP神经网络相结合，李玉岐（2004）将修正权值和阀值时的学习速率和动量项变为可调参数，分别提出了改进BP神经网络。刘勇健（2004）将遗传算法与神经网络相结合建立了深基坑变形的实时预报模型。王万通（2008）将模糊控制理论与神经网络技术相结合，建立了一种基于模糊神经网络的深基坑施工变形预测模型。王宁（2009）将基坑变形影响因子构造为考虑开挖深度的瞬时变形影响因子和考虑蠕变效应的历史变形影响因子，利用径向基函数神经网络建立了深基坑变形的监测模型，可实现对后期开挖的深基坑变形的非线性预测。周先存（2009）基于多分支神经网络进行了深基坑变形多点预测研究。袁金荣（2001）在分析灰色系统与神经网络基本原理的基础上，结合前人研究成果和实例分析，认为灰色系统不宜用于地下连续墙水平位移的预测，神经网络是解决基坑变形预测的有效方法。

⑤ 基于支持向量机进行研究。赵洪波（2005）较早的将支持向量机应用于预测深基坑变形，表达了深基坑变形与其影响因素之间的非线性映射关系，预测结果表明，利用支持向量机进行深基坑变形是可行的、有效的。徐洪钟（2008）应用最小二乘支持向量机回归建立了基坑位移与时间的关系模型。师旭超（2010）利用遗传算法来搜索支持向量机与核函数的参数，提出了深基坑变形预测的进化支持向量机方法，该方法避免了人为选择参数的盲目性，同时提高了支持向量机的推广预测能力。

（3）选用合理的支护结构

怎样选择支护结构，各地区的经验和地方规范要求不尽相同。但一般来讲，地下连续墙、带支撑（拉锚）的排桩、能用于不同安全等级和深度的基坑，其侧向位移小，有较好的稳定性；土钉墙、水泥土墙、悬臂排桩应用于安全等级不高、深度不大的基坑支护。通过支护结构优化设计，避免支护结构侧向位移带来的工程事故及环境问题。

李大勇（2004）考虑了土体、围护结构与地下管线三者的耦合作用，采用三维有限元法分析了内撑式基坑工程开挖对地下管线的影响规律，得到了有价值的结论。

施群（2007）在贴近地铁边缘的深基坑施工中，采用地下连续墙和建筑地下室外墙两墙合一的建筑结构，收到了良好的效果。

曹文贵（2008）在深入研究基坑支护方案确定之影响因素基础上，确定出其主要影响因素及评价指标，并根据影响因素与评价指标的层次性和模糊性特点，建立了确定基坑支护方案的综合优化评价模型。

李涛（2010）在合理选择支护结构的同时，认为应加强主动防护控制基坑引发环境问题方面的机理和方法研究，并以隔档墙为例介绍了主动防护技术的思路。

（4）地下水控制

工程实践表明，大大小小的工程事故大多与地下水有关，基坑工程常用地下水控制方法有截水帷幕、井点降水、明沟排水，通过选择地下水控制方法来控制过大的地面沉降、管涌。

丁洲祥（2005）采用Biot固结理论分析了止水帷幕对基坑工程环境效应的影响，结果表明，深厚透水地基中增加竖向止水帷幕的深度并不能有效减小对周围环境的影响；漏水部位周围土体的渗流等势线较为密集，渗流速度较大，容易诱发扩大破坏；竖向封闭式止水帷幕漏水引起的坑边土体的沉降和地表土体的侧移相对较大，水位下降迅速。

张莲花（2005）针对基坑工程中降水将不可避免对周围环境产生影响的事实，首次提出沉降变形控制的降水最优化问题的概念，这种考虑环境的因素进行优化降水设计的方法改变了过去仅从工程施工和安全的角度进行降水设计的传统观点，实际中取得了较好的效果。

（5）基坑工程监测

基坑工程中，对周边建筑物（管线）、支护结构的位移、沉降；土压力、孔隙水压力等进行监测，可以尽早发现危险的前兆，修改设计施工方案，采取必要的工程措施，防止工程事故和环境事故的发生。

