插板算法

1. 插板法里比如C(18,2）是怎么计算的

你好！
插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入
若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1）
这n个元素必须互不相异
（2）
所分成的每一组至少分得一个元素
(3)分成的组别彼此相异。
C(m,n）=m(m-1)…(m-n+1)/n!=m!/(n!(m-n)!)所以C(18,2)=18*17/2*1=153
仅代表个人观点，不喜勿喷，谢谢。

2. 插板法指的是什么呢

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

注意插板法的三要件：相同元素分配；所分组是不相同的；每组至少分到一个。

插板法的例题：

（1）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？A.21 B.28 C.32 D.48

解析：8个球中间有7个空，分到3个盒子需要插两块板，插板法C（7 2）=21种，选A。

对于不满足第三个条件即“每组至少一个”的情况，要先转化为标准形式，再使用插板法。

（2）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放两个球，一共有多少种方法？A.3 B.6 C.12 D.21

解析：先往每个盒子里提前放一个，还剩下5个；转化为5个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法C，6种，选B

（3）将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？A.15 B.28 C.36 D.45

解析：此时因为每个盒子可以分0个，先让每个盒子提供一个球给我们、分的时候再还回去；转化为11个相同的球分到3个不同的盒子，每个盒子至少一个，插板法 C（10 2）=45种，选D

此时也可以根据八个球之间9个空，两个板子插不同的空有C（9 2）=36种、插同一个空有C（9 1）=9种，36+9=45种；对比三种不同的考法，其实它们之间是存在密切联系的。

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放0个球，有C（10 2）种；

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，有C（7 2）种；

8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放两个球，有C（4 2）种；

3. 请问插板法 是什么能一步一步地解析清楚吗像老师一样。

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

应用插板法必须满足三个条件：

1. 这n个元素必须互不相异

2. 所分成的每一组至少分得一个元素

3. 分成的组别彼此相异

4. 小学奥数插板法c2 9=36怎么算出来的

可以这样理解，9个空位，插入2块挡板，插第一块时，共有9个空位可以选择，插第二块板时，只剩下8个空位可用，这就是9*8种=72种可能。然后因为第一块板和第二块板颠倒位置实际上还是同一种选择，所以72种里面有一半是重复的，所以是72/2=36种。

5. 插板法公式原理是什么

板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

应用插板法必须满足三个条件：

（1）这n个元素必须互不相异。

（2）所分成的每一组至少分得一个元素。

（3）分成的组别彼此相异。

插板法的解题思路：

将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份。

每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个），这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

6. 插板法的公式意义和算法

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 应用插板法必须满足三个条件： （1） 这n个元素必须互不相异 （2） 所分成的每一组至少分得一个元素 (3) 分成的组别彼此相异

7. 插板法公式。

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1） 这n个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
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a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入
1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是 c12 2=66
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例2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28
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b 添板插板法
例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空 c12 2=66
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例4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b<=9 ,且a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45
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例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165
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c 选板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 2^9= 512啦
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d 分类插板
例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10 1=10
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28
4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20
所以一共是 2+10+28+20=60 种
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e 二次插板法
例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种

8. 插板法排列组合是什么

插板法排列组合是对属于相同元素(或者说相同的东西)分配问题，这些元素之间不可分辨(或说对元素限制很弱)，一般只要求不等于零，只对分成的份数有要求。如对相同的球装入到可以分辨的盒子中，而求装入方法数的问题，常用插板法。

从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

(8)插板算法扩展阅读

在形成与形密切相关的各种数学分支的过程中，如几何学、拓扑学以至范畴论的形成与发展，逐步地从形的多样性也发现了数形的多样性，产生了各种数形的技巧。

近代的集合论、数理逻辑等反映了潜在的数与形之间的结合。而现代的代数拓扑和代数几何等则将数与形密切地联系在一起了。这些，对于以数的技巧为中心课题的近代组合学的形成与发展都产生了而且还将会继续产生深刻的影响。

9. 插板法公式怎么理解

插板法公式理解思路为：将 n 个相同的元素排成一行， n 个元素之间出现了（ n-1 ）个空档，现在我们用（ m-1 ）个 “档板 ”插入（ n-1 ）个空档中，就把 n 个元素隔成有序的 m 份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是 1 个、2 个、 3 个、 4 个、 ….）。

这样不同的插入办法就对应着 n 个相同的元素分到 m 组的一种分法，这种借助于这样的虚拟 “档板 ”分配元素的方法称之为插板法。

例题：共有 10 完全相同的球分到 7 个班里，每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法。

解析：我们可以将 10 个相同的球排成一行， 10 个球之间出现了 9 个空隙，现在我们用 6 个档板 ”插入这 9个空隙中，就 “把 10 个球隔成有序的 7 份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球，这样，借助于虚拟 “档板 ”就可以把 10 个球分到了 7 个班中。

插板法基本题型的变形

（1）变形1：有 n 个相同的元素，要求分到 m 组中，问有多少种不同的分法。

解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为 “0”，也就是组中可以为空的。对于这样的题，我们就首先将每组都填上 1 个，这样所要元素总数就 m 个，问题也就是转变成将（ n+m ）个元素分到 m 组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

例题：有 8 个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（ ）种不同方法 。

解答：题目允许盒子有空，则需要每个组添加 1 个，则球的总数为 8+3 ×1=11，此题就有 C（10 ，2） =45（种）分法了。

10. 插板法指的是什么

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。

应用插板法必须满足三个条件：

这n个元素必须互不相异。

所分成的每一组至少分得一个元素。

分成的组别彼此相异。

排列组合问题——插板法。

元素分组又分为相同元素分组和不相同元素分组这两类问题。对于相同元素分组来说，如果是相同元素分到相同的组里，问题就变的没有意义，公考中也不会涉及到。那么对于相同元素分到不同的组里，一般我们就用插板法来解决。