原始的算法

‘壹’ 黄金分割法 0.618 0.191 0.809 0.109 这些数的原始算法

黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。

发现历史
由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。

公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论着。

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此着书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。

到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最着名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。

|..........a...........|

+-------------+--------+ -
| | | .
| | | .
| B | A | b
| | | .
| | | .
| | | .
+-------------+--------+ -

|......b......|..a-b...|
通常用希腊字母 表示这个值。

黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
确切值为根号5+1/2
黄金分割率是由何而来的？先让我们看一组奇异数字的序列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……这组数字序列被称为费波纳次级数，它具有如下一些特点：

(1)相连的两个数字之和等于它们之后的数字。如1＋1＝2，2＋3＝5，……

(2)除最初两项猓扛鍪直黄淝暗诙钍殖涛?，而余数等于除数之前的一项数字。如：8÷3＝2余2，13÷5＝2余3。

(3)除最前面的4项外，每个数字与其后项数字之比近似等于0.618。如：13÷21≈0.618，21÷34≈0.618。

(4)除前4项外，每个数字与其前项数字之比近似等于1.618。如：13÷8≈1.618，21÷13≈1.618

(5)除前面的4项外，每个数字与其前第二项数字之比近似等于2.618，与其后第二项数字之比近似等于0.382。如：13÷5≈2.618,13÷34≈0.382。

(6)上述(3)(4)中的0.618与1.618相乘，将返回级数原点1。这组数字也被称为神秘数字，而0.618和0.382就叫做黄金分割率。

另外，上述奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0.618和0.382外，还存在下列两组神秘比值，即：

(1)0.191，0.382，0.5，0.618，0.809

(2)1，1.382，1.5，1.618，2，2.382，2.618……

黄金分割率作为一种技术指标在股价预测中应用的方法是这样的：我们以股价近期走势中重要的峰位或底位即重要的高点或低点为估测走势的基础，当股价上涨时，取底位股价作基数，其涨幅在接近黄金分割率，如0.382或0.618时，比较容易遇到阻力；当股价下跌时，则取峰位股价作基数，其跌幅在达到某一黄金分割率时，比较容易受到支撑。当行情接近尾声，股价发生急升或急跌后其涨跌幅达到某一重要黄金比时，情况可能发生转势。而当行情转势后，无论是止跌转升还是止升转跌，已近期走势中近期的峰位和底位之间的涨跌差额作为计量基数，将原涨跌幅按0.191,0.382,0.5,0.618,0.809分割完5个黄金点，股价在反转后的走势后将有可能在这些黄金点上遇到暂时的阻力或支撑。

由于黄金分割率所包含的某些特殊意义并没有系统理论作为依据，所以带有些神秘色彩。有人认为那纯粹是种巧合，不该密性它。不过大量的事实表明，黄金分割率符合一定的统计规律。黄金分割率还被艾略特波浪理论套用，成为被投资者广泛采用的世界闻名的波浪理论典范。

‘贰’ 极限最原始的算法

1\根据极限的定义求
2、利用重要的极限求
3、运用求极限的运算公式求

‘叁’ 求解原始问题和对偶问题常用的优化算法有哪些

1. 支持向量机的目的是什么？
对于用于分类的支持向量机来说，给定一个包含正例和反例（正样本点和负样本点）的样本集合，支持向量机的目的是寻找一个超平面来对样本进行分割，把样本中的正例和反例用超平面分开，但是不是简单地分看，其原则是使正例和反例之间的间隔最大。
超平面是什么呢？简单地说，超平面就是平面中的直线在高维空间中的推广。那么，对于三维空间，超平面就是平面了。对于更高维的空间，我们只能用公式来表达，而缺少直观的图形了。总之，在n维空间中的超平面是n-1维的。
超平面的公式为。公式中的w为可以调整的系数向量，b为bias。注意我们的表达习惯，所有的向量都是列向量，所以在第一项的内积中向量w需要进行转置。
现在考虑样本集合{xi，di}，xi是输入的特征，di是样本对应的分类。现在规定当样本xi属于第一类时，di为1，当xi属于第二类时，di为-1。
那么，线性可分的意思就是一个超平面可以把两类样本完全地分割开来。用公式表达就是：