纪广强（2002）通过对南京某超高层建筑深基坑开挖监测结果进行分析，认为基坑地质条件较好且开挖满足支护系统安全稳定的条件时，仍可能对周围环境造成较大的影响。

（6）施工管理

资料表明，工程施工问题造成的基坑事故、环境破坏占事故总数的41.5%，因此对基坑施工进行严格的科学管理对减少基坑事故有重要意义。

以上研究表明，基坑引发的地面沉降是造成环境影响的主要原因，为了降低其发生的概率和强度，可以从支护结构、地下水控制、施工监测、施工管理几个方面采取措施。这些措施的实行在现行国家标准、行业规范、地区规范等标准化文件中已有较多的体现。

3. Tent映射及其改进表达式

Tent映射是一种混沌优化算法，具有随机性和遍历性，该映射结构简单，和其他算法配合使用时实现容易。具体结构如式（8.4）所示：

高光谱遥感影像信息提取技术

由式（8.2）知，粒子位置的更新取决于粒子速度的更新，也可进一步通过对粒子速度做Tent映射变换从而间接影响粒子位置更新。本章在高光谱影像的Tent－PSO－SVM分类过程中，根据实现速度的最大与最小值设置的多次实验，将原始Tent映射结构进行了改进处理，如式（8.5）所示：

高光谱遥感影像信息提取技术

4. 为什么用混沌粒子群算法优化的参数不在优化范围之内

你的粒子更新的时候没有限制边界吧

5. 冯春的发表论文情况

1.冯春，陈永.基于混沌的全局优化新方法.机械工程学报，2004，40(2):96一01(El检索04258221727)
2.冯春，陈永.基于遗传算法的机构运动链同构识别.机械工程学报，2001，37(10):27一30(El检索04057989761)
3.冯春，谢进，陈永.利用Lyopoflov指数分析机械手反馈控制中的混沌运动.中国机械工程，2004，15(7):624一627(El检索Web04268239395)
4.冯春，谢进，陈永.利用混沌与分形进行平面四杆机构综合.中国机械工程，2004，25(9):753一756(El检索wob0430828:188())
5.冯春，陈永.确定Logistic映射倍周期分叉点的遗传算法.西南交通大学学报，2003，38(3):290一293(E工检索webo3297554351)
6.冯春，陈永.混沌分形在装载机机构综合中的应用.中国工程机械学报，2003，l(1):1一5
7.冯春，谢进，陈永.混沌分形优化方法及其应用.系统工程学报，2004，19(4):337一343
8.冯春，陈永.混沌优化方法及其在机械工程优化设计中的应用.机械传动，2003.27(l):3一5
9.冯春，陈永.确定离散动力系统分叉点的最优化方法.机械科学与技术，2002，21(5):735一735
10.冯春，陈永.进化规划在控制混沌中的应用.机械设计，2002，19(8):10一12
n.冯春，陈永.遗传算法在一类组合优化中的应用.计算机工程与应用，2001，37(5):44一46
12.冯春，李柏林，陈永.进化规划原理及其在机械工程中的展望.机械，2003 30(2):1一3
13.冯春，谢进，李柏林，陈永.混沌优化算法的研究机械设计与研究，2004.20
14.冯春，陈永.混沌优化方法与平面四杆机构轨迹优化综合.机械设计与研究，2002，18(增刊):87一88
巧.冯春，陈永.机构运动链同构识别的遗传算法方法.机械设计与研究，2000，16(增刊):40一41
16.赵平，冯春，李柏林.一般多边形窗口的有效线裁减算法.西南交通大学学报，2004，39(1):64~68(El检索Web04108053 30)
17.张怡，冯春，胡鹏飞.基于进化规划的时间最优控制问题求解，西南交通大学学报，2002，(37)5:553一556
18.张怡，冯春.人的创造性与计算机系统的创造性的比较分析.西南交通大学学报(社会科学版).2002，3(1):92一94
19.黄洪钟，赵正佳，姚新胜，冯春.遗传算法原理、实现及其在机械工程中的应用研究与展望，机械设计，2000，18(3):1一6

