box算法
1、3DES算法
3DES（即Triple DES）是DES向AES过渡的加密算法（1999年，NIST将3-DES指定为过渡的加密标准），加密算法，其具体实现如下：设Ek()和Dk()代表DES算法的加密和解密过程，K代表DES算法使用的密钥，M代表明文，C代表密文，这样：
3DES加密过程为：C=Ek3(Dk2(Ek1(M)))
3DES解密过程为：M=Dk1(EK2(Dk3(C)))
2、Blowfish算法
BlowFish算法用来加密64Bit长度的字符串。
BlowFish算法使用两个“盒”——unsignedlongpbox[18]和unsignedlongsbox[4,256]。
BlowFish算法中，有一个核心加密函数:BF_En(后文详细介绍）。该函数输入64位信息，运算后，以64位密文的形式输出。用BlowFish算法加密信息，需要两个过程：密钥预处理和信息加密。
分别说明如下：
密钥预处理：
BlowFish算法的源密钥——pbox和sbox是固定的。我们要加密一个信息，需要自己选择一个key，用这个key对pbox和sbox进行变换，得到下一步信息加密所要用的key_pbox和key_sbox。具体的变化算法如下：
1)用sbox填充key_sbox
2)用自己选择的key8个一组地去异或pbox，用异或的结果填充key_pbox。key可以循环使用。
比如说：选的key是"abcdefghijklmn"。则异或过程为：
key_pbox[0]=pbox[0]abcdefgh；
key_pbox[1]=pbox[1]ijklmnab；
…………
…………
如此循环，直到key_pbox填充完毕。
3)用BF_En加密一个全0的64位信息，用输出的结果替换key_pbox[0]和key_pbox[1],i=0；
4)用BF_En加密替换后的key_pbox,key_pbox[i+1]，用输出替代key_pbox[i+2]和key_pbox[i+3]；
5)i+2，继续第4步，直到key_pbox全部被替换；
6)用key_pbox[16]和key_pbox[17]做首次输入（相当于上面的全0的输入），用类似的方法，替换key_sbox信息加密。
信息加密就是用函数把待加密信息x分成32位的两部分:xL,xRBF_En对输入信息进行变换。
3、RC5算法
RC5是种比较新的算法，Rivest设计了RC5的一种特殊的实现方式，因此RC5算法有一个面向字的结构：RC5-w/r/b，这里w是字长其值可以是16、32或64对于不同的字长明文和密文块的分组长度为2w位，r是加密轮数，b是密钥字节长度。
(1)box算法扩展阅读：
普遍而言，有3个独立密钥的3DES（密钥选项1）的密钥长度为168位（三个56位的DES密钥），但由于中途相遇攻击，它的有效安全性仅为112位。密钥选项2将密钥长度缩短到了112位，但该选项对特定的选择明文攻击和已知明文攻击的强度较弱，因此NIST认定它只有80位的安全性。
对密钥选项1的已知最佳攻击需要约2组已知明文，2部，2次DES加密以及2位内存（该论文提到了时间和内存的其它分配方案）。
这在现在是不现实的，因此NIST认为密钥选项1可以使用到2030年。若攻击者试图在一些可能的（而不是全部的）密钥中找到正确的，有一种在内存效率上较高的攻击方法可以用每个密钥对应的少数选择明文和约2次加密操作找到2个目标密钥中的一个。
‘贰’ 如何产生正态分布的随机数
•最简单的：rejection sampling，思路很简单，也很容易实现，但效率较差
•较复杂的：inverse CDF，直接利用累积分布函数（CDF）的反函数生成随机数，但计算中牵扯到比较复杂的误差函数erf（非初等函数）
•更好的：Box-Muller算法，在很长时间内都是生成正态分布随机数的"标准"算法。Box-Muller算法的特点是效率高，并且计算过程比较简单（只用到了初等函数）。参见：Box-Muller transform
•目前最好的（相较于其它实用算法）：ziggurat算法，效率很高，很多现代的编程语言都使用了这一算法。ziggurat并不是人名，其含义是“金字形神塔”，不是埃及那个金字塔，而是古代苏美尔人建造的类金字塔结构的神坛：神坛由多层平台构成，每层平台都呈矩形、卵形或正方形，且自下而上面积逐渐减小。ziggurat算法实际上是一种改进的、包含查表操作的rejection sampling。
‘叁’ 典型现在加密算法
1.