你现在可能会问，那么如果不是线性可分的情况应该怎么办呢？事实是这些会在后面处理到。在这里我们首先讨论线性可分的情况，然后将其拓展到线性不可分的情况.
现在假设对于线性可分的样本集，我们有了一个分割超平面，现在我们想通过调整w0和b0让它分割的正样本和负样本保持最大的间隔，这样我们就获得了最优的超平面。实际上在操作过程中，我们最大化的是离超平面最近的点到超平面的距离。也就是说，我们要让超平面尽量远离最近的点。从图中可见超平面到正样本最近点的距离和超平面到负样本最近点的距离是相等的。这是个巧合么？
假设我们已经找到了一个超平面，它离正样本最近点的距离大于离负样本最近点的距离，那么这个离超平面最近的点就是负样本中的最近点。而考虑到我们的目标，我们还会调整超平面的位置使它还可以增大一些，即使这样会牺牲离正样本最近点的距离。所以调整到最后的结果肯定是超平面离两侧最近点的距离是等距的。

为了更形象地表现正负样本的间隔，我们可以在分割超平面的两侧再定义两个超平面H1和H2（如图中虚线所示），这两个超平面分别通过正样本和负样本中离分割超平面最近的样本点（图中加了外圈）。从以上分析可以知道，超平面H1和H2离分割超平面是等距的。
我们定义超平面H1和H2上面的点叫做支持向量。正负样本的间隔可以定义为超平面H1和H2之间的间隔，它是分割超平面距最近正样本点距离和最近负样本点距离之和。
从图中可以看出，支持向量对于分割超平面的位置是起到关键作用的。在优化分割超平面位置之后，支持向量也显露出来，而支持向量之后的样本点则对分类并不关键。为什么这样说呢？因为即使把支持向量以外的样本点全部删除，再找到最优的分割超平面，这个超平面的位置跟原先的分割超平面的位置也是一样的。总结起来就是：
支持向量包含着重构分割超平面所需要的全部信息！
2. 样本点到超平面距离的表示
如何求一点到超平面的距离呢？
现在我们来看看系数向量w0是什么含义？回忆一下，w0实际上是超平面的法向量！
那么，对于任意一个样本点x，它可以表示为：

其中xp是x在超平面上的投影，r是x到超平面的几何距离（几何间隔）。
设 ，
现在由定义有g(xp)为0，则有。
现在我们开看，g(x)实际上度量了样本点x到超平面的距离，在||w0||恒定的情况下，g(x)绝对值的大小反映了几何间隔r的大小。我们给g(x)起个名字叫做函数间隔。注意几何间隔r和函数间隔g(x)都是有正负号的，代表着处于超平面的不同侧。

3. 最大化间隔
我们已经知道了函数间隔和几何间隔的表示，现在回到正题，我们需要最大化支持向量到分割超平面的距离，当然在最开始我们不知道哪些向量是支持向量。
我们的目的是最大化支持向量到分割超平面的几何间隔r，而不是最大化函数间隔g(x)，为什么呢？因为超平面方程的系数可以同比例增大或者减小，而不改变超平面本身。所以||w0||是不固定的，这就会影响函数间隔g(x)的大小。
所以我们需要最大化的是几何间隔r，这等价于我们固定||w0||，然后最大化函数间隔g(x)。但是实际上我们不会这么做，通常的处理方法是固定函数间隔g(x)的绝对值为1，然后最小化||w0||。也就是说我们把支持向量到分割超平面的函数间隔g(x)的绝对值设定为1，然后最小化||w0||。

4. 正式的表述
现在我们可以正式地表述这个问题了。我们需要最小化||w0||，也就是最小化超平面权重向量w0的欧几里得范数。但是有没有限定条件呢？还记得上一节最后一句话么？
“也就是说我们把支持向量到分割超平面的函数间隔g(x)设定为1，然后最小化||w0||”
所以最小化||w0||是有限定条件的，如何表述限制条件呢？我们把支持向量对应的g(x)定为+1或者-1（取决于支持向量处于分割超平面的哪一侧，也就是说是正样本还是负样本），也就表明了对于所有的正样本点来说，g(x)是>=+1的，而对于负样本来说，g(x)是<=-1的。
回想g(x)的定义：
，
我们可以把限制条件写下来：