6. 混沌粒子群算法求解动态优化问题的一般步骤是什么

混沌改进的粒子群算法如第五章所描述

7. tcoa翻译成汉语是什么意思

混沌优化算法
...神经网络预测控制的研究概况及其基本原理，然后分别将基于Logistic映射的混沌优化算法(LCOA)和基于Tent映射的混沌优化算法(TCOA)作为神经网络预测控
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准证书
自2013年1月22日起之30天内，马国政府亦将停止核发钢铁进口临时核准证书(TCOA)，至目前正在使用此证书之业者或可于未来6个月内宽限期获得快速通关，以适应简化的钢铁产品进口程序。
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谢谢采纳哦~

8. 什么是智能优化算法

群体智能优化算法是一类基于概率的随机搜索进化算法，各个算法之间存在结构、研究内容、计算方法等具有较大的相似性。因此，群体智能优化算法可以建立一个基本的理论框架模式：

Step1：设置参数，初始化种群；

Step2：生成一组解，计算其适应值；

Step3：由个体最有适应着，通过比较得到群体最优适应值；

Step4：判断终止条件示否满足？如果满足，结束迭代；否则，转向Step2；

各个群体智能算法之间最大不同在于算法更新规则上，有基于模拟群居生物运动步长更新的（如PSO，AFSA与SFLA），也有根据某种算法机理设置更新规则（如ACO）。

(8)混沌优化算法扩展阅读

优化算法有很多，经典算法包括：有线性规划，动态规划等；改进型局部搜索算法包括爬山法，最速下降法等，模拟退火、遗传算法以及禁忌搜索称作指导性搜索法。而神经网络，混沌搜索则属于系统动态演化方法。

优化思想里面经常提到邻域函数，它的作用是指出如何由当前解得到一个（组）新解。其具体实现方式要根据具体问题分析来定。

9. 混沌优化算法可以求解全局最优解吗

非线性最优化问题的一种混合解法

摘 要：把BFGS方法与混沌优化方法相结合，基于混沌变量提出一种求解具有变量边界约束非线性最优化问题的混合优化方法。混合算法兼顾了混沌优化全局搜索能力强和BFGS方法收敛速度快的优点，成为一种求解非凸优化问题全局最优的有效方法。算例表明，当混沌搜索的次数达到一定数量时，混合优化方法可以保证算法收敛到全局最优解，且计算效率比混沌优化方法有很大提高。

