谱范数算法
⑴ matlab s2=norm(A,2); s4=sum(sum(abs(A)^2))^(1/2) 为什么结果不同
这个问题问的好。
如果A为向量，其p-范数计算公式为sum(abs(A).^p)^(1/p)，其中1<=p<=inf；
对于矩阵A，范数的计算公式不同于向量：
只支持p=1，2，inf或'fro'四种取值，也就是说，不能计算3-范数，比如norm(A,3)会报错；
对于norm函数，矩阵的2-范数定义为所谓的“谱范数”。矩阵A的谱范数是A最大的奇异值或半正定矩阵A*A的最大特征值的平方根，相当于
max(sqrt(eig(A'*A)))
你可以比较一下，这个和norm(A,2)的结果相同。
⑵ 这个矩阵的2范数如何求，谁给看看
A的转置矩阵与A乘积的最大特征值开方。
矩阵的1范数（norm（A，1））：在矩阵的各个列中，指绝对值之和最大的那个列（的绝对值之和），举例子一目了然：
A=［0 1 0；1 0 0；-1 0 0］
A =
0 1 0
1 0 0
-1 0 0
>> norm（A，1）
ans =2
p-范数诱导出的矩阵范数：
范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|， ∑|ai2| ，…… ，∑|ain| } （列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值）（其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+|an1|，其余类似）；
范数：║A║2 = A的最大奇异值 = （ max{ λi（A^H*A） } ） ^{1/2} （欧几里德范数，谱范数，即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵）；
⑶ 线性代数中A*怎么求
线性代数中 ||a|| 是指向量a的长度
||a|| = √(a,a) = √a^Ta
其中 (a,a) 是a与a的内积,是a的各分量的平方之和
如a=（X1,X2,X3）,则||a||=√X1^2+X2^2+X3^3
(3)谱范数算法扩展阅读
常用矩阵范数：
（1）行和范数：就是对矩阵每行绝对值求和，然后在取最大值就定义为矩阵的行和范数。
（2）列和范数：就是对矩阵每列绝对值求和，然后在取最大值就定义为矩阵的列和范数。
（3）谱范数：求解矩阵A与自身转置乘积所得矩阵的模最大特征值，记这个特征值的模叫做矩阵的谱半径，也就是此矩阵的谱范数，注意这里做的乘积是必要的，就是方阵化，因为我们一般的矩阵不一定是方阵并不一定有特征值。
⑷ 证明谱范数
谱范数是由p-范数诱导出的矩阵范数：
2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2}
(欧几里德范数,谱范数,即A'A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)。
范数是数学中的一种基本概念，在泛函分析中，范数是一种定义在赋范线性空间中函数，满足相应条件后的函数都可以被称为范数。
常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是：
1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| } （列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值）
（其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其余类似）；
2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = (max{ λi(AH*A) }) 1/2 （谱范数，即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中AH为A的转置共轭矩阵）；
∞-范数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|，∑|a2j|,...，∑|amj| } （行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值）
⑸ 怎么证明矩阵谱范数满足||A||_2=max{|y'Ax|, ||x||_2=1, ||y||_2=1}，谢谢！
这题的证明关键是利用矩阵2范数和最大奇异值之间的关系。
1. 首先证明对于任意的x和y，必存在某个酉矩阵Q满足，y = Q * x。
证明：将x和y分别扩充到Cn上的两组酉基X = [x, x2, ... , xn]和Y = [y, y2, ..., yn]，那么X和Y必然等价，即存在酉矩阵Q满足Y = Q * X，取第一列可得y = Q * x。
2. 再证：||P * A * Q||2 = ||A||2，其中P和Q都是Cn上的酉阵。这其实是矩阵2范数的一个常用性质。
证明：||A||2 = sqrt(max(eig(A' * A))) = sqrt(max(eig(A' * P' * P * A))) = ||P * A||2
||A||2 = sqrt(max(eig(A * A'))) = sqrt(max(eig(A * Q * Q' * A'))) = ||A * Q||2
=> ||A||2 = ||P * A||2 = ||A * Q||2 = ||P * A * Q||2
3. 由1知，对于任意的单位2范数向量y和x，存在酉阵Q满足：Q' * Q = I，y = Q * x，而max|y'Ax| = max|x' * Q' * A * x| = ||Q' * A||2，由2知||Q' * A||2 = ||A||2，证毕！
⑹ 什么是矩阵谱范数
定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称为A的谱半径.谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:ρ(A)≤║A║因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的相容性和齐次性就导出结果.定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)
⑺ 如何证明谱范数满足矩阵范数的性质
见图
⑻ 什么是“欧几里德范数”（Euclidean norm）
Euclidean范数指得就是通常意义上的距离范数。
比如||X||=ρ(X,0)=Sqrt(X1^2+X2^2+...+Xn^2)
x是n维向量(x1,x2,…,xn)，
||x||＝根号(|x1|方+|x2|方+…+|xn|方)
补充：开平方，跟几何一样
(8)谱范数算法扩展阅读
诱导范数
把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，它自动满足对向量范数的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║，并且可以由此证明║AB║ ≤ ║A║║B║。
注：1.上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的(有限开覆盖定理)，从而上面的连续函数可以取到最值。
2.显然，单位矩阵的算子范数为1。
常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是：
1-范数：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值)(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其余类似)；
2-范数：║A║2 = A的最大奇异值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (欧几里德范数,谱范数,即A^H*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)；
∞-范数：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值)(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似)；
其它的p-范数则没有很简单的表达式。
对于p-范数而言，可以证明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共轭指标。
简单的情形可以直接验证：║A║1=║A^H║∞，║A║2=║A^H║2，一般情形则需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。
⑼ 我想请问一下各位大佬计算方法里面这个实对称矩阵时谱范数等于谱半径怎么证明呢
证明：
记λ为矩阵A的模最大特征值（谱半径），x为其对应的右特征向量，那么：
x'A' × Ax = |λ|² × x'x => |λ| = ||Ax||₂/ ||x||₂<= ||A||₂即矩阵的模最大特征值（谱半径）小于等于矩阵的2范数，再由矩阵范数的等价性命题知，矩阵谱半径不是矩阵范数，证毕！