现在我们可以把上面的问题写的更简练：
目标函数：

限制：

1/2是为了以后计算方便所加的，N是样本点的个数。
现在我们的第一个任务结束了，我们把要寻找最优的分割超平面的问题转化为带有一系列不等式约束的优化问题。这个最优化问题被称作原问题。我们不会直接解它，而是把它转化为对偶问题进行解决。至于如何将其转化为对偶问题，这是以后几节的内容。
等式约束极小的最优性条件
对支持向量机的求解都是将上节说的原问题转化为对偶问题进行求解的，这些内容都是最优化课程中的内容。
回忆上节的内容，我们的目标是寻找函数在若干约束条件下的最小值。在上节的原问题中，约束条件是包含不等式的，本节先考虑简单的问题，即考虑只包含等式约束的最优化问题：
（1）
其中f(x)被称作目标函数，而下面是一系列的等式约束。回想一下，当没有任何约束存在的时候，应该怎样寻找最优点呢？事实上x*是最优点的必要条件是：

而如果函数f(x)是凸函数的话，这个条件也是充分条件。
插入一个说明，如果函数f(x)是一个实值函数，x是一个n维向量，那么f(x)对向量x的导数被定义为：

回到目前的问题，当我们寻找约束存在时的最优点的时候，约束的存在虽然减小了需要搜寻的范围，但是却使问题变得更加复杂。为了使问题变得易于处理，我们的方法是把目标函数和约束全部融入一个新的函数，即拉格朗日函数，再通过这个函数来寻找最优点。
为了形象化地分析这个问题，我们考虑目标函数是三变量的函数并且只有一个约束的情况：
（2）
从几何上来看，上面的问题（2）就是从曲面上来寻找函数的最小值。假设问题（2）的最优解是。我们现在做曲面Ω上任一条通过点x的光滑曲线l：（由于曲线l是在曲面Ω上的，所以自然有）。
令最优点对应的t为t*。因为x*是曲面Ω上的最优点，所以x*也是曲线l上的最优点，所以t*是一元函数的最优点，所以在这一点它的导数是0。通过链式法则我们得到：

这个式子说明了在x*这一点，函数的梯度向量 和曲线l在x*处的切线是垂直的。由于曲线l是任意的，所以梯度向量和曲面Ω是垂直的。
回忆高等数学的结论，的方向就是曲面Ω的法线方向，所以和必然在同一直线的方向上，所以必定存在一个常数μ*，有。
我们可以把它写成更加精炼的形式。如果我们构造二元函数，上面的结论就可以表达为必定存在着常数μ*，使。
我们把构造的函数称作拉格朗日函数，而其中的μ称作拉格朗日乘子。

关于只有等式约束的拉格朗日函数的引入，也可以参考维基网络中的两个变量函数的例子。
以上是一个特殊情形的分析，并且只包含了一个约束。那么包含等式约束的一般情况，也就是问题（1）来说，我们同样可以构造拉格朗日函数，不过由于包括多个等式约束，表达稍微不同：
。
也就是说，每一个等式约束都对应着一个拉格朗日乘子。那么x*是最优点的必要条件就是，存在相应的拉格朗日乘子μ*，使得以下两个式子成立：
（实际上就是原问题（1）的约束条件换了种写法）
这两个式子就是最优点的必要条件，当然如果函数是凸函数的话，这两个式子也是充分条件。
现在我们的目标达到了，也就是把目标函数和一系列的等值约束融合到了一个函数（拉格朗日函数）里面，这样只需要解（3）和（4）这两个式子就可以找到最优点，其优点是不言而喻的。而在下一节中我们将会讨论包含不等式约束的最优化问题。
寻找最优值的下界
我们首先要引入包含不等式约束的优化问题，标准形式如下：
（1）
f(x)是目标函数，而后面分别是一系列的不等式约束和等式约束。
我们首先明确几个概念：
可行点（可行解）：所有满足约束的点x。
可行域：所有可行点组成的点集，记为R。正式写出来就是：