对称型加密算法
也称私用密钥算法.对称型加密算法是从传统的简单换位代替密码发展而来的,自1977年美国颁布DES密码算法作为美国数据加密标准以来,对称密钥密码体制迅猛发展,得到了世界各国关注和普遍使用.对称密钥密码体制从加密模式上可分为序列密码和分组密码两大类.序列密码一直是军事和外交场合使用的主要密码技术之一,它的主要原理是通过有限状态机产生性能优良的伪随机序列,使用该序列加密信息流,得到密文序列.分组密码的工作方式是将明文分成固定长度的组,如64比特一组,用同一密钥和算法对每一组加密,输出也是固定长度的密文.对称性的加密算法包括美国标准56位密钥的DES,Triple-DES,3DES,变长度密钥的RC2和RC4,瑞士人发明的128位密钥的IDEA等.DES(Data Encryption Standard)是由IBM公司开发的最着名的数据加密算法,它的核心是乘积变换.美国于1997年将其定为非机密数据的正式加密标准.在过去20多年中,DES加密算法得到了广泛的研究,比其他任何密钥方案在硬件和软件中都得到了更多的应用.DES对64位二进制数据加密,产生64位密文数据,实际密钥长度为56位(有8位用于奇偶校验,解密时的过程和加密时相似,但密钥的顺序正好相反),其可能的密钥有256种,很难被破译.在银行业中的电子资金转账(EFT)领域中DES的应用获得成功.现在DES也可由硬件实现,AT&T首先用LSI芯片实现了DES的全部工作模式,该产品称为数据加密处理机DEP.
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2.
RC4算法
RC4加密算法
RC4加密算法是大名鼎鼎的RSA三人组中的头号人物Ron Rivest在1987年设计的密钥长度可变的流加密算法簇。之所以称其为簇，是由于其核心部分的S-box长度可为任意，但一般为256字节。该算法的速度可以达到DES加密的10倍左右。
RC4算法的原理很简单，包括初始化算法和伪随机子密码生成算法两大部分。假设S-box长度和密钥长度均为为n。先来看看算法的初始化部分（用类C伪代码表示）：
for (i=0; i<n; i++)
s[i]=i;
j=0;
for (i=0; i<n; i++)
{
j=(j+s[i]+k[i])%256;
swap(s[i], s[j]);
}
在初始化的过程中，密钥的主要功能是将S-box搅乱，i确保S-box的每个元素都得到处理，j保证S-box的搅乱是随机的。而不同的S-box在经过伪随机子密码生成算法的处理后可以得到不同的子密钥序列，并且，该序列是随机的：
i=j=0;
while (明文未结束)
{
++i%=n;
j=(j+s[i])%n;
swap(s[i], s[j]);
sub_k=s((s[i]+s[j])%n);
}
得到的子密码sub_k用以和明文进行xor运算，得到密文，解密过程也完全相同。
由于RC4算法加密是采用的xor，所以，一旦子密钥序列出现了重复，密文就有可能被破解。关于如何破解xor加密，请参看Bruce Schneier的Applied Cryptography一书的1.4节Simple XOR，在此我就不细说了。那么，RC4算法生成的子密钥序列是否会出现重复呢？经过我的测试，存在部分弱密钥，使得子密钥序列在不到100万字节内就发生了完全的重复，如果是部分重复，则可能在不到10万字节内就能发生重复，因此，推荐在使用RC4算法时，必须对加密密钥进行测试，判断其是否为弱密钥。
但在2001年就有以色列科学家指出RC4加密算法存在着漏洞，这可能对无线通信网络的安全构成威胁。
以色列魏茨曼研究所和美国思科公司的研究者发现，在使用“有线等效保密规则”（WEP）的无线网络中，在特定情况下，人们可以逆转RC4算法的加密过程，获取密钥，从而将己加密的信息解密。实现这一过程并不复杂，只需要使用一台个人电脑对加密的数据进行分析，经过几个小时的时间就可以破译出信息的全部内容。
专家说，这并不表示所有使用RC4算法的软件都容易泄密，但它意味着RC4算法并不像人们原先认为的那样安全。这一发现可能促使人们重新设计无线通信网络，并且使用新的加密算法。
‘肆’ 简述算法的各种表示形式
一、什么是算法
算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
算法的时间复杂度是指算法需要消耗的时间资源。一般来说，计算机算法是问题规模n 的函数f(n)，算法执行的时间的增长率与f(n) 的增长率正相关，称作渐进时间复杂度（Asymptotic Time Complexity）。时间复杂度用“O（数量级）”来表示，称为“阶”。常见的时间复杂度有： O（1）常数阶；O（log2n）对数阶；O（n）线性阶；O（n2）平方阶。
算法的空间复杂度是指算法需要消耗的空间资源。其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。
二、算法设计的方法
1.递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。
【问题】 阶乘计算
问题描述：编写程序，对给定的n（n≤100），计算并输出k的阶乘k！（k=1，2，…，n）的全部有效数字。
由于要求的整数可能大大超出一般整数的位数，程序用一维数组存储长整数，存储长整数数组的每个元素只存储长整数的一位数字。如有m位成整数N用数组a[ ]存储：
N=a[m]×10m-1+a[m-1]×10m-2+ … +a[2]×101+a[1]×100
并用a[0]存储长整数N的位数m，即a[0]=m。按上述约定，数组的每个元素存储k的阶乘k！的一位数字，并从低位到高位依次存于数组的第二个元素、第三个元素……。例如，5！=120，在数组中的存储形式为：
3 0 2 1 ……
