levinson算法

Ⅰ 求线性预测自相关法Levinson-Durbin算法或协方差法的C或C++实现

Syntax
r = rlevinson(a,efinal)
[r,u] = rlevinson(a,efinal)
[r,u,k] = rlevinson(a,efinal)
[r,u,k,e] = rlevinson(a,efinal)

Description
The reverse Levinson-Durbin recursion implements the step-down algorithm for solving the following symmetric Toeplitz system of linear equations for r, where r = [r(1) L r(p+1)] and r(i)* denotes the complex conjugate of r(i).

r = rlevinson(a,efinal) solves the above system of equations for r given vector a, where a = [1 a(2) L a(p+1)]. In linear prediction applications, r represents the autocorrelation sequence of the input to the prediction error filter, where r(1) is the zero-lag element. The figure below shows the typical filter of this type, where H(z) is the optimal linear predictor, x(n) is the input signal, is the predicted signal, and e(n) is the prediction error.

Input vector a represents the polynomial coefficients of this prediction error filter in descending powers of z.

The filter must be minimum phase to generate a valid autocorrelation sequence. efinal is the scalar prediction error power, which is equal to the variance of the prediction error signal, σ2(e).

[r,u] = rlevinson(a,efinal) returns upper triangular matrix U from the UDU* decomposition

where

and E is a diagonal matrix with elements returned in output e (see below). This decomposition permits the efficient evaluation of the inverse of the autocorrelation matrix, R-1.

Output matrix u contains the prediction filter polynomial, a, from each iteration of the reverse Levinson-Durbin recursion

where ai(j) is the jth coefficient of the ith order prediction filter polynomial (i.e., step i in the recursion). For example, the 5th order prediction filter polynomial is

a5 = u(5:-1:1,5)'
Note that u(p+1:-1:1,p+1)' is the input polynomial coefficient vector a.

[r,u,k] = rlevinson(a,efinal) returns a vector k of length (p+1) containing the reflection coefficients. The reflection coefficients are the conjugates of the values in the first row of u.

k = conj(u(1,2:end))
[r,u,k,e] = rlevinson(a,efinal) returns a vector of length p+1 containing the prediction errors from each iteration of the reverse Levinson-Durbin recursion: e(1) is the prediction error from the first-order model, e(2) is the prediction error from the second-order model, and so on.

These prediction error values form the diagonal of the matrix E in the UDU* decomposition of R-1.

Ⅱ 什么是Levinson算法

计算机方面的

Ⅲ AR模型的稳定性

AR（p）模型稳定的充分必要条件是H（z）的极点（即A（z）的根）都在单位圆内。如果Yule-Walker方程的系数矩阵是正定的，则其解a_k（k=1，2，…，p）所构成的A（z）的根都在单位圆内。在用Levinson算法进行递推计算的过程中，还可得到各阶AR模型激励信号的方差

（k=1，2，…，p），它们都应当是大于零的，即

。根据式（4-25）可知，必有｜γ_k+1｜＜1和

（k=1，2，…，p）。这就是说，在Levinson算法递推计算过程中，如果有

＜

或，｜γ_k+1｜＜1，则AR（p）模型一定是稳定的。反之，稳定的AR（p）模型将具有以下性质：

（1）H（z）的全部极点或A（z）的所有根都在单位圆内。

（2）自相关矩阵是正定的。

（3）激励信号的方差（能量）随阶次增加而递减，即

。

（4）反射系数的模恒小于1，即，γ_k＜1，k=1，2，…，p。

但在实际应用中，Levinson算法的已知数据（自相关值）是由x_N（n）来估计的，有限字长效应有可能造成大的误差，致使估计出来的AR（p）参数所构成的A（z）的根跑到单位圆上或外，从而使模型失去稳定。在递推计算过程中如果出现这种情况，将导致

或，｜γ_k｜≥1，即停止递推计算。

若将式（4-22）中的自相关矩阵R定为

地球物理信息处理基础

并记其行列式的值为detR_p+1。矩阵R_p+1与AR（p）模型稳定性的关系有以下三个结论。

结论1：如果R_p+1是正定的，那么，由Yule-Walker方程解出的a_k（k=1，2，…，p）构成的p阶AR模型是稳定的，且是唯一的。也即A（z）的零点都在单位圆内。此性质为AR模型的最小相位性质。

