多数算法

Ⅰ 数据挖掘十大经典算法及各自优势

数据挖掘十大经典算法及各自优势

不仅仅是选中的十大算法，其实参加评选的18种算法，实际上随便拿出一种来都可以称得上是经典算法，它们在数据挖掘领域都产生了极为深远的影响。
1. C4.5
C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法,其核心算法是ID3算法. C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进：
1) 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足；2) 在树构造过程中进行剪枝；3) 能够完成对连续属性的离散化处理；4) 能够对不完整数据进行处理。
C4.5算法有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。
2. The k-means algorithm 即K-Means算法
k-means algorithm算法是一个聚类算法，把n的对象根据他们的属性分为k个分割，k < n。它与处理混合正态分布的最大期望算法很相似，因为他们都试图找到数据中自然聚类的中心。它假设对象属性来自于空间向量，并且目标是使各个群组内部的均 方误差总和最小。
3. Support vector machines
支持向量机，英文为Support Vector Machine，简称SV机（论文中一般简称SVM）。它是一种监督式学习的方法，它广泛的应用于统计分类以及回归分析中。支持向量机将向量映射到一个更 高维的空间里，在这个空间里建立有一个最大间隔超平面。在分开数据的超平面的两边建有两个互相平行的超平面。分隔超平面使两个平行超平面的距离最大化。假 定平行超平面间的距离或差距越大，分类器的总误差越小。一个极好的指南是C.J.C Burges的《模式识别支持向量机指南》。van der Walt 和 Barnard 将支持向量机和其他分类器进行了比较。
4. The Apriori algorithm
Apriori算法是一种最有影响的挖掘布尔关联规则频繁项集的算法。其核心是基于两阶段频集思想的递推算法。该关联规则在分类上属于单维、单层、布尔关联规则。在这里，所有支持度大于最小支持度的项集称为频繁项集，简称频集。
5. 最大期望(EM)算法
在统计计算中，最大期望（EM，Expectation–Maximization）算法是在概率（probabilistic）模型中寻找参数最大似然 估计的算法，其中概率模型依赖于无法观测的隐藏变量（Latent Variabl）。最大期望经常用在机器学习和计算机视觉的数据集聚（Data Clustering）领域。
6. PageRank
PageRank是Google算法的重要内容。2001年9月被授予美国专利，专利人是Google创始人之一拉里·佩奇（Larry Page）。因此，PageRank里的page不是指网页，而是指佩奇，即这个等级方法是以佩奇来命名的。
PageRank根据网站的外部链接和内部链接的数量和质量俩衡量网站的价值。PageRank背后的概念是，每个到页面的链接都是对该页面的一次投票， 被链接的越多，就意味着被其他网站投票越多。这个就是所谓的“链接流行度”——衡量多少人愿意将他们的网站和你的网站挂钩。PageRank这个概念引自 学术中一篇论文的被引述的频度——即被别人引述的次数越多，一般判断这篇论文的权威性就越高。
7. AdaBoost
Adaboost是一种迭代算法，其核心思想是针对同一个训练集训练不同的分类器(弱分类器)，然后把这些弱分类器集合起来，构成一个更强的最终分类器 (强分类器)。其算法本身是通过改变数据分布来实现的，它根据每次训练集之中每个样本的分类是否正确，以及上次的总体分类的准确率，来确定每个样本的权 值。将修改过权值的新数据集送给下层分类器进行训练，最后将每次训练得到的分类器最后融合起来，作为最后的决策分类器。
8. kNN: k-nearest neighbor classification
K最近邻(k-Nearest Neighbor，KNN)分类算法，是一个理论上比较成熟的方法，也是最简单的机器学习算法之一。该方法的思路是：如果一个样本在特征空间中的k个最相似(即特征空间中最邻近)的样本中的大多数属于某一个类别，则该样本也属于这个类别。
9. Naive Bayes
在众多的分类模型中，应用最为广泛的两种分类模型是决策树模型(Decision Tree Model)和朴素贝叶斯模型（Naive Bayesian Model，NBC）。 朴素贝叶斯模型发源于古典数学理论，有着坚实的数学基础，以 及稳定的分类效率。同时，NBC模型所需估计的参数很少，对缺失数据不太敏感，算法也比较简单。理论上，NBC模型与其他分类方法相比具有最小的误差率。 但是实际上并非总是如此，这是因为NBC模型假设属性之间相互独立，这个假设在实际应用中往往是不成立的，这给NBC模型的正确分类带来了一定影响。在属 性个数比较多或者属性之间相关性较大时，NBC模型的分类效率比不上决策树模型。而在属性相关性较小时，NBC模型的性能最为良好。10. CART: 分类与回归树
CART, Classification and Regression Trees。 在分类树下面有两个关键的思想。第一个是关于递归地划分自变量空间的想法；第二个想法是用验证数据进行剪枝。

