迭代算法的收敛速度

A. 如何比较雅可比和塞德尔迭代收敛快慢

一：牛顿潮流算法的特点 1）其优点是收敛速度快，若初值较好，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4～5 次便可以 收敛到非常精确的解，而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。 2）牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对高斯-塞德尔法呈病态的系统，牛顿法均能可靠 地敛。 3）初值对牛顿法的收敛性影响很大。解决的办法可以先用高斯-塞德尔法迭代1～2 次，以 此迭代结果作为牛顿法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次求得一个较好的角度初值， 然后转入牛顿法迭代。 PQ法特点： (1)用解两个阶数几乎减半的方程组（n-1 阶和n-m-1 阶）代替牛顿法的解一个(2n-m-2)阶方程 组，显着地减少了内存需求量及计算量。 (2)牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并进行三角分解，而P-Q 分解法的系数矩阵 B’ 和B’’是常数阵，因此只需形成一次并进行三角分解组成因子表，在迭代过程可以反复应用， 显着缩短了每次迭代所需的时间。 (3)雅可比矩阵J 不对称，而B’和B’’都是对称阵，为此只要形成并贮存因子表的上三角或下 三角部分，减少了三角分解的计算量并节约了内存。由于上述原因，P-Q 分解法所需的内存 量约为牛顿法的60%，而每次迭代所需时间约为牛顿法的1/5。

B. 电力系统分析，利用 P—Q 分解法和牛顿—拉夫逊法进行潮流计算，二者的收敛速度是（ B ） 。 A

收敛速度是指迭代次数，牛拉法的迭代次数比PQ法少，所以收敛速度快。

不同情况两种方法收敛速度不同。

牛顿—拉夫逊法比较通用，但是收敛速度不高，但基本所有问题都通用；P—Q 分解法适用于有P-Q能分解开的情况，适用面没有牛顿—拉夫逊法广，但是一旦可以适用，则收敛速度比较快。

(2)迭代算法的收敛速度扩展阅读：

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

C. 怎么判断不同迭代格式的收敛性和收敛速度

对各个迭代式求导，代入附近的猜测值（此处代入1.5），看起倒数的绝对值是否小于1，小于1则收敛，大于则发散。倒数值越小收敛速度越快。

设已知 f(x) = 0 有根 a，f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续)

若 f'(a) != 0(单重零点)，则初值取在a的某个邻域内时，迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n])得到的序列 x[n] 总收敛到a，且收敛速度至少是二阶的。

若 f'(a) == 0(多重零点)，则初值取在a的某个邻域内时，收敛速度是一阶的。

(3)迭代算法的收敛速度扩展阅读：

迭代法的主要研究课题是对所论问题构造收敛的迭代格式，分析它们的收敛速度及收敛范围。迭代法的收敛性定理可分成下列三类：

①局部收敛性定理：假设问题解存在，断定当初始近似与解充分接近时迭代法收敛；

②半局部收敛性定理：在不假定解存在的情况下，根据迭代法在初始近似处满足的条件，断定迭代法收敛于问题的解；

③大范围收敛性定理：在不假定初始近似与解充分接近的条件下，断定迭代法收敛于问题的解。

迭代法在线性和非线性方程组求解，最优化计算及特征值计算等问题中被广泛应用。

D. 如何比较高斯迭代法与雅克比迭代法哪一个收敛的更快

高斯迭代法可看作是雅克比迭代法的一种修正。两者的收敛速度在不同条件下不同，不能直接比较，即使在同样条件下，有可能对于同样的系数矩阵出现一种方法收敛，一种方法发散。

E. 简化牛顿迭代法收敛的证明

牛顿迭代法收敛有如下定理：

设已知 f(x) = 0 有根 a,f(x) 充分光滑(各阶导数存在且连续).

若 f'(a) != 0(单重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,迭代法 x[n+1] = x[n] - f(x[n])/f'(x[n]) 得到

序列 x[n] 总收敛到 a,且收敛速度至少是二阶的.

若 f'(a) == 0(多重零点),则初值取在 a 的某个邻域内时,收敛速度是一阶的.

记 g(x)=x-f(x)/f'(x),其中"某个邻域"可由 |g'(x)|

(5)迭代算法的收敛速度扩展阅读：

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：

一、确定迭代变量

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个可直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：

一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析得出可用来结束迭代过程的条件。

F. 迭代法的收敛速度有哪几个衡量标准

咨询记录 · 回答于2021-12-08