首元素3表示长整数是一个3位数，接着是低位到高位依次是0、2、1，表示成整数120。
计算阶乘k！可采用对已求得的阶乘(k-1)！连续累加k-1次后求得。例如，已知4！=24，计算5！，可对原来的24累加4次24后得到120。细节见以下程序。
# include <stdio.h>
# include <malloc.h>
# define MAXN 1000
void pnext(int a[ ],int k)
{ int *b,m=a[0],i,j,r,carry;
b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1));
for ( i=1;i<=m;i++) b[i]=a[i];
for ( j=1;j<=k;j++)
{ for ( carry=0,i=1;i<=m;i++)
{ r=(i<a[0]?a[i]+b[i]:a[i])+carry;
a[i]=r%10;
carry=r/10;
}
if (carry) a[++m]=carry;
}
free(b);
a[0]=m;
}
void write(int *a,int k)
{ int i;
printf(“%4d！=”,k);
for (i=a[0];i>0;i--)
printf(“%d”,a[i]);
printf(“\n\n”);
}
void main()
{ int a[MAXN],n,k;
printf(“Enter the number n: “);
scanf(“%d”,&n);
a[0]=1;
a[1]=1;
write(a,1);
for (k=2;k<=n;k++)
{ pnext(a,k);
write(a,k);
getchar();
}
}
2.递归
递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。
能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。
【问题】 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。
斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>1时）。
写成递归函数有：
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。
在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。
在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。
由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。
【问题】 组合问题
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为： （1）5、4、3 （2）5、4、2 （3）5、4、1
（4）5、3、2 （5）5、3、1 （6）5、2、1
（7）4、3、2 （8）4、3、1 （9）4、2、1
（10）3、2、1
分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。
【程序】
# include <stdio.h>
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
3.回溯法
回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。
【问题】 组合问题
问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：
（1） a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；
（2） a[i]-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：
首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：
【程序】
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int r)
{ int i,j;
i=0;
a[i]=1;
do {
if (a[i]-i<=m-r+1
{ if (i==r-1)
{ for (j=0;j<r;j++)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“\n”);
}
a[i]++;
continue;
}
else
{ if (i==0)
return;
a[--i]++;
}
} while (1)
}
main()
{ comb(5,3);
}
4.贪婪法
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。
例如平时购物找钱时，为使找回的零钱的硬币数最少，不考虑找零钱的所有各种发表方案，而是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各币种，先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。这就是在使用贪婪法。这种方法在这里总是最优，是因为银行对其发行的硬币种类和硬币面值的巧妙安排。如只有面值分别为1、5和11单位的硬币，而希望找回总额为15单位的硬币。按贪婪算法，应找1个11单位面值的硬币和4个1单位面值的硬币，共找回5个硬币。但最优的解应是3个5单位面值的硬币。
【问题】 装箱问题
