指数对数运算法则公式

发布时间: 2022-07-19 16:15:29

❶ 所有指数对数函数计算公式

指数计算公式：

①

(1)指数对数运算法则公式扩展阅读：

指数函数基本性质：

1、指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

2、指数函数的值域为(0， +∞)。

3、函数图形都是上凹的。

4、a>1时，则指数函数单调递增；若0<a<1，则为单调递减的

❷ 指数函数和对数函数的运算公式

1对数的概念
如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
由定义知：
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718
28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN.
2对数式与指数式的互化
式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)
3对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM
(n∈R).
问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0?
②logaan=?
(n∈R)
③对数式与指数式的比较.(学生填表)
式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数
b—
N—a—对数的底数
b—
N—运
算
性
质am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数
解题方法技巧
1
(1)将下列指数式写成对数式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.
（2）将下列对数式写成指数式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg0.01=-2；
⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.
解析由对数定义：ab=NlogaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解题方法
指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根据下列条件分别求x的值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?
(2)log5x=20=1.
x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x.
x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1，x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6，
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.
解题技巧
①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.
②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；
思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1.
解题技巧
有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4
设x,y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.
解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t,
则lgy=-t1+t(t≠-1).
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解题规律
对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.
∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;
(4)求7lg20·12lg0.7的值.
解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.
(2)转化为log32的关系式.
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系，能否从中求出ab的值呢?
(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，
设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx，再求x?
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2
(a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2,
即a2-5ab+4b2=0.
∴ab=1或ab=4，这里a>0,b>0.
若ab=1，则a-2b<0,
∴ab=1（
舍去）.
∴ab=4,
∴log2a-log2b=log2ab=log24=2.
(4)设x=7lg20·12lg0.7,则
lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12
=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)
=lg7+lg2=14,
∴x=14,
故原式=14.
解题规律
①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3).
②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4).6

❸ 指数对数的运算法则有哪些

1对数的概念如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.由定义知：①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.2对数式与指数式的互化式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM (n∈R).问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0?②logaan=?(n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运算性质am·an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破对数定义中,为什么要规定a＞0,且a≠1?理由如下：①若a＜0,则N的某些值不存在,例如log-28 ②若a=0,则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一,可以为任何正数 ③若a=1时,则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一,可以为任何正数 为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1 (1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=573.（2）将下列对数式写成指数式：①log1216=-4；②log2128=7； ③log327=x；④lg0.01=-2； ⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.解析由对数定义：ab=NlogaN=b.解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.③log327=x.④log135.73=m.解题方法指数式与对数式的互化,必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=NlogaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.2 根据下列条件分别求x的值：(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0； (3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.解析(1)对数式化指数式,得：x=8-23=?(2)log5x=20=1.x=?(3)31+log32=3×3log32=?27=x?(4)2+3=x-1=1x.x=?解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.(2)log5x=20=1,x=51=5.(3)logx27=3×3log32=3×2=6,∴x6=27=33=(3)6,故x=3.(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.解题技巧 ①转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式的相互转化.②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.解析思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值；思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值 解答解法一∵logax=4,logay=5,∴x=a4,y=a5,∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.解法二对所求

❹ 指数式化成对数式的公式

a^y=x→y=log(a)(x)
[y=log以a为底x的对数]。

如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

(4)指数对数运算法则公式扩展阅读
一、对数的运算法则：
1、log(a)
(M·N）=log(a)
M+log(a)
N
2、log(a)
(M÷N)=log(a)
M-log(a)
N
3、log(a)
M^n=nlog(a)
M
4、log(a)b*log(b)a=1
5、log(a)
b=log
(c)
b÷log
(c)
a
二、比较对数式的大小：
1、当底数为同一常数时，可直接利用对数函数的单调性进行比较；
2、当底数为同一字母时，可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
3、当底数不同、真数相同时，可转化为同底（利用换底公式）或利用函数的图象进行解决；
4、当不同底、不同真数时，可利用中间量（-1,0或1）进行比较。
参考资料来源：搜狗网络-对数

❺ 对数的运算法则及公式推导是什么

对数的运算法则及公式推导：

由指数和对数的互相转化关系可得出:

1、两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即

对数函数性质如下：

1、值域：实数集R，显然对数函数无界。

2、定点：函数图像恒过定点(1，0)。

3、单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数。

4、奇偶性：非奇非偶函数。

5、周期性：不是周期函数。

6、零点：x=1。

7、底数则要>0且≠1 真数>0，并且在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a>1时）；如果底数一样，真数越小，函数值越大（0<a<1时）。

❻ 指数运算的8个运算法则都有什么，要全的

八个公式：

1、y=c(c为常数) y'=0；

2、y=x^n y'=nx^(n-1)；

3、y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x；

4、y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x ；

5、y=sinx y'=cosx ；

6、y=cosx y'=-sinx ；

7、y=tanx y'=1/cos^2x ；

8、y=cotx y'=-1/sin^2x。

运算法则：

加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'

乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)

除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2

(6)指数对数运算法则公式扩展阅读

在某种情况下(基数>0，且不为1)，指数运算中的指数可以通过对数运算求解得到。

幂（n^m）中的n，或者对数（x=logaN）中的a（a>0且a不等于1）。

在指数函数的定义表达式中，在a^x前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。

当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在 x等于0的时候，y等于1。当0<a<1时，指数函数对于x的负数值迅速攀升，对于x的正数值非常平坦，在x等于0的时候，y等于1。

❼ 求指数和对数的所有运算公式...

①loga(mn)=logam+logan；
②loga(m/n)=logam－logan；
③对logam中m的n次方有=nlogam；
如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数
的底。定义：
若a^n=b(a>0且a≠1)
则n=log(a)(b)
基本性质：
1、a^(log(a)(b))=b
2、log(a)(mn)=log(a)(m)+log(a)(n);
3、log(a)(m÷n)=log(a)(m)-log(a)(n);
4、log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
5、log(a^n)m=1/nlog(a)(m)
推导：
1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、mn=m×n
由基本性质1(换掉m和n)
a^[log(a)(mn)]
=
a^[log(a)(m)]×a^[log(a)(n)]
由指数的性质
a^[log(a)(mn)]
=
a^{[log(a)(m)]
+
[log(a)(n)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(mn)
=
log(a)(m)
+
log(a)(n)
3、与（2）类似处理
m/n=m÷n
由基本性质1(换掉m和n)
a^[log(a)(m÷n)]
=
a^[log(a)(m)]÷a^[log(a)(n)]
由指数的性质
a^[log(a)(m÷n)]
=
a^{[log(a)(m)]
-
[log(a)(n)]}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(m÷n)
=
log(a)(m)
-
log(a)(n)
4、与（2）类似处理
m^n=m^n
由基本性质1(换掉m)
a^[log(a)(m^n)]
=
{a^[log(a)(m)]}^n
由指数的性质
a^[log(a)(m^n)]
=
a^{[log(a)(m)]*n}
又因为指数函数是单调函数，所以
log(a)(m^n)=nlog(a)(m)
基本性质4推广
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推导如下：
由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]
log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
换底公式的推导：
设e^x=b^m,e^y=a^n
则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
x=ln(b^m),y=ln(a^n)
得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
由基本性质4可得
log(a^n)(b^m)
=
[m×ln(b)]÷[n×ln(a)]
=
(m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
再由换底公式
log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]

❽ 求高中数学必修一指数对数的计算公式

对数的运算法则：

1、log(a) (M·N）=log(a) M+log(a) N

2、log(a) (M÷N)=log(a) M-log(a) N

3、log(a) M^n=nlog(a) M

4、log(a)b*log(b)a=1

5、log(a) b=log (c) b÷log (c) a

指数的运算法则：

1、[a^m]×[a^n]=a^(m＋n) 【同底数幂相乘,底数不变,指数相加】

2、[a^m]÷[a^n]=a^(m－n) 【同底数幂相除,底数不变,指数相减】

3、[a^m]^n=a^(mn) 【幂的乘方,底数不变,指数相乘】

4、[ab]^m=(a^m)×(a^m) 【积的乘方,等于各个因式分别乘方,再把所得的幂相乘】

指数对数运算法则公式

(8)指数对数运算法则公式扩展阅读

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