最优点（最优解）：满足约束（也就是处于可行域之内）并且使目标函数达到最小的点，记为x*。
最优值：如果找到了x*，p* = f(x*) 就是最优值。
明确了这些概念以后我们就接着说下面的内容了。
与上节所说的只包含等式约束的情况类似，我们定义拉格朗日函数如下：

我们来看看，这与上节的拉格朗日函数有什么不同？多了一系列的不等式约束对应的项，所以也多了一系列的拉格朗日乘子。在这里需要强调的是，所有的λi必须是大于等于0的（也即是不等式约束对应的乘子要求大于等于0，我们记为λ≥0，意思是每个都λi≥0）。至于为什么要这样要求，后面自然可以看出来。
接下来我们定义一个重要的函数，我们定义拉格郎日对偶函数（the Lagrange al function）如下：
（2）
所以拉格朗日对偶函数就是把看成x的函数所找到的最小值。找到这个最小值有什么意义呢？
我们先把结论写下来，这个结论十分重要，是本节论述的目的：
对偶函数产生了原问题（1）最优值p*的一个下界，也就是说，对于任意的λ≥0和任意的μ来说，有：
（3）
那么如何证明（3）呢？
这个证明步骤十分简洁。假设x*是原问题（1）中的最优解，也就是f(x*) = p*。

最后两行的推导是考虑到x*是在可行域R内的，所以肯定有，当然前提是λ≥0，这也就是为什么在一开始要做这个规定的原因了。
我们如何理解这个不等式（3）呢？下面给出两个直观的解释：
解释一：线性逼近的解释

我们首先重写问题（1），就是把问题（1）换个更加紧凑的方式来表达，首先我们定义示性函数：

同样我们也可以定义另外一个示性函数：

有了这两个示性函数的帮助，现在我们可以把问题（1）重新写成一个没有约束的形式：
（4）
我们来看看这个优化问题（4）和问题（1）是等价的么？我们可以把（4）的后面两大项看做是对违反约束条件的x的惩罚函数。起的作用是对违反不等式约束的x进行“无限的”惩罚，也就一旦，惩罚就等于无穷大。而起的作用是对违反等式约束的x进行惩罚，一旦，惩罚就为无穷大。这样对（4）中目标函数的优化跟对（1）中目标函数在约束条件下的优化就是同一回事，是不是？也就是说，（1）和（4）这两个问题是等价的问题，但是在（4）中约束被融合到目标函数中来了。

现在我们再回头看看（2），也就是拉格朗日对偶函数，它也是个优化问题，我们对比它所优化的函数和（4）中所优化的函数，把它们重写在一起：
（2）中的目标函数
（4）中的目标函数
可见在问题（2）和问题（4）中，我们优化的目标函数区别在于惩罚项不同，（4）中的惩罚项是无限的，就是说一旦违反约束，就施加无穷大的惩罚；而在（2）中我们的惩罚项是线性的，就是说随着gi(x)和hi(x)的不同，惩罚项是线性变化的。所以（2）和（4）中需要优化的目标函数有很大的不同，用（2）来逼近（4）是很不准确的。但是我们可以看出，对于任意的u，任意的λ≥0和任意的μ来说都有：
（我们把λ限制为大于等于0了）
所以在任意点，（2）中的目标函数的值都是小于（4）中的目标函数的值，所以（2）中找到的最优值肯定是小于（4）中找到的最优值的。再结合前面说的（1）和（4）是等价的问题，所以不等式（3）是成立的。

解释二：交换max和min的次序
我们首先可以看出：

为什么会有这个结果呢？当x满足约束的时候，也就是对所有的i来说有并且，如果我们想通过调整λ和μ让变大怎么办呢？只有让λ全部为0（注意λ只能大于等于0），这样就消去了小于0的项，至于，无论μ怎么变都是没有影响的。所以当x属于可行域的时候上式的结果是f(x)。如果x违反了约束呢？在做sup运算的时候只需要对满足和的项对应的乘子定为+∞，而把其他的项对应的乘子设为0，就可以让整个式子的结果变为无穷大。
所以我们可以看出来，在问题（1）中的带约束的优化问题和直接优化是一回事，也就是说：