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下：
{ 输入箱子的容积；
输入物品种数n；
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积；
预置已用箱子链为空；
预置已用箱子计数器box_count为0；
for (i=0;i<n;i++)
{ 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
if （已用箱子都不能再放物品i）
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子；
box_count++；
}
else
将物品i放入箱子j；
}
}
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。
【程序】
# include <stdio.h>
# include <stdlib.h>
typedef struct ele
{ int vno;
struct ele *link;
} ELE;
typedef struct hnode
{ int remainder;
ELE *head;
Struct hnode *next;
} HNODE;
void main()
{ int n, i, box_count, box_volume, *a;
HNODE *box_h, *box_t, *j;
ELE *p, *q;
Printf(“输入箱子容积\n”);
Scanf(“%d”,&box_volume);
Printf(“输入物品种数\n”);
Scanf(“%d”,&n);
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”);
For (i=0;i<n;i++) scanf(“%d”,a+i);
Box_h=box_t=NULL;
Box_count=0;
For (i=0;i<n;i++)
{ p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE));
p->vno=i;
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next)
if (j->remainder>=a[i]) break;
if (j==NULL)
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE));
j->remainder=box_volume-a[i];
j->head=NULL;
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j;
else box_t=boix_t->next=j;
j->next=NULL;
box_count++;
}
else j->remainder-=a[i];
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);
if (q==NULL)
{ p->link=j->head;
j->head=p;
}
else
{ p->link=NULL;
q->link=p;
}
}
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count);
printf(“各箱子装物品情况如下：”);
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++)
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder);
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link)
printf(“%4d”,p->vno+1);
printf(“\n”);
}
}
5.分治法
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模N有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算；n=2时，只要作一次比较即可排好序；n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
如果原问题可分割成k个子问题（1<k≤n），且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
（1）分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
（2）解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；
（3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
6.动态规划法
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。
为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。以下先用实例说明动态规划方法的使用。
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
代码如下：
# include <stdio.h>
# include <string.h>
# define N 100
char a[N],b[N],str[N];
int lcs_len(char *a, char *b, int c[ ][ N])