关键词：混合法；BFGS方法；混沌优化方法；全局最优

1 引言
在系统工程、控制工程、统计学、反问题优化求解等领域中，很多问题是具有非凸性的。对此普通的优化技术只能求出局部最优解，因为这些确定性算法总是解得最近的一个极值点[1]，只有能够给出很好的初始点才有可能得出所需要的全局最优解。为此，实际应用中通过在多个初始点上使用传统数值优化方法来求取全局解的方法仍然被人们所采用，但是这种处理方法求得全局解的概率不高，可靠性低，建立尽可能大概率的求解全局解算法仍然是一个重要问题。近年来基于梯度法的全局最优化方法已经有所研究[2]，基于随机搜索技术的遗传算法和模拟退火算法等在全局优化问题中的应用也得到越来越大的重视[3-4]。本文则基于混沌优化和BFGS方法，提出一种求解具有简单界约束最优化问题(1)的混合算法。
混沌是存在于非线性系统中的一种较为普遍的现象。混沌运动宏观上无序无律，具有内随机性、非周期性和局部不稳定性，微观上有序有律，并不是完全的随机运动，具有无穷嵌套的自相似几何结构、存在普适性规律，并不是杂乱无章的。利用混沌变量的随机性、遍历性和规律性特点可以进行优化搜索[5]，且混沌优化方法容易跳出局部最优点。但是某些状态需要很长时间才能达到，如果最优值在这些状态时，计算时间势必很长[5]。可以说混沌优化具有全局搜索能力，其局部搜索能力稍显不足，文[5]采用二次载波技术，文[6]考虑逐渐缩小寻优变量的搜索空间都是为了弥补这一弱点。而本文则采用混沌搜索与BFGS方法进行优化求解，一方面采用混沌搜索帮助BFGS方法跳出局部最优，另一方面利用BFGS增强解附近的超线性收敛速度和搜索能力，以提高搜索最优的效率。
2 混沌－BFGS混合优化方法
2.1 BFGS方法
作为求解无约束最优化问题的拟牛顿方法类最有代表性的算法之一，BFGS方法处理凸非线性规划问题，以其完善的数学理论基础、采用不精确线性搜索时的超线性收敛性和处理实际问题有效性，受到人们的重视[7-9]。拟牛顿方法使用了二阶导数信息，但是并不直接计算函数的Hesse矩阵，而是采用一阶梯度信息来构造一系列的正定矩阵来逼近Hesse矩阵。BFGS方法求解无约束优化问题min()的主要步骤如下：
(1) 给变量赋初值x0，变量维数n和BFGS方法收敛精度ε，令B0=I（单位阵），k=0，计算在点x0的梯度g0。
(2) 取sk=-Bk-1gk，沿sk作一维搜索，确定最优步长αk，，得新点xk+1=xk+αksk，计算xk+1点的梯度gk+1。
(3) 若||gk+1||≤ε，则令，，BFGS搜索结束，转步骤3；否则执行(4)。
(4) 计算Bk+1：
(2)
(3)
(5) k=k+1，转(2)。
2.2 混沌优化方法
利用混沌搜索求解问题(1)时，先建立待求变量与混沌变量的一一对应关系，本文采用。然后,由Logistic映射式(4)产生个轨迹不同的混沌变量（）进行优化搜索，式(4)中=4。已经证明，=4是“单片”混沌，在[0,1]之间历遍。
(4)
(1)给定最大混沌变量运动次数M；给赋初值，计算和；置，。
(2) 。
(3) 。
(4) 若k<M，
若，令，；
若，和保持不变；
然后令k=k+1，，转(2)。
若k>M，则，，混沌搜索结束。
2.3 混合优化方法
混沌方法和BFGS方法混合求解连续对象的全局极小值优化问题(1)的步骤如下：
step1 设置混沌搜索的最大次数M，迭代步数iter=0，变量赋初值x0，。
step2 以为始点BFGS搜索，得当前BFGS方法最优解及=。
step3 若，取=；若，取；若，取，是相对于,较小的数。
step 4 以为始点进行混沌搜索M次，得混沌搜索后的最优解及=。
step5 若<，iter=iter+1，，转step2；否则执行step6。
step6 改变混沌搜索轨迹，再次进行混沌搜索，即给加微小扰动，执行step 4，得搜索结果和。若<，iter=iter+1，，转step2；否则计算结束，输出、。
对全局极大值问题，max ，可以转化为求解全局极小问题min 。
混合算法中混沌搜索的作用是大范围宏观搜索，使得算法具有全局寻优性能。而BFGS搜索的作用是局部地、细致地进行优化搜索，处理的是小范围搜索问题和搜索加速问题。
3 算例