结论2：若x（n）由p个复正弦波组成，即

地球物理信息处理基础

式中：C_k、ω_k为常数；φ_k是在（-π，π）内均匀分布的零均值随机变量；x（n）的自相关函数为

地球物理信息处理基础

则由前p+1个值r_xx（0）、r_xx（1）、…、r_xx（p）组成的自相关矩阵R_p+1是奇异的，而R₁、R₂、…、R_p是正定的，即

det R_p+1=0，det R_k＞0 k=1，2，…，p （4-55）

结论2说明，一般情况下，若x（n）由复正弦波组成，R_M是其M×M的自相关矩阵，那么，当M＞p时，R_M的秩最大为p，即rankR_M=p，但若x（n）由p个实正弦波组成，则R_M的秩最大为2p。

结论3：若x（n）由p个正弦波组成（实的或复的），则x（n）是完全可以预测的，即预测误差为零。

结论2给出了R_p+1何时奇异、何时正定的条件，它和结论3一起揭示了正弦信号的某些性质。特别需要指出的是：用AR模型对纯正弦信号建模是不合适的，可能会出现自相关矩阵为奇异的情况。但是，在信号处理中经常要用正弦信号作为实验信号以检验某个算法或系统的性能。为了克服自相关矩阵奇异的情况，最常用的方法是给正弦信号加上白噪声，这样det R_p+1不会等于零。

Ⅳ 减少噪声的匹配滤波算法

（1）传统匹配滤波算法

Rickett et al.（2001）给出了匹配滤波简要的公式及算子长度设计标准，本节给出了更为详细的匹配 滤波公式，并给出推导公式基本条件和结果。

设同一地区不同时期Y1，Y2得到的地震数据分别为G^Y1（t），G^Y2（t），取Y1年份的地震记录为参

考地震道，使Y2年份相应的地震记录与之匹配。选取归一化算子p使得目标泛函：

海上时移地震油藏监测技术

极小。最终得到关于求解匹配滤波器｛P（m），m＝1，2，…，L｝的L个方程的方程组：

海上时移地震油藏监测技术

为意义更明确，对上面的公式进一步简化，令

海上时移地震油藏监测技术

上两式中：R_Y2Y2（m－n）为时间延迟为m－n的时期Y2地震记录在设计窗口中的自相关；R_Y1Y2（n）为时间延迟为n的时期Y1与时期Y2地震记录在设计窗口中的互相关，于是方程（4.8）可以进一步写成：

海上时移地震油藏监测技术

求解方程组（4.11）得到匹配滤波器算子｛P（m），m＝1，2，…，L｝，用

海上时移地震油藏监测技术

校正相应的地震剖面。通过实际数据处理结果验证了上述推导的正确性和方法的有效性。

方程（4.11）写成矩阵形式：

海上时移地震油藏监测技术

式中：M为时期Y2地震记录在设计窗口中的自相关序列组成的Toeplitz矩阵，R为时期Y1与时期Y2地 震记录在设计窗口中的互相关序列向量。求解方程（4.13）可采用Levinson递推算法，计算效率高。

为了减少噪音的影响，通常引入阻尼项，方程（4.13）变为

海上时移地震油藏监测技术

式中：μ为很小的数，通常为可设为0.01或0.001。

实际应用中，可以发现式（4.13）受噪声的影响很大，不稳定。虽然加入阻尼项后结果有所改善，但 如何选取合适阻尼因子又是一个难题。为此推导新的匹配滤波表达形式，寻求更稳健的求解方法。

（2）新匹配滤波公式

同样设同一地区不同时期Y1，Y2得到的地震数据分别为G^Y1（t），G^Y2（t），取Y1年份的地震记录 为参考地震道，使Y2年份相应的地震记录与之匹配。则匹配过程可描述为

海上时移地震油藏监测技术

其中M为G^Y2组成的褶积矩阵。如果设地震道的采样点数为n，设计滤波器f长度为m，M则为（2×n－1）×m矩阵，为保持矩阵维数相同，一种方法是将G^Y1后面补零为（2×n－1）×1向量，另一种方法是取 矩阵M的前n×m项。如果采用第一种方法，可以验证得到的公式与（4.13）式相同。在此采用后一种方 法，得到新的匹配滤波方程。只要设计滤波器f足够长，总能满足能量差e（f）最小，根据范数定义：

海上时移地震油藏监测技术

求解能量差e（f）最小问题可转化为

海上时移地震油藏监测技术

即对滤波因子向量求导，最终可归结为求解线性方程：

海上时移地震油藏监测技术

如果记A＝M^TM，b＝M^TG^Y1，方程（4.18）转化为

海上时移地震油藏监测技术

（4.19）式形式上与（4.13）式类似，内容不同，不再是Toeplitz矩阵，因此不能应用Levinson递推算法求解。因此，引入奇异值分解方法求解方程（4.19）。