{ int m=strlen(a), n=strlen(b), i,j;
for (i=0;i<=m;i++) c[i][0]=0;
for (i=0;i<=n;i++) c[0][i]=0;
for (i=1;i<=m;i++)
for (j=1;j<=m;j++)
if (a[i-1]==b[j-1])
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1])
c[i][j]=c[i-1][j];
else
c[i][j]=c[i][j-1];
return c[m][n];
}
char *buile_lcs(char s[ ],char *a, char *b)
{ int k, i=strlen(a), j=strlen(b);
k=lcs_len(a,b,c);
s[k]=’\0’;
while (k>0)
if (c[i][j]==c[i-1][j]) i--;
else if (c[i][j]==c[i][j-1]) j--;
else { s[--k]=a[i-1];
i--; j--;
}
return s;
}
void main()
{ printf (“Enter two string（<%d）!\n”,N);
scanf(“%s%s”,a,b);
printf(“LCS=%s\n”,build_lcs(str,a,b));
}
7.迭代法
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
（1） 选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2） 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；
（3） 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为：
程序如下：
【算法】迭代法求方程组的根
{ for (i=0;i<n;i++)
x[i]=初始近似根;
do {
for (i=0;i<n;i++)
y[i] = x[i];
for (i=0;i<n;i++)
x[i] = gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)
if (fabs(y[i]-x[i])>delta) delta=fabs(y[i]-x[i])； } while (delta>Epsilon)；
for (i=0;i<n;i++)
printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x[i])；
printf(“\n”)；
} 具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；
（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
8.穷举搜索法
穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。
【问题】 将A、B、C、D、E、F这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。如图就是一个解。
程序引入变量a、b、c、d、e、f，并让它们分别顺序取1至6的整数，在它们互不相同的条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。程序如下：
# include <stdio.h>
void main()
{ int a,b,c,d,e,f;
for (a=1;a<=6;a++) {
for (b=1;b<=6;b++) {
if (b==a) continue;
for (c=1;c<=6;c++) {
if (c==a)||(c==b) continue;
for (d=1;d<=6;d++) {
if (d==a)||(d==b)||(d==c) continue;
for (e=1;e<=6;e++) {
if (e==a)||(e==b)||(e==c)||(e==d) continue;
f = 21-(a+b+c+d+e);
if ((a+b+c==c+d+e))&&(a+b+c==e+f+a)) {
printf(“%6d,a);
printf(“%4d%4d”,b,f);
printf(“%2d%4d%4d”,c,d,e);
scanf(“%*c”);
}
}
}
}
}
}}
按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。如问题改成有9个变量排成三角形，每条边有4个变量的情况，程序的循环重数就要相应改变。
‘伍’ box-muller的概述
Box-Muller 算法隐含的原理非常深奥，但结果却是相当简单。它一般是要得到服从正态分布的随机数，基本思想是先得到服从均匀分布的随机数再将服从均匀分布的随机数转变为服从正态分布。
‘陆’ C语言程序设计推箱子算法
#include"stdio.h"
#include"bios.h"
#define LEFT 75
#define RIGHT 77
#define UPPER 72
#define DOWN 80
#define ESC 27
struct Boxss /*定义箱子结构体,其中包含坐标属性*/
{
int x,y;
};
union keyboard /*定义读取键盘码的共用体类型*/
{
unsigned int iKeyInfo;
char chKeyBit[2];
};
int fnGetKey(void) /*定义读取键盘码的函数*/