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Ⅱ 人工智能算法有哪些

人工智能算法有：决策树、随机森林算法、逻辑回归、SVM、朴素贝叶斯、K最近邻算法、K均值算法、Adaboost算法、神经网络、马尔可夫。

Ⅲ 机器学习中需要掌握的算法有哪些

在学习机器学习中，我们需要掌握很多算法，通过这些算法我们能够更快捷地利用机器学习解决更多的问题，让人工智能实现更多的功能，从而让人工智能变得更智能。因此，本文为大家介绍一下机器学习中需要掌握的算法，希望这篇文章能够帮助大家更深入地理解机器学习。
首先我们为大家介绍的是支持向量机学习算法。其实支持向量机算法简称SVM，一般来说，支持向量机算法是用于分类或回归问题的监督机器学习算法。SVM从数据集学习，这样SVM就可以对任何新数据进行分类。此外，它的工作原理是通过查找将数据分类到不同的类中。我们用它来将训练数据集分成几类。而且，有许多这样的线性超平面，SVM试图最大化各种类之间的距离，这被称为边际最大化。而支持向量机算法那分为两类，第一就是线性SVM。在线性SVM中，训练数据必须通过超平面分离分类器。第二就是非线性SVM，在非线性SVM中，不可能使用超平面分离训练数据。
然后我们给大家介绍一下Apriori机器学习算法，需要告诉大家的是，这是一种无监督的机器学习算法。我们用来从给定的数据集生成关联规则。关联规则意味着如果发生项目A，则项目B也以一定概率发生，生成的大多数关联规则都是IF_THEN格式。Apriori机器学习算法工作的基本原理就是如果项目集频繁出现，则项目集的所有子集也经常出现。
接着我们给大家介绍一下决策树机器学习算法。其实决策树是图形表示，它利用分支方法来举例说明决策的所有可能结果。在决策树中，内部节点表示对属性的测试。因为树的每个分支代表测试的结果，并且叶节点表示特定的类标签，即在计算所有属性后做出的决定。此外，我们必须通过从根节点到叶节点的路径来表示分类。
而随机森林机器学习算法也是一个重要的算法，它是首选的机器学习算法。我们使用套袋方法创建一堆具有随机数据子集的决策树。我们必须在数据集的随机样本上多次训练模型，因为我们需要从随机森林算法中获得良好的预测性能。此外，在这种集成学习方法中，我们必须组合所有决策树的输出，做出最后的预测。此外，我们通过轮询每个决策树的结果来推导出最终预测。
在这篇文章中我们给大家介绍了关于机器学习的算法，具体包括随机森林机器学习算法、决策树算法、apriori算法、支持向量机算法。相信大家看了这篇文章以后对机器学习有个更全面的认识，最后祝愿大家都学有所成、学成归来。

Ⅳ 计算器进行根号、三角函数之类的复杂运算是运用的什么原理

算法，多数算法是循环计算，近似出结果，每一步都是基本运算。

Ⅳ 如何评价一个算法的好坏

首先，这个算法必须是正确的
其次，好的算法应该是友好的，便于人们理解和交流，并且是机器可执行的。
这个算法还需要足够健壮，即当输入的数据非法或不合理时，也能适当的做出正确的反应或进行相应的处理
最后它还必须拥有高效率和低存储量要求。
也就是所谓的时间复杂度和空间复杂度

1.时间复杂度

定义:在计算机科学中,算法的时间复杂度是一个函数,他定量描述了该算法的运行时间.一个算法执行所耗费的时间,从理论上讲,只有你把你的程序放机器上跑起来,才能知道.然而我们有一套时间复杂度的分析方式.一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例.算法中的基本操作的执行次数,为算法的时间复杂度.

2.时间复杂度为什么不使用时间来衡量而使用基本语句的运行次数来衡量?