现在我们把inf和sup两个运算符调换次序，显然有：

我们重写（2）式：
（2）
可以看出结论了，也就是λ≥0时（3）式成立：
（3）
好了，费了半天的劲我们说明了一个问题，就是不等式（3）是怎么来的。
总结一下，不等式（3）用文字叙述就是：
如果我们把拉格朗日函数看做是x的函数，然后取下确界（注意：是在整个定义域里取下确界，而不是仅仅在可行域里取值，也就是说取下确界时对x是没有约束的），那么得到的结果就是原优化问题（1）的最优值的一个下界。

至于我们得到这个结果有什么用，下节再说。
对偶问题
回忆上一节，对如下的原问题：
（1）
我们定义了拉格朗日对偶函数：

然后我们证明了：，其中p*是原问题的最优值。
也就是说我们找到了原问题最优值的一个下界。既然我们找到了一个下界，显然我们要找到它最好的下界。什么是最好的下界的？显然就是所有下界当中最大的那一个。所以我们要把最大化，当然我们还要记得我们需要限制。我们把要优化的函数和约束条件正式写下来就是：
（2）
与原问题（1）相对应，我们把上面的问题（2）称作拉格朗日对偶问题（Lagrange al problem）。显然，对偶问题的最优值d*就是我们可以获得的p*的最优下界，也就是所有下界中离p*最近的一个，它们的关系是：
（3）
我们把这个不等式叫做弱对偶性质（Weak Duality）。
顺其自然，我们可以引出一个重要的概念，对偶间隙，其定义为，用文字叙述就是原问题的最优值与通过拉个郎日对偶函数获得的其最好（最大）的下界之差。由不等式（3）可以看出，对偶间隙肯定是大于等于0的。
那么有没有可能在某种情况下，对偶间隙消失了呢？也就是说对偶问题的最优值与原问题的最优值相等了呢？
我们将要叙述一下Slater条件：
Slater条件：
存在x满足：
Slater条件即是说存在x，使不等式约束中的“小于等于号”要严格取到“小于号”。
可以证明，对于凸优化问题（关于凸优化问题，请参考维基网络），如果Slater条件满足了，则：

这种情况称为强对偶性质（Strong Duality）。
下面的问题是，如果对偶间隙消失了，会发生什么有趣的现象呢？
如果对偶间隙消失了，也就是说，如果对偶问题存在着最优点λ*,μ*并且使其对应的最优值等于p*，这时会发生什么情况呢？还记得上一节我们证明的过程么：
（4）
在对偶间隙消失的情况下，中间所有的不等号都要变成等号：
（5）
注意，（5）中的λ和μ都加了星号，表示它们是对偶问题的最优点。（5）中有两个重要的等号，已经加了标记。
我们能得出什么结论？
1 .我们先来看等号1：
它说明了原问题的最优点x*是使取得最小值的点。
2. 我们再来看等号2：
它说明了：

由于我们限制了每一个λi≥0，所以上式中每一项都是非正的。这样我们又可以得出结论：
(6)
等式（6）被称作是互补性条件，我们可以把它换种写法：

或者写成它的等价形式（逆否命题）：

也就是说，只要一个不为0，另一个就必为0！
互补性条件有着重要的意义。它说明了当时，x*是处于可行域的内部的，这时不等式约束并不起作用，此时；而的点肯定是可行域边界的点（）。也就是说只有积极约束才有不为0的对偶变量。而这在支持向量机中有着重要的意义。回想在第一节我们最后的结论，支持向量机寻找最大间隔超平面可以归结为一个优化问题：
目标函数：

限制：

那么哪些不等式约束对应着不为0的对偶变量呢？显然，只有当时，这个约束对应的对偶变量才可能不为0，而意味着什么？意味着这个约束对应的样本点xi是支持向量！也就是说：
只有支持向量才对应不为0的拉格朗日乘子！