{
union keyboard uniKey1; /*定义读取键盘码的共用体变量*/
while(bioskey(1)==0); /*检测用户是否按键*/
uniKey1.iKeyInfo=bioskey(0); /*读取按键信息*/
return(uniKey1.chKeyBit[0]==0?uniKey1.chKeyBit[1]:uniKey1.chKeyBit[0]); /*返回ASCII码或扩充码*/
}
void main()
{
int iKey,x=11,y=6,tx=11,ty=6; /*x,y为人物移动后坐标,tx,ty为人物移动前坐标*/
struct Boxss Box[4]; /*定义箱子数量*/
int chMap[10][10]={ /*用二维数组定义地图*/
{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}, /*0表示墙1表示路2表示目标*/
{0,1,0,0,0,0,1,1,1,0},
{0,1,0,2,0,0,1,0,1,0},
{0,1,0,1,0,0,1,0,1,0},
{0,1,1,1,0,0,1,0,1,0},
{0,1,0,0,0,0,1,0,1,0},
{0,1,1,1,1,1,1,0,1,0},
{0,1,0,1,0,0,0,0,2,0},
{0,2,0,1,1,1,1,2,0,0},
{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
};
int i,j;
Box[0].x=13; /*定义箱子的坐标属性*/
Box[1].x=11;
Box[2].x=14;
Box[3].x=18;
Box[0].y=8;
Box[1].y=7;
Box[2].y=13;
Box[3].y=7;
while(1) /*反复进行求移动的坐标运算*/
{
for(i=0;i<10;i++) /*输出新地图(刷新地图)*/
{
gotoxy(10,5+i);
for(j=0;j<10;j++)
{
if(chMap[i][j]==0)
printf("#");
if(chMap[i][j]==1)
printf(" ");
if(chMap[i][j]==2)
printf("X");
}
}
j=0; /*判断是否所有箱子都在目标坐标上*/
for(i=0;i<4;i++)
if(chMap[Box[i].y-5][Box[i].x-10]==2)
j++;
if(j==4) /*如果所有箱子都就位输出"YOU WIN!"退出*/
{
clrscr();
printf("You Win!");
break;
}
for(i=0;i<4;i++) /*在起始(或移动后)的坐标输出箱子*/
{
gotoxy(Box[i].x,Box[i].y);
printf("0");
}
gotoxy(x,y); /*在起始(或移动后)的坐标输出人*/
printf("*\b");
tx=x; /*记录本次移动前的坐标*/
ty=y;
iKey=fnGetKey();
if(iKey==LEFT&&chMap[y-5][x-1-10]!=0) /*按读取的按键信息改变坐标如果改变的坐标和墙(0)重合则不改变*/
x--;
if(iKey==RIGHT&&chMap[y-5][x+1-10]!=0)
x++;
if(iKey==UPPER&&chMap[y-1-5][x-10]!=0)
y--;
if(iKey==DOWN&&chMap[y+1-5][x-10]!=0)
y++; /*输入ESC退出并输出"YOU LOST"*/
if(iKey==ESC)
{
clrscr();
printf("You Lost");
break;
}
for(i=0;i<4;i++) /*如果移动后的人的坐标与箱子坐标重合,则改变箱子坐标向前一格*/
if(Box[i].x==x&&Box[i].y==y)
{
Box[i].x+=(x-tx);
Box[i].y+=(y-ty);
if(chMap[Box[i].y-5][Box[i].x-10]==0) /*如果移动后的箱子坐标会出现在墙上,则使箱子坐标和人坐标都返回移动前的值*/
{
Box[i].x-=(x-tx);
Box[i].y-=(y-ty);
x=tx;
y=ty;
}
break;
}
clrscr();
}
getch();
}
‘柒’ C语言问题
#define N 15
#include"stdio.h"
#include"string.h"
/*冒泡法排序*/
void sequence(int box[])
{ int i,j,temp;
for(i=N-1;i>0;i--)
for(j=0;j<i;j++)
if(box[j]>box[j+1]) {temp=box[j];box[j]=box[j+1];box[j+1]=temp;}
}
/*二分法查找算法*/
int search(int box[],int x,int l)
{ if(l==0||l==N-1) {printf("Not exist this number!");return 0;}
if(x==box[l]) {printf("Local is %d",l+1);return 0;}
else if(x<box[l]) {l/=2;search(box,x,l);}/*递归算法*/
else {l=(l+N)/2;search(box,x,l);}/*递归算法*/
}
main()
{ int box[N],i,a,len=N;
for(i=0;i<N;i++)
scanf("%d",box+i);printf("\n");
sequence(box);
for(i=0;i<N;i++)
