函数复合运算法则

⑴ 导数的复合函数运算法则

复合函数求导法则 y=f(u(x)) 对x求导 y ' = u(x)' * f(u(x))'，f(u(x))‘ 要把括号里的u(x)看做整体求导，你问的等式中2就是（2x+3）对x求导的结果，再把（2x+3）看做一个整体对其5次方进行求导。
y=【（2x+5）的5次方】’ =2[（2x+5）的5次方]=2*5*[（2x+5）的4次方]。

⑵ 复合导数运算法则

复合函数求导法则 y=f(u(x)) 对x求导 y ' = u(x)' * f(u(x))',f(u(x))‘ 要把括号里的u(x)看做整体求导,你问的等式中2就是（2x+3）对x求导的结果,再把（2x+3）看做一个整体对其5次方进行求导.
y=【（2x+5）的5次方】’ =2[（2x+5）的5次方]=2*5*[（2x+5）的4次方].

⑶ 复合函数极限运算法则里的条件

梳理如下：
第一个问题：一定要有条件“ψ(x)≠u0”。
例①，ψ(x)=1 (x∈R)，
f(u)为分段函数：当u≠1时，f(u)=u；当u=1时，f(u)=2，
取x0=1，则u0=1，【ψ(x)=u0】=1，lim(u→1)f(u)=1=A，lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2，2≠1，
即lim(x→1)f(ψ(x))≠A，即定理1的结论不成立。

第二个问题：关于例子x*sin(1/x)，
首先，这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)= x，g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x)，
而不是由两个函数的复合构成的。
仅从这一点来说，把这个例子用在这里并不合适。
不过，这其中的第二个函数sin(1/x)是由两个函数的复合构成的：ψ(x)=1/x，f(u)=sinu。
其次，函数x*sin(1/x)当x→0时的极限确定是0，这是因为一个无穷小量乘以一个有界量还是无穷小量。
这个也可以通过x*sin(1/x)的图像来理解。
所以，关于例子x*sin(1/x)，无论你取 x等于或不等于1/nπ，只要x→0，它的极限就是0。
对此，原问题中的陈述不正确。
从这一点来说，把这个例子用在这里也不合适。
合适的例子是上面的例①。

第三个问题：细化一下，
在定理1中是说，“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”，
也就是说，是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以。
例如，ψ(x)=sinx (x∈R)，
取x0=0，则u0=0，
【ψ(x)≠u0在x0的某去心邻域内成立，比如在去心邻域（-1/2π，1/2π）成立】
【而在x0的以远，比如在去心邻域（-2π，2π），ψ(x)≠u0就不成立】
这种情况属于符合定理1中的条件“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”。
如果不存在这样的邻域，则就不符合条件。

⑷ 复合函数极限运算法则是什么

极限代表的是一种趋向性，函数f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值无关（假设f(x)在x=x0处有定义），所以函数极限定义用的是x0的去心邻域，因为当x=x0时，|f(x)-A|=|f(x0)-A|<ε就不一定成立了，比如f(x)=0(当x≠0时),f(x)=1(当x=0时)，lim(x->0)f(x)=0,而f(0)=1,而f(x)在x=x0处的极限与f(x)在x=x0处的函数值的统一依靠连续性实现的。所以书上一般不说复合函数的极限运算，而是给出复合函数的连续性，因为复合函数的极限运算是有条件的。先给个例子：
当u=0时，y=f(u)=0,当u≠0时，y=f(u)=1,u=g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）
显然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0处没有极限。
因为在0的任意小的去心邻域内都有存在ξ,使得g(ξ)=0.
这样在0的任意小的去心邻域内，f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到，f(g(x))在x=0处没有极限。
所以满足lim(x->x0)g(x)=u0,且x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0,lim(u->u0)f(u)=A.
才可以证明lim(x->x0)f(g(x))=A.证明如下：
因为lim(u->u0)f(u)=A,所以对任意ε>0,存在δ1>0,当u满足：0<|u-u0|<δ1时，|f(u)-A|<ε,
又因为lim(x->x0)g(x)=u0,所以对上述的δ1>0,存在δ2>0，当x满足：0<|x-x0|<δ2时，|g(x)-u0|<δ1,
又x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0,所以当x满足：0<|x-x0|<δ2时，0<|g(x)-u0|<δ1,
于是对任意ε>0,存在δ2>0,当x满足：0<|x-x0|<δ2时，有0<|g(x)-u0|<δ1，进而有|f(g(x))-A|<ε,
这就证明了lim(x->x0)f(g(x))=A.(如果没有条件“x0的任意小的去心邻域内都有g(x)≠u0”，则只能有“|g(x)-u0|<δ1”，而不能进一步得到“0<|g(x)-u0|<δ1”，就会出现像上面一样的反例。)