‘肆’ 有人知道财务函数的原始公式（PV，FV，PMT，NPER）吗急求

PMT(rate,nper,pv,fv,type)
Rate 贷款利率。
Nper 该项贷款的付款总数。
Pv 现值，或一系列未来付款的当前值的累积和，也称为本金。
Fv 为未来值，或在最后一次付款后希望得到的现金余额，如果省略 fv，则假设其值为零，也就是一笔贷款的未来值为零。
Type 数字 0 或 1，用以指定各期的付款时间是在期初还是期末。
说明
PMT 返回的支付款项包括本金和利息，但不包括税款、保留支付或某些与贷款有关的费用。
应确认所指定的 rate 和 nper 单位的一致性。例如，同样是四年期年利率为 12% 的贷款，如果按月支付，rate 应为 12%/12，nper 应为 4*12；如果按年支付，rate 应为 12%，nper 为 4。

IF......根据对指定条件的逻辑判断的真假结果，返回相对应条件触发的计算结果

SUMIF....计算符合指定条件的单元格区域内的数值和
不太好用+,-,*,/,log等数学符号写的原始算法来表达的撒 ....

‘伍’ 原始社会的结绳记事是几进制算法

原始社会创始的以绳结形式反映客观经济活动及其数量关系的记录方式。结绳记事（计数）是被原始先民广泛使用的记录方式之一。文献记载：“上古结绳而治，后世圣人易以书契，百官以治，万民以察”（《易·系辞下》）。
上古无文字，结绳以记事。《易．系辞下》:"上古结绳而治，后世圣人易之以书契。"孔颖达疏:"结绳者，郑康成注云，事大大结其绳，事小小结其绳，义或然 也。"晋葛洪《抱朴子．钧世》:"若舟车之代步涉，文墨之改结绳，诸后作而善于前事。"后以指上古时代。
虽然目前末发现原始先民遗留下的结绳实物，但原始社会绘画遗存中的网纹图、陶器上的绳纹和陶制网坠等实物均提示出先民结网是当时渔猎的主要条件，因此，结绳记事（计数）作为当时的记录方式具有客观基础的。
奇普（Quipu或khipu）是古代印加人的一种结绳记事的方法，用来计数或者记录历史。它是由许多颜色的绳结编成的。这种结绳记事方法已经失传，目前还没有人能够了解其全部含义。

‘陆’ 初始本金算法怎么计算年利率

一、计算利息的基本公式 储蓄存款利息计算的基本公式为：利息=本金×存期×利率
二、利率的换算 年利率、月利率、日利率三者的换算关系是：年利率=月利率×12（月）=日利率×360（天）；月利率=年利率÷12（月）=日利率×30（天）；日利率=年利率÷360（天）=月利率÷30（天）。使用利率要注意与存期相一致。
三、计息起点 1、储蓄存款的计息起点为元，元以下的角分不计付利息。 2、利息金额算至厘位，实际支付时将厘位四舍五入至分位。 3、除活期储蓄年度结算可将利息转入本金生息外，其他各种储蓄存款不论存期如何，一律于支取时利随本清，不计复息。
四、存期的计算 1、计算存期采取算头不算尾的办法。 2、不论大月、小月、平月、闰月，每月均按30天计算，全年按360天 计算。 3、各种存款的到期日，均按对年对月对日计算，如遇开户日为到期月份所 缺日期，则以到期月的末日为到期日。
五、外币储蓄存款利息的计算 外币储蓄存款利率遵照中国人民银行公布的利率执行，实行原币储蓄，原币计息（辅币可按当日外汇牌价折算成人民币支付）。其计息规定和计算办法比照人民币储蓄办法。

‘柒’ 为什么中国古代数学会形成算法思想它对后世的影响如何

数学的发展包括了两大主要活动：证明定理和创造算法。定理证明是希腊人首倡，后构成数学发展中演绎倾向的脊梁；算法创造昌盛于古代和中世纪的中国、印度，形成了数学发展中强烈的算法倾向。统观数学的历史将会发现，数学的发展并非总是演绎倾向独占鳌头。在数学史上，算法倾向与演绎倾向总是交替地取得主导地位。古代巴比伦和埃及式的原始算法时期，被希腊式的演绎几何所接替，而在中世纪，希腊数学衰落下去，算法倾向在中国、印度等东方国度繁荣起来；东方数学在文艺复兴前夕通过阿拉伯传播到欧洲，对近代数学兴起产生了深刻影响。事实上，作为近代数学诞生标志的解析几何与微积分，从思想方法的渊源看都不能说是演绎倾向而是算法倾向的产物。