printf("%d ",box[i]);printf("\n");
printf("input a number to search:");
scanf("%d",&a);printf("\n");
if(len%2) len/=2;else len=len/2+1;
search(box,a,len);
getch();
}
‘捌’ C语言 动态规划 完全装箱问题
【问题】 装箱问题
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编号为0、1、…、n-1的n种物品，体积分别为v0、v1、…、vn-1。将这n种物品装到容量都为V的若干箱子里。约定这n种物品的体积均不超过V，即对于0≤i＜n，有0＜vi≤V。不同的装箱方案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求使装尽这n种物品的箱子数要少。
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解，但还是能找到非常好的解。不失一般性，设n件物品的体积是按从大到小排好序的，即有v0≥v1≥…≥vn-1。如不满足上述要求，只要先对这n件物品按它们的体积从大到小排序，然后按排序结果对物品重新编号即可。装箱算法简单描述如下：
{ 输入箱子的容积；
输入物品种数n；
按体积从大到小顺序，输入各物品的体积；
预置已用箱子链为空；
预置已用箱子计数器box_count为0；
for (i=0;i { 从已用的第一只箱子开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
if （已用箱子都不能再放物品i）
{ 另用一个箱子，并将物品i放入该箱子；
box_count++；
}
else
将物品i放入箱子j；
}
}
上述算法能求出需要的箱子数box_count，并能求出各箱子所装物品。下面的例子说明该算法不一定能找到最优解，设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。按上述算法计算，需三只箱子，各箱子所装物品分别为：第一只箱子装物品1、3；第二只箱子装物品2、4、5；第三只箱子装物品6。而最优解为两只箱子，分别装物品1、4、5和2、3、6。
若每只箱子所装物品用链表来表示，链表首结点指针存于一个结构中，结构记录尚剩余的空间量和该箱子所装物品链表的首指针。另将全部箱子的信息也构成链表。以下是按以上算法编写的程序。
【程序】
# include
# include
typedef struct ele
{ int vno;
struct ele *link;
} ELE;
typedef struct hnode
{ int remainder;
ELE *head;
Struct hnode *next;
} HNODE;
void main()
{ int n, i, box_count, box_volume, *a;
HNODE *box_h, *box_t, *j;
ELE *p, *q;
Printf(“输入箱子容积\n”);
Scanf(“%d”,&box_volume);
Printf(“输入物品种数\n”);
Scanf(“%d”,&n);
A=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
Printf(“请按体积从大到小顺序输入各物品的体积：”);
For (i=0;i Box_h=box_t=NULL;
Box_count=0;
For (i=0;i { p=(ELE *)malloc(sizeof(ELE));
p->vno=i;
for (j=box_h;j!=NULL;j=j->next)
if (j->remainder>=a[i]) break;
if (j==NULL)
{ j=(HNODE *)malloc(sizeof(HNODE));
j->remainder=box_volume-a[i];
j->head=NULL;
if (box_h==NULL) box_h=box_t=j;
else box_t=boix_t->next=j;
j->next=NULL;
box_count++;
}
else j->remainder-=a[i];
for (q=j->next;q!=NULL&&q->link!=NULL;q=q->link);
if (q==NULL)
{ p->link=j->head;
j->head=p;
}
else
{ p->link=NULL;
q->link=p;
}
}
printf(“共使用了%d只箱子”，box_count);
printf(“各箱子装物品情况如下：”);
for (j=box_h,i=1;j!=NULL;j=j->next,i++)
{ printf(“第%2d只箱子，还剩余容积%4d，所装物品有；\n”,I,j->remainder);
for (p=j->head;p!=NULL;p=p->link)
printf(“%4d”,p->vno+1);
printf(“\n”);
}
}
‘玖’ 如何产生正态分布的随机数
这个要看你的具体需求，有几种方法可以推荐。
首先最简单：rejection sampling,思维方式非常简单,容易实现,但效率很差更复杂:逆提供,直接使用累积分布函数的逆函数(CDF)生成随机数,但涉及更复杂的计算误差函数的小块土地(非初等函数)更好:盒子-穆勒算法,生成在很长一段时间的正态分布随机数的“标准”算法。
所以不管是那种算法，都需要你去花些功夫来了解一下，是不是适合自己，是不是适合去解决现在自己正在面临的问题，毕竟别的经验都只是一些参考。在自己的实践中逐步去发现自己的问题，找到最适合自己的很重要