⑸ 我想请问复合函数极限运算法则是什么

设y
=
f
(u)，u
=ϕ
(x)，如果ϕ
(x)在x处可导，f
(u)
在对应点u处可导，则复合函数y
=
f
[ϕ
(x)]在x处可导，
且有
f
[
(x)]
(x)
dx


dy
dx
dy
=
=
′ϕ
ϕ
′
对应地dy
=
f
′(u)
=
f
′[ϕ
(x)]ϕ
′(x)dx
由于公式dy
=
f
′(u)
不管u
是自变量或中间变量
都成立。因此称为一阶微分形式不变性

⑹ 复合函数的极限运算法则

设limf（x），limg（x）存在，且令

（其中e=2.7182818……，是一个无理数，也就是自然对数的底数）

二、极限的性质

1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。

2、有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”.

⑺ 复合函数的计算方法

复合函数求到要把复合函数写成分段的内外函数,令内含数=U,然后把U当成X求导,最后乘以U的导数。 书上有公式。复合函数的积分一般可以利用换元法来解。换元后不仅积分变量要随之改变，积分限也要随这改变。例如： 若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。 求函数的定义域主要应考虑以下几点： ⑴当为整式或奇次根式时，R的值域； ⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）； ⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； ⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。 ⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分。一共有其中方法： 1 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 2 配凑法：即已知f(mx+n)=...,将后面多项式配成mx+n的形式，最后替换为x即可； 3 换元法：已知复合函数f(g(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 4 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 5 构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 6 赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化。

⑻ 高等数学中复合运算定义的疑问

答：对于问题1：②中为什么一定要是“对于上面得到的η>0”？
高等数学中函数极限的定义都是由 “ε-δ”语言描述的，例如：函数f（x）在x0处的极限定义：任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，则f（x）在x0处的极限为A。
这个定义简单来说：符合“ε-δ”语言，则函数的极限为A
注意：这个定义反过来讲也是对的：如果“f（x）在x0处的极限为A”，那么 “任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立”。简单说来，就是函数极限为A，则符合“ε-δ”语言

在“复合函数的极限运算法则”的证明过程中，其实是反复的将这个定义，正的用，反的用。

要证复合函数的极限，就相当去证明这个命题：任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，|f[g(x)]-A|<ε成立；是一个真命题就可以了。
开始证明：
由于lim(u→u0)f(u)=A，任取ε>0，都存在η>0,当0<|u-u0|<η时，|f(u)-A|<ε成立——①

又由于lim(x→x0)g(x)=u0,对于上面得到的η>0，存在δ1>0，使得当0<|x-x0|<δ1时，|g(x)-u0|<η成立——②
这两句话都是将函数极限的定义反着用：函数极限为A，则符合“ε-δ”语言。
在②中出现η它的含义与“ε-δ”语言中的ε都是一样的，都表示无穷小的数，在函数极限的极限定义中也一定要大于0。 同样表示无穷小为什么写不同的字母呢？
原因关键在于：用“ε-δ”语言证明函数的极限时，不同的函数在极限证明中，用到的ε（无穷小）会不相同的。①②中是对不同的函数而言的，因此无穷小需要用不同的字母表示

对于问题（2）“由假设...成立”怎么就推出了后面的“|f[g(x)]-A|=|f(u)-A|<ε成立”？

“由假设...成立”这里的假设就是：复合函数极限运算法则 的前提条件。
准确的我写不出，自己在书上看吧

⑼ 复合函数的极限运算法则通俗解释

简单的说，f(g(x))在x=4处的极限就是f(x)在x=g(3)时候的极限。

注意证明中第一行的【要证…】★ 以及第五行的【由于】 其中★是要【证极限】其中☆是在【用极限】 是要对任一任意小的正数证明极限定义成立。

☆是已知对【任一个】任意小的正数都有极限定义成立，从而对【这一个g】也有极限定义成立。退一步说，在情况☆，既然对任意小的都行，那么，即使g不是那么小也行。或者，如果g不是那么小，想取一个足够小的d比g小，证明也行得通。都行，不影响本质。