（3）基于奇异值分解的匹配滤波算法

矩阵的奇异值分解，是矩阵计算中一套很有用的技术。它可以有效地处理系数矩阵是奇异的或者接 近奇异的方程组。对于矩阵A，如果A∈R^m×n，并且A的秩为r，总有

海上时移地震油藏监测技术

其中， V为正交阵。 ，并且 为A 的奇异值。

公式（4.20）即为矩阵A的奇异值分解，根据正交矩阵的性质：

海上时移地震油藏监测技术

很容易表示出矩阵A的逆矩阵

海上时移地震油藏监测技术

将式（4.22）带入式（4.19）中，得到滤波因子的表达式为

海上时移地震油藏监测技术

实际计算中，当A是奇异阵出现奇异值，或A接近奇异或病态矩阵时，（4.23）式的计算过程就无法进行。这时可将出现的奇异项 （σ_k是零，或者数值很小）简单地替换成零或很小的常数，通过这种方法能得 到方程稳定的解。

对于实际含有噪声的信号，信号能量主要分布在奇异值大的分量上，因此去除小奇异值同时能消除 噪声影响。通常可选取某一能量百分比的奇异值作为去除的阈值，以这种方式既能克服A接近奇异或病 态矩阵的影响，又能减小噪声的影响，使滤波因子稳健。

（4）模拟数据验证

模拟得到一组存在时间、振幅、频率、相位差异的信号，作为基测线与监测测线地震道，对监测测 线地震道加入不同比例的随机噪声，组成验正算法有效性的数据体，如图4.10所示。分别用传统的匹配 滤波方法和重新推导的基于奇异值分解的匹配滤波方法进行匹配处理，比较匹配后基测线与监测测线振 幅差异，结果见图4.11和图4.12。可以看出，传统匹配滤波公式的计算结果受噪声的影响很大，而基于 奇异值分解的匹配滤波方法具有很好的抗噪声能力。

图4.10 模拟地震记录（从上至下依次为加入0％，10％，20％，30％噪声的信号）

图4.11 传统方法匹配结果

图4.12 基于奇异值分解方法匹配结果

（5）实际数据验证

选择一块同一地区两次不同时间测得的两条二维测线；选取油藏上方时间长度为300ms的窗口作为 滤波因子设计窗口，并以抽取其中139道构成验证互均衡算法的数据体（图4.13，图4.14）。分别采用 传统匹配滤波公式与基于奇异值分解的匹配滤波两种方法进行校正。比较差异剖面的平均能量，结果见 图4.15。从图中可知基于奇异值分解的匹配滤波方法具有更好的抗噪声能力，匹配误差远小于传统匹配 滤波。

图4.13 某地区时间1地震记录

图4.14 某地区时间2地震记录

图4.15 两种匹配方法结果误差能量对比图

本节推导了新的匹配滤波方程，提出基于奇异值分解的匹配滤波算法，理论和实际数据都验证了该 方法有效性。这里从计算精度上比较两种匹配滤波算法，实际处理时移地震数据时还要考虑计算时间，此时寻求快速的奇异值分解算法是一种提高处理效率的方式，另外针对不同信噪比，将传统匹配滤波算 法与基于奇异值分解的匹配滤波算法结合应用同样是一种很好的方式。总之，基于奇异值分解的匹配滤 波提高了匹配精度，有利于为时移地震解释提供一致性更好的地震资料。