从微积分的历史可以知道，微积分的产生是寻找解决一系列实际问题的普遍算法的结果6。这些问题包括：决定物体的瞬时速度、求极大值与极小值、求曲线的切线、求物体的重心及引力、面积与体积计算等。从16世纪中开始的100多年间，许多大数学家都致力于获得解决这些问题的特殊算法。牛顿与莱布尼兹的功绩是在于将这些特殊的算法统一成两类基本运算——微分与积分，并进一步指出了它们的互逆关系。无论是牛顿的先驱者还是牛顿本人，他们所使用的算法都是不严格的，都没有完整的演绎推导。牛顿的流数术在逻辑上的瑕疵更是众所周知。对当时的学者来说，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的证明。这种倾向一直延续到18世纪。18世纪的数学家也往往不管微积分基础的困难而大胆前进。如泰勒公式，欧拉、伯努利甚至19世纪初傅里叶所发现的三角展开等，都是在很长时期内缺乏严格的证明。正如冯·诺伊曼指出的那样：没有一个数学家会把这一时期的发展看作是异端邪道；这个时期产生的数学成果被公认为第一流的。并且反过来，如果当时的数学家一定要在有了严密的演绎证明之后才承认新算法的合理性，那就不会有今天的微积分和整个分析大厦了。

现在再来看一看更早的解析几何的诞生。通常认为，笛卡儿发明解析几何的基本思想，是用代数方法来解几何问题。这同欧氏演绎方法已经大相径庭了。而事实上如果我们去阅读笛卡儿的原着，就会发现贯穿于其中的彻底的算法精神。《几何学》开宗明义就宣称：“我将毫不犹豫地在几何学中引进算术的术语，以便使自己变得更加聪明”。众所周知，笛卡儿的《几何学》是他的哲学着作《方法论》的附录。笛卡儿在他另一部生前未正式发表的哲学着作《指导思维的法则》(简称《法则》)中曾强烈批判了传统的主要是希腊的研究方法，认为古希腊人的演绎推理只能用来证明已经知道的事物，“却不能帮助我们发现未知的事情”。因此他提出“需要一种发现真理的方法”，并称之为“通用数学”(mathesis universakis)。笛卡儿在《法则》中描述了这种通用数学的蓝图，他提出的大胆计划，概而言之就是要将一切科学问题转化为求解代数方程的数学问题：

任何问题→数学问题→代数问题→方程求解而笛卡儿的《几何学》，正是他上述方案的一个具体实施和示范，解析几何在整个方案中扮演着重要的工具作用，它将一切几何问题化为代数问题，这些代数问题则可以用一种简单的、几乎自动的或者毋宁说是机械的方法去解决。这与上面介绍的古代中国数学家解决问题的路线可以说是一脉相承。

因此我们完全有理由说，在从文艺复兴到17世纪近代数学兴起的大潮中，回响着东方数学特别是中国数学的韵律。整个17—18世纪应该看成是寻求无穷小算法的英雄年代，尽管这一时期的无穷小算法与中世纪算法相比有质的飞跃。而从19世纪特别是70年代直到20世纪中，演绎倾向又重新在比希腊几何高得多的水准上占据了优势。因此，数学的发展呈现出算法创造与演绎证明两大主流交替繁荣、螺旋式上升过程：

演绎传统——定理证明活动

算法传统——算法创造活动

中国古代数学家对算法传统的形成与发展做出了毋容置疑的巨大贡献。

我们强调中国古代数学的算法传统，并不意味中国古代数学中没有演绎倾向。事实上，在魏晋南北朝时期一些数学家的工作中，已出现具有相当深度的论证思想。如赵爽勾股定理证明、刘徽“阳马”一种长方锥体体积证明、祖冲之父子对球体积公式的推导等等，均可与古希腊数学家相应的工作媲美。赵爽勾股定理证明示意图“弦图”原型，已被采用作2002年国际数学家大会会标。令人迷惑的是，这种论证倾向随着南北朝的结束，可以说是戛然而止。囿于篇幅和本文重点，对这方面的内容这里不能详述，有兴趣的读者可参阅参考文献3。