图 1 函数-特性示意图 图 2 函数特性示意图
采用如下两个非常复杂的、常用于测试遗传算法性能的函数测试本文算法：

函数称为Camel 函数，该函数有6个局部极小点(1.607105, 0.568651)、(-1.607105, -0.568651)、(1.703607, -0.796084)、(-1.703607, 0.796084)、(-0.0898,0.7126)和(0.0898,-0.7126)，其中(-0.0898,0.7126)和(0.0898,-0.7126)为两个全局最小点，最小值为-1.031628。函数称为 Schaffer's函数，该函数有无数个极大值，其中只有（0，0）为全局最大点，最大值为1。此函数的最大峰值周围有一圈脊，它们的取值均为0.990283，因此很容易停留在此局部极大点。文献[10]采用该函数对该文提出的基于移动和人工选择的改进遗传算法（GAMAS）其性能进行了考察，运行50次，40％的情况下该函数的唯一全局最优点能够找到。而采用本文混合算法，由计算机内部随机函数自动随机生产100个不同的初始点，由这些初始点出发，一般混合算法迭代2－4次即能够收敛。M取不同数值时对函数、的计算结果分别如表1和表2所示，表中计算时间是指在奔腾133微机上计算时间。
由表2可见，当M=1500时，本文方法搜索到最优解的概率即达到40％，而此时计算量比文献[10]小。同样由混合算法的100个起始点，采用文献[5]的算法对函数优化计算100次，以作为收敛标准，混沌搜索50000次，计算结果为67次搜索到最优解，概率为67%，平均计算时间为1.2369s。而即使保证混合算法100次全收敛到最优解所花费的平均计算时间也只为0.2142s（表1），可见混合算法优于文献[5]的方法。
表1 M取不同数值时函数的计算结果
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M 搜索到全局最优点的次数 搜索到最优的概率 平均计算时间
(-0.0898,0.7126) (0.0898,-0.7126)
_____________________________________________________________________________________________
1000 44 39 83% 0.1214s
3000 53 45 98% 0.1955s
5000 53 47 100% 0.2142s
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表2 M取不同数值时函数的计算结果
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M 搜索到全局最优点的次数 搜索到最优的概率 平均计算时间
____________________________________________________________________________________
1500 40 40% 0.1406s
5000 73 73% 0.2505s
10000 88 88% 0.4197s
50000 100 100% 1.6856s
____________________________________________________________________________________

4 计算结果分析
由表1和表2可见，混合算法全局寻优能力随M的增加而增大，当M达到某一足够大的数值Mu后，搜索到全局最优的概率可以达到100％。
从理论上说，Mu趋向无穷大时，才能使混沌变量遍历所有状态，才能真正以概率1搜索到最优点。但是，本文混沌运动M次的作用是帮助BFGS方法跳出局部最优点，达到比当前局部最优函数值更小的另一局部最优附近的某一点处，并不是要混沌变量遍历所有状态。由混沌运动遍历特性可知，对于某一具体问题，Mu达到某一具体有限数值时，混沌变量的遍历性可以得到较好模拟，这一点是可以满足的，实际算例也证实了这一点。
由于函数性态、复杂性不同，对于不同函数，如这里的测试函数、，数值Mu的大小是有差别的。对于同一函数，搜索区间增大，在相同混沌运动次数下，即使始点相同，总体而言会降低其搜索到全局最优的概率,要保证算法仍然以概率1收敛到全局最优，必然引起Mu 增大。跟踪计算中间结果证实，当M足够大时，混合算法的确具有跳出局部最优点，继续向全局最优进行搜索的能力；并且混合算法的计算时间主要花费在为使混合算法具有全局搜索能力而进行混沌搜索上。
5 结语
利用混沌变量的运动特点进行优化，具有非常强的跳出局部最优解的能力，该方法与BFGS方法结合使用，在可以接受的计算量下能够计算得到问题的最优解。实际上，混沌优化可以和一般的下降类算法结合使用，并非局限于本文采用的BFGS方法。采用的Logistic映射产生混沌变量序列，只是产生混沌变量的有效方式之一。
混沌运动与随机运动是不同的。混沌是确定性系统中由于内禀随机性而产生的一种复杂的、貌似无规的运动。混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期的秩序。与随机运动相比较，混沌运动可以在各态历经的假设下，应用统计的数字特征来描述。并且，混沌运动不重复地经过同一状态，采用混沌变量进行优化比采用随机变量进行优化具有优势。
混沌优化与下降类方法结合使用是有潜力的一种全局优化途径，是求解具有变量界约束优化问题的可靠方法。如何进一步提高搜索效率，以及如何把混沌优化有效应用于复杂约束优化问题是值得进一步研究的课题。
本文算法全局收敛性的严格数学证明正在进行之中。
参考文献
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A Hybrid Approach for Nonlinear Optimization
Abstract：Combined BFGS method with chaos optimization method, a hybrid approach was proposed to solve nonlinear optimization problems with boundary restraints of variables. The hybrid method is an effective approach to solve nonconvex optimization problems, as it given both attentions to the inherent virtue to locate global optimum of chaos optimization method and the advantage of high convergence speed of BFGS method. Numerical examples illustrate that the present method possesses both good capability to search global optima and far higher convergence speed than that of chaos optimization method.