Ⅳ 现代数字信号处理的目录

第一章 基础知识
1.1 随机矢量
1.2 相关抵消
1.3 Gram-schidt正变化
1.3.1 基本定义
1.3.2 正交投影定理和Gram-schidt正变化
1.4 偏相关系数
1.5 功率谱和周期图
1.6 谱分解
1.6.1 最小相位序列
1.6.2 部分能量和最小时延
1.6.3 自相关函数的不变性
1.6.4 最小时延性质
1.6.5 最小相位性质
1.6.6 谱分解定理
1.7 信号的参数模型
习题
参考文献
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.1 维纳滤波的标准方程
2.2 维纳-霍夫方程的求解
2.2.1 FIR维纳滤波器
2.2.2 非因果IIR维纳滤波器
2.2.3 因果IIR维纳滤波器
2.3 维纳滤波的均方误差
2.4 因果IIR维纳滤波器的设计与计算
2.5 标量卡尔曼滤波器
2.6 矢量卡尔曼滤波器
2.6.1 信号矢量和数据矢量
2.6.2 矢量卡尔曼滤波器的递推计算公式
2.7 维纳滤波和卡尔曼滤波的计算和应用举例
2.7.1 维纳滤波器
2.7.2 卡尔曼滤波器
复习思考题
习题
参考文献
第三章 自适应滤波器
3.1 自适应滤波原理
3.2 自适应线性组合器
3.3 均方误差性能曲面
3.4 二次性能曲面的基本性质
3.5 最陡下降法
3.6 学习曲线和收敛速度
3.7 自适应的最小均方(LMS)算法
3.8 权矢量噪声
3.9 失调量
3.10 自适应的递归最小二乘方(RLS)算法
3.11 IIR递推结构自适应滤波器的LMS算法
3.12 自适应滤波器计算举例
3.13 自适应滤波器的数字实现
3.13.1 LMS算法自适应滤波器的直接实现
3.13.2 分布运算自适应滤波器
3.13.3 余数制自适应滤波器
3.14 最小二乘自适应滤波器
3.14.1 最小二乘滤波器的矢量空间分析
3.14.2 投影矩阵和正交投影矩阵
3.14.3 时间更新
3.15 最小二乘格形(LSL)自适应算法
3.15.1 前向预测和后向预测
3.15.2 预测误差滤波器的格形结构
3.15.3 LSL自适应算法
3.15.4 LSL自适应算法的性能
3.16 快速横向滤波(FTF)自适应算法
3.16.1 FTF算法涉及到的4个横向滤波器
3.16.2 横向滤波算子的时间更新
3.16.3 FTF自适应算法中的时间更新关系
3.16.4 FTF自适应算法流程
3.16.5 FTF自适应算法的性能
3.16.6 FTF算法计算量的进一步减少
3.17 自适应滤波器的应用
3.17.1 自适应系统模拟和辨识
3.17.2 自适应逆滤波
3.17.3 自适应干扰抵消
3.17.4 自适应预测
复习思考题
习题
参考文献
第四章 功率谱估计的现代方法
4.1 从经典谱估计到现代谱估计
4.2 谱估计的参数模型方法
4.3 AR模型的Yule—Walker方程
4.4 Levinson—Durbin算法
4.5 AR模型的稳定性及其阶的确定
4.6 AR谱估计的性质
4.6.1 AR谱估计隐含着自相关函数的外推
4.6.2 AR谱估计与最大熵谱估计等效
4.6.3 AR谱估计与线性预测谱估计等效
4.6.4 AR谱估计等效于最佳白化处理
4.6.5 AR谱估计的界
4.7 格形滤波器
4.8 AR模型参数提取方法
4.8.1 Yule—Walker法
4.8.2 协方差法
4.8.3 Burg法
4.9 AR谱估计的异常现象及其补救措施
4.9.1 虚假谱峰
4.9.2 谱线分裂
4.9.3 噪声对AR谱估计的影响
4.10 MA和ARMA模型谱估计
4.10.1 MA模型谱估计
4.10.2 ARMA模型谱估计
4.11 白噪声中正弦波频率的估计
4.11.1 最大似然法
4.11.2 修正协方差AR谱估计方法
4.11.3 特征分解频率估计
4.11.4 信号子空间频率估计
4.11.5 噪声子空问频率估计
复习思考题
习题
参考文献
第五章 同态信号处理
5.1 广义叠加原理
5.2 乘法同态系统
5.3 卷积同态系统
5.4 复倒谱定义
5.4.1 复对数的多值性问题
5.4.2 X(z)的解析性问题
5.5 复倒谱的性质
5.6 复倒谱的计算方法
5.6.1 按复倒谱定义计算
5.6.2 最小相位序列的复倒谱的计算
5.6.3 复对数求导数计算法
5.6.4 递推计算方法
复习思考题
习题
参考文献
第六章 高阶谱分析
6.1 三阶相关和双谱的定义及其性质
6.2 累量和多谱的定义及其性质
6.2.1 随机变量的累量
6.2.2 随机过程的累量
6.2.3 多谱的定义
6.2.4 累量和多谱的性质
6.3 累量和多谱估计
6.4 基于高阶谱的相位谱估计
6.5 基于高阶谱的模型参数估计
6.5.1 AR模型参数估计
6.5.2 MA模型参数估计
6.5.3 ARMA模型参数估计
6.6 利用高阶谱确定模型的阶
6.7 多谱的应用
复习思考题
第七章 小波分析
第八章 神经网络信号处理
第四章附录
第六章附录
第七章附录
第八章附录
部分习题参考答案
索引

Ⅵ Yule-Walker法

用最小平方时间平均准则代替集合平均准则，有

地球物理信息处理基础

式中：

；a_p0=1，由长度为p+1的预测误差滤波器单位冲激响应序列（1，a_p1，a_p2，…a_pp）与长度为N的数据序列（x（0），x（1），…，x（N-1））进行卷积得到。故序列