3 古为今用，创新发展

到了20世纪，至少从中叶开始，电子计算机的出现对数学的发展带来了深远影响，并孕育出孤立子理论、混沌动力学、四色定理证明等一系列令人瞩目的成就。借助计算机及有效的算法猜测发现新事实、归纳证明新定理乃至进行更一般的自动推理……，这一切可以说已揭开了数学史上一个新的算法繁荣时代的伟大序幕。科学界敏锐的有识之士纷纷预见到数学发展的这一趋势。在我国，早在上世纪50年代，华罗庚教授就亲自领导建立了计算机研制组，为我国计算机科学和数学的发展奠定了基础。吴文俊教授更是从70年代中开始，毅然由原先从事的拓扑学领域转向定理机器证明的研究，并开创了现代数学的崭新领域——数学机械化。被国际上誉为“吴方法”的数学机械化方法已使中国在数学机械化领域处于国际领先地位，而正如吴文俊教授本人所说：“几何定理证明的机械化问题，从思维到方法，至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻，”他的工作“主要是受中国古代数学的启发”。“吴方法”，是中国古代数学算法化、机械化精髓的发扬光大。

计算机影响下算法倾向的增长，自然也引起一些外国学者对中国古代数学中算法传统的兴趣。早在上世纪70年代初，着名的计算机科学家D.E.Knuth就呼吁人们关注古代中国和印度的算法5。多年来这方面的研究取得了一定进展，但总的来说还亟待加强。众所周知，中国古代文化包括数学是通过着名的丝绸之路向西方传播的，而阿拉伯地区是这种文化传播的重要中转站。现存有些阿拉伯数学与天文着作中包含有一定的中国数学与天文学知识，如着名的阿尔·卡西《算术之钥》一书中有相当数量的数学问题显示出直接或间接的中国来源，而根据阿尔·卡西本人记述，他所工作的天文台中就有不少来自中国的学者。

然而长期以来由于“西方中心论”特别是“希腊中心论”的影响以及语言文字方面的障碍，有关资料还远远没有得到发掘。正是为了充分揭示东方数学与欧洲数学复兴的关系，吴文俊教授特意从他荣获的国家最高科学奖中拨出专款成立了“吴文俊数学与天文丝路基金”，鼓励支持年轻学者深入开展这方面的研究，这是具有深远意义之举。

‘捌’ 古代人的计算方法有(3个)

1、结绳计数

结绳计数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来。

如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法。中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起。

有趣的是，不但我们东方有过结绳，西方也结过绳。看样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话。传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天。

为了让将士们不少守一天也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣。他对守桥的官兵们说：“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了。”

2、书契记数

书契记数是指古代记数结绳方法之后出现的记数方法。当时主要用于剩余粮食数量的记数。书契记数是用刻刀将数刻在兽骨、竹木、龟甲、土石崖上，以便长久保存，不易损坏。

书契记数记事记录方法一般是在原始社会的后期，汉代徐岳在《数术记遗》一书中，记明书契始于黄帝，有“十等”记法。

3、算筹

根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。

需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。而它们的发明，同样经历了一个漫长的历史发展过程。

4、珠算

珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，被誉为中国的第五大发明。

算盘是中国古代劳动人民发明创造的一种简便的计算工具。

2008年6月14日，安徽省黄山市屯溪区、中国珠算心算协会申报的珠算经国务院批准列入第二批国家级非物质文化遗产名录。

2013年12月4日，联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第八次会议在阿塞拜疆首都巴库通过决议，正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产名录。这也是中国第30项被列为非遗的项目。

5、割圆术

3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。

‘玖’ 原始股的算法

买的哪个股票

‘拾’ 第一次49选8，第二次49选7，两次不重复的概率多少最开始的原始公式算法

[C(49,7)×C(42,8)]/[C(49,7)×C(49,8)]

=C(42,8)]/C(49,8)