的长度为N+p。在计算卷积过程中，在数据段x_N（n）的两端，实际上添加了若干零采样值，即x_N（n）的第一个数据x（0）进入滤波器，滤波器便输出第一个误差信号采样值

（0）；直到只有x_N（n）的最后一个数据x（N-1）还留在滤波器中时，才输出最后一个误差信号采样值

。这说明，数据x（n）（0≤n≤N-1）是通过对无穷长数据序列x（n）（-∞≤n≤∞）加窗函数截断而得到的。将

代入式（4-74），得

地球物理信息处理基础

对式（4-75）两端求微分，并令其等于零，得

地球物理信息处理基础

该式可记为

地球物理信息处理基础

式中自相关序列

采用有偏估计

地球物理信息处理基础

因此，用时间平均最小化准则同样可以导出Yule-Walker方程组，利用Levinson-Durbin递推算法由k阶模型参数求k+1阶模型参数的计算公式（4-23）、（4-24）、（4-25）求出AR（p）模型参数，递推计算直到k+1=p为止，将模型参数代入式（4-27），即可计算功率。不过方程组中的R要用

取代。采样自相关矩阵

是正定的，因而能够保证所得到的预测误差滤波器是最小相位的，也就能保证反射系数的模值都小于1，这是使滤波器稳定的充要条件。图4-8所示的是用自相关法计算

的原理。

地球物理信息处理基础

Ⅶ 求杜宾算法的matlab程序

matlab自带有杜宾算法的函数：levinson
有自带的burg算法函数：arburg,pburg

窗口打：doc spectrum.burg
就能查到Burg spectrum

在窗口打edit levinson
就能查看函数levinson的源代码
其它类似

Ⅷ 现代数字信号处理及其应用的图书目录

第1章 离散时间信号与系统
1．1 离散时间信号与系统基础
1．1．1 离散时间信号的定义与分类
1．1．2 离散时间信号的差分和累加
1．1．3 离散时间系统定义及LTI特性
1．1．4 LTI离散时间系统响应——卷积和
1．1．5 离散时间信号相关函数及卷积表示
1．2 离散时间信号与系统的傅里叶分析
1．2．1 复指数信号通过LTI系统的响应
1．2．2 离散时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换
1．2．3 傅里叶变换的性质
1．2．4 离散时间系统频率响应与理想滤波器
1．2．5 离散时间信号的DFT和FFT
1．3 离散时间信号的Z变换
1．3．1 Z变换的概念
1．3．2 Z变换的性质
1．3．3 离散时间系统的z域描述——系统函数
1．3．4 离散时间系统的方框图和信号流图表示
1．4 LTI离散时间系统性能描述
1．4．1 系统的记忆性
1．4．2 系统的因果性
1．4．3 系统的可逆性
1．4．4 系统的稳定性和最小相位系统
1．4．5 线性相位系统与系统的群时延
1．5 离散时间系统的格型结构
1．5．1 全零点滤波器的格型结构
1．5．2 全极点滤波器的格型结构
1．6 连续时间信号的离散化及其频谱关系
1．7 离散时间实信号的复数表示
1．7．1 离散时间解析信号(预包络)
1．7．2 离散时间希尔伯特变换
1．7．3 离散时间窄带信号的复数表示(复包络)
1．8 窄带信号的正交解调与数字基带信号
1．8．1 模拟正交解调与采集电路原理
1．8．2 数字正交解调与采集电路原理
1．8．3 基带信号的随机相位与载波同步
1．9 多相滤波与信道化处理
1．9．1 横向滤波器的多相结构
1．9．2 信号的均匀信道化
1．9．3 基于多相滤波器组的信道化原理
习题
参考文献
第2章 离散时间平稳随机过程
2．1 离散时间平稳随机过程基础
2．1．1 离散时间随机过程及其数字特征
2．1．2 离散时间平稳随机过程及其数字特征
2．1．3 遍历性与统计平均和时间平均
2．1．4 循环平稳性的概念
2．1．5 随机过程间的独立、正交、相关
2．2 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质
2．2．1 自相关矩阵的定义
2．2．2 自相关矩阵的基本性质
2．2．3 自相关矩阵的特征值与特征向量的性质
2．3 离散时间平稳随机过程的功率谱密度
2．3．1 功率谱的定义
2．3．2 功率谱的性质
2．3．3 平稳随机过程通过LTI离散时间系统的功率谱
2．4 离散时间平稳随机过程的参数模型
2．4．1 Wold分解定理
2．4．2 平稳随机过程的参数模型
2．5 随机过程高阶累积量和高阶谱的概念
2．5．1 高阶矩和高阶累积量
2．5．2 高阶累积量的性质
2．5．3 高阶谱的概念
习题
参考文献
第3章 功率谱估计和信号频率估计方法
3．1 经典功率谱估计方法
3．1．1 BT法
3．1．2 周期图法
3．1．3 经典功率谱估计性能讨论
3．1．4 经典功率谱估计的改进
3．1．5 经典功率谱估计仿真实例及性能比较
3．2 平稳随机过程的AR参数模型功率谱估计
3．2．1 AR参数模型的正则方程
3．2．2 AR参数模型的Levinson-Durbin迭代算法
3．2．3 AR参数模型功率谱估计步骤及仿真实例
3．2．4 AR参数模型功率谱估计性能讨论
3．3 MA参数模型和ARMA参数模型功率谱估计原理
3．3．1 MA参数模型的正则方程
3．3．2 ARMA参数模型的正则方程
3．4 MVDR信号频率估计方法
3．4．1 预备知识：标量函数关于向量的导数和梯度的概念
3．4．2 MVDR滤波器原理
3．4．3 MVDR频率估计算法仿真实例
3．5 APES算法
3．5．1 APES算法原理
3．5．2 APES算法仿真实例
3．6 基于相关矩阵特征分解的信号频率估计
3．6．1 信号子空间和噪声子空间的概念
3．6．2 MUSIC算法
3．6．3 Root-MUSIC算法
3．6．4 Pisarenko谐波提取方法
3．6．5 ESPRIT算法
3．6．6 信号源个数的确定方法
3．7 谱估计在电子侦察中的应用实例
3．7．1 常规通信信号的参数估计
3．7．2 跳频信号的参数估计
习题
参考文献
第4章 维纳滤波原理及自适应算法
4．1 自适应横向滤波器及其学习过程
4．1．1 自适应横向滤波器结构
4．1．2 自适应横向滤波器的学习过程和工作过程
4．2 维纳滤波原理
4．2．1 均方误差准则及误差性能面
4．2．2 维纳-霍夫方程
4．2．3 正交原理
4．2．4 最小均方误差
4．2．5 计算实例1：噪声中的单频信号估计
4．2．6 计算实例2：信道传输信号的估计
4．3 维纳滤波器的最陡下降求解方法
4．3．1 维纳滤波的最陡下降算法
4．3．2 最陡下降算法的收敛性
4．3．3 最陡下降算法的学习曲线
4．3．4 最陡下降算法仿真实例
4．4 LMS算法
4．4．1 LMS算法原理
4．4．2 LMS算法权向量均值的收敛性
4．4．3 LMS算法均方误差的统计特性
4．4．4 LMS算法仿真实例
4．4．5 几种改进的LMS算法简介
4．5 多级维纳滤波器理论
4．5．1 输入向量满秩变换的维纳滤波
4．5．2 维纳滤波器降阶分解原理
4．5．3 维纳滤波器的多级表示
4．5．4 基于输入信号统计特性的权值计算步骤
4．5．5 一种阻塞矩阵的构造方法
4．5．6 基于观测数据的权值递推算法
4．5．7 仿真计算实例
习题
参考文献
第5章 维纳滤波在信号处理中的应用
5．1 维纳滤波在线性预测中的应用
5．1．1 线性预测器原理
5．1．2 线性预测与AR模型互为逆系统
5．1．3 基于线性预测器的AR模型功率谱估计
5．2 前后向线性预测及其格型滤波器结构
5．2．1 前后向线性预测器（FBLP）原理
5．2．2 FBLP的格型滤波器结构
5．2．3 Burg算法及其在AR模型谱估计中的应用
5．2．4 Burg算法功率谱估计仿真实验
5．3 信道均衡
5．3．1 离散时间通信信道模型
5．3．2 迫零均衡滤波器
5．3．3 基于MMSE准则的FIR均衡滤波器
5．3．4 自适应均衡及仿真实例
5．4 语音信号的线性预测编码
5．4．1 语音信号的产生
5．4．2 基于线性预测的语音信号处理
5．4．3 仿真实验
习题
参考文献
第6章 最小二乘估计理论及算法
6．1 预备知识：线性方程组解的形式
6．1．1 线性方程组的唯一解
6．1．2 线性方程组的最小二乘解
6．1．3 线性方程组的最小范数解
6．2 最小二乘估计原理
6．2．1 最小二乘估计的确定性正则方程
6．2．2 LS估计的正交原理
6．2．3 投影矩阵的概念
6．2．4 LS估计的误差平方和
6．2．5 最小二乘方法与维纳滤波的关系
6．2．6 应用实例：基于LS估计的信道均衡原理
6．3 用奇异值分解求解最小二乘问题
6．3．1 矩阵的奇异值分解
6．3．2 奇异值分解与特征值分解的关系
6．3．3 用奇异值分解求解确定性正则方程
6．3．4 奇异值分解迭代计算简介
6．4 基于LS估计的FBLP原理及功率谱估计
6．4．1 FBLP的确定性正则方程
6．4．2 用奇异值分解实现AR模型功率谱估计
6．5 递归最小二乘（RLS）算法
6．5．1 矩阵求逆引理
6．5．2 RLS算法原理
6．5．3 自适应均衡仿真实验
6．6 基于QR分解的递归最小二乘（QR-RLS）算法原理
6．6．1 矩阵的QR分解
6．6．2 QR-RLS算法
6．6．3 基于Givens旋转的QR-RLS算法
6．6．4 利用Givens旋转直接得到估计误差信号
6．6．5 QR-RLS算法的systolic多处理器实现原理
习题
参考文献
第7章 卡尔曼滤波
7．1 基于新息过程的递归最小均方误差估计
7．1．1 标量新息过程及其性质
7．1．2 最小均方误差估计的新息过程表示
7．1．3 向量新息过程及其性质
7．2 系统状态方程和观测方程的概念
7．3 卡尔曼滤波原理
7．3．1 状态向量的最小均方误差估计
7．3．2 新息过程的自相关矩阵
7．3．3 卡尔曼滤波增益矩阵
7．3．4 卡尔曼滤波的黎卡蒂方程
7．3．5 卡尔曼滤波计算步骤
7．4 卡尔曼滤波的统计性能
7．4．1 卡尔曼滤波的无偏性
7．4．2 卡尔曼滤波的最小均方误差估计特性
7．5 卡尔曼滤波的推广
7．5．1 标称状态线性化滤波
7．5．2 扩展卡尔曼滤波
7．6 卡尔曼滤波的应用
7．6．1 卡尔曼滤波在维纳滤波中的应用
7．6．2 卡尔曼滤波在雷达目标跟踪中的应用
7．6．3 α-β滤波的概念
7．6．4 卡尔曼滤波在交互多模型算法中的应用
7．6．5 卡尔曼滤波在数据融合中的应用
习题
参考文献
第8章 阵列信号处理与空域滤波
8．1 阵列接收信号模型
8．1．1 均匀线阵接收信号模型
8．1．2 任意阵列（共形阵）接收信号模型
8．1．3 均匀矩形阵接收信号模型
8．1．4 均匀圆阵接收信号模型
8．2 空间谱与DOA估计
8．3 基于MUSIC算法的信号DOA估计方法
8．3．1 MUSIC算法用于信号DOA估计
8．3．2 仿真实例
8．4 信号DOA估计的ESPRIT算法
8．4．1 ESPRIT算法用于信号DOA估计的原理
8．4．2 仿真实例
8．5 干涉仪测向原理
8．5．1 一维相位干涉仪测向原理
8．5．2 二维相位干涉仪
8．6 空域滤波与数字波束形成
8．6．1 空域滤波和阵方向图
8．6．2 数字自适应干扰置零
8．7 基于MVDR算法的DBF方法
8．7．1 MVDR波束形成器原理
8．7．2 QR分解SMI算法
8．7．3 MVDR波束形成器实例
8．7．4 LCMV波束形成器简介
8．7．5 LCMV波束形成器的维纳滤波器结构
8．8 空域APES数字波束形成和DOA估计方法
8．8．1 前向SAPES波束形成器原理
8．8．2 仿真实例
8．9 多旁瓣对消数字自适应波束形成方法
8．9．1 多旁瓣对消数字波束形成原理
8．9．2 多旁瓣对消的最小二乘法求解
8．10 阵列信号处理中的其他问题
8．10．1 相关信号源问题
8．10．2 宽带信号源问题
8．10．3 阵列校正与均衡问题
习题
参考文献
第9章 盲信号处理
9．1 盲信号处理的基本概念
9．1．1 盲系统辨识与盲解卷积
9．1．2 信道盲均衡
9．1．3 盲源分离与独立分量分析（ICA）
9．1．4 盲波束形成
9．2 Bussgang盲均衡原理
9．2．1 自适应盲均衡与Bussgang过程
9．2．2 Sato算法
9．2．3 恒模算法
9．2．4 判决引导算法
9．3 SIMO信道模型及子空间盲辨识原理
9．3．1 SIMO信道模型
9．3．2 SIMO信道模型的Sylvester矩阵
9．3．3 SIMO信道的可辨识条件和模糊性
9．3．4 基于子空间的盲辨识算法
9．4 SIMO信道的CR盲辨识原理及自适应算法
9．4．1 CR算法
9．4．2 多信道LMS算法
9．5 基于阵列结构的盲波束形成
9．5．1 基于奇异值分解的降维预处理
9．5．2 基于ESPRIT算法的盲波束形成
9．6 基于信号恒模特性的盲波束形成
9．6．1 SGD CMA算法
9．6．2 RLS CMA算法
9．6．3 解析恒模算法简介
习题
参考文献
索引
常用符号表

Ⅸ Levinson-Durbin算法

用线性方程组的常用解法（例如高斯消元法）求解式（4-22），需要的运算量数量级为p³。但若利用系数矩阵的对称性和Toeplitz性质，则可得到一些高效算法，Levinson-Durbin算法就是其中最着名、应用最广泛的一种，其运算量数量级为p²。这是一种按阶次进行递推的算法，即首先以AR（0）和AR（1）模型参数作为初始条件，计算AR（2）模型参数；然后根据这些参数计算AR（3）模型参数，等等，一直到计算出AR（p）模型参数为止。这样，当整个迭代计算结束后，不仅求得了所需要的p阶AR模型的参数，而且还得到了所有各低阶模型的参数。

Levinson算法的关键是要推导出由AR（k）模型的参数计算AR（k+1）模型的参数的迭代计算公式。对式（4-22）分析可知，Yule-Walker方程的系数矩阵具有以下两个特点：

（1）从0阶开始逐渐增加阶次，可看出，某阶方程的系数矩阵包含了前面各阶系数矩阵（作为其子矩阵）。

（2）系数矩阵先进行列倒序再进行行倒序（或先行倒序再列倒序）后矩阵不变。

设已求得k阶Yule-Walker方程

地球物理信息处理基础

的参数｛a_k，1，a_k，2，…，a_k，k，

｝，现求解k+1阶Yule-Walker方程

地球物理信息处理基础

为此，将k阶方程的系数矩阵增加一列和增加一行，成为下列形式的“扩大方程”

地球物理信息处理基础

扩大方程中的D_k由下式来确定

地球物理信息处理基础

利用前述系数矩阵的第二个特点，将扩大方程的行倒序，同时列也倒序，得“预备方程”

地球物理信息处理基础

将待求的k+1阶Yule-Walker方程的解表示成“扩大方程”解和“预备方程”解的线性组合形式

地球物理信息处理基础

或

a_k+1，i=a_k，i-γ_k+1a_k，k+1-i，i=1，2，…，k

式中γ_k+1是待定系数，称为反射系数。用k+1阶系数矩阵

地球物理信息处理基础

去左乘上式各项，得到

地球物理信息处理基础

由该式可求出

地球物理信息处理基础

地球物理信息处理基础

由扩大方程的第一个方程可求出

地球物理信息处理基础

从上面的推导中可归纳出如下由k阶模型参数求k+1阶模型参数的计算公式：

地球物理信息处理基础

a_k+1，i=a_k，i-γ_k+1a_k，k+1-i，i=1，2，…，k （4-24）

地球物理信息处理基础

对于AR（p）模型，递推计算直到k+1=p为止。将模型参数代入式（1-135），即可计算功率谱估计值：

地球物理信息处理基础

若在-π＜ω≤π范围内的N个等间隔频率点上均匀采样，则上式可写成

地球物理信息处理基础

若N＞p，则上式中在N-1＞i＞p时，应取a_p，i=0。

如果自相关函数值不是已知的，而只知道N个观测数据x_N（n），n=0，1，…，N-1，首先要用式（4-5）由x_N（n）估计出自相关函数值，得

，m=0，1，…，p。然后再用Levin-son算法根据

来计算AR（p）模型的参数。

为了书写简单，今后将k阶AR模型系数或k阶线性预测系数a_k，i写成a_ki，而对于k+1阶来说，为了下标明确，仍写成a_k+1，i。

Ⅹ 一段莱文森算法的程序，求知道的人给我介绍下是什么形式的莱文森算法，急急急！！！

这是用来求解滤波器因子的莱文森(Levinson)递推算法子程序.t[]是托布里兹(Toeplitz)矩阵元素,一般为某个信号的自相关,n是信号自相关的前n项;b[]是输入信号与期望输出的信号的互相关,一般也只取其前n项.至于为什么都只取前n项,是和你所求的滤波器因子个数相等的.x[]就是所求的解,也即滤波器因子.而y[]和s[]都是中间数组.莱文森递推算法在求解较大的托布里兹矩阵时,速度比较快,但对舍入误差不敏感.
仅供参考哈,具体可以查看有关信号处理,维纳滤波的资料.