算法的执行时间依赖于具体的软硬件环境，所以，不能用执行时间的长短来衡量算法的时间复杂度，而要通过基本语句执行次数的数量级来衡量。

3.时间复杂度的O渐进表示法(Big O notation)

是用于描述函数渐进行为的数学符号.

大O阶方法推导:
计算基本语句的执行次数的数量级;
只需计算基本语句执行次数的数量级，这就意味着只要保证基本语句执行次数的函数中的最高次幂正确即可，可以忽略所有低次幂和最高次幂的系数。这样能够简化算法分析，并且使注意力集中在最重要的一点上:增长率。
如果算法中包含嵌套的循环，则基本语句通常是最内层的循环体，如果算法中包含并列的循环，则将并列循环的时间复杂度相加。例如:

for (i=1; i<=n; i++)
x++;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;

第一个for循环的时间复杂度为Ο(n)，第二个for循环的时间复杂度为Ο(n2)，则整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2)=Ο(n2)。

4.时间复杂度的:最优、平均、最差情况，为什么时间复杂度看的是最差情况?

最差情况下的复杂度是所有可能的输入数据所消耗的最大资源，如果最差情况下的复杂度符合我们的要求，我们就可以保证所有的情况下都不会有问题。

某些算法经常遇到最差情况。比如一个查找算法，经常需要查找一个不存在的值。
也许你觉得平均情况下的复杂度更吸引你，可是平均情况也有几点问题。第一，难计算，多数算法的最差情况下的复杂度要比平均情况下的容易计算的多，第二，有很多算法的平均情况和最差情况的复杂度是一样的. 第三，什么才是真正的平均情况?如果你假设所有可能的输入数据出现的概率是一样的话，也是不合理的。其实多数情况是不一样的。而且输入数据的分布函数很可能是你没法知道。
考虑最好情况的复杂度更是没有意义。

5.如何求解:二分查找、递归求阶乘、递归斐波那契的时间复杂度?

二分查找:通过折纸查找求解时间复杂度为O(logN);
递归求阶乘:数基本操作递归N次得到时间复杂度为O(N);
递归斐波那契:分析得出基本操作递归了2N次,时间复杂度为O(2N);

6.什么是空间复杂度?

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的度量.空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间,因为这个也没太大意义,所以空间复杂度算的是变量的个数.空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似,也使用大O渐进法表示.

7.如何求空间复杂度? 普通函数&递归函数

一个算法的空间复杂度只考虑在运行过程中为局部变量分配的存储空间的大小，它包括为参数表中形参变量分配的存储空间和为在函数体中定义的局部变量分配的存储空间两个部分。若一个算法为 递归算法，其空间复杂度为递归所使用的堆栈空间的大小，它等于一次调用所分配的临时存储空间的大小乘以被调用的次数(即为递归调用的次数加1，这个1表示开始进行的一次非递归调用)。算法的空间复杂度一般也以数量级的形式给出。如当一个算法的空间复杂度为一个常量，即不随被处理数据量n的大小而改变时，可表示为O(1);当一个算法的空间复杂度与以2为底的n的对数成正比时，可表示为O(log2n);当一个算法的空间复杂度与n成线性比例关系时，可表示为O(n).若形参为数组，则只需要为它分配一个存储由实参传送来的一个地址指针的空间，即一个机器字长空间;若形参为引用方式，则也只需要为其分配存储一个地址的空间，用它来存储对应实参变量的地址，以便由系统自动引用实参变量。
8. 分析递归斐波那契数列的:时间、空间复杂度，并对其进行优化，伪递归优化->循环优化

long long Fib(int N) {
if (N < 3)
return 1;
return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

普通递归实现的斐波那契数列:
时间复杂度:O(2^n)

计算并根据O渐进表示法得出时间复杂度.

空间复杂度:O(N);递归深度乘以(每一次递归的空间占用{有辅助空间或常量})

伪递归优化:

long long fib (long long first, longlong second, int N) {
if(N <3)
return 1;
if(N == 3)
return first + second;
return fib(second, first+second,N-1);
}

时间复杂度:
O(N);
递归深度乘以每次递归的循环次数
空间复杂度:
O(1)或O(N)
关键看编译器是否优化,优化则为O(1)否则O(N);

循环优化:

long long Fib(int N) {
long long first = 1;
long long second = 1;
long long ret = 0;
for (int i = 3; i <= N ; ++i) {
ret = first + second;
first = second;
second = ret;
}
return second;
}

时间复杂度:O(N);

空间复杂度:O(1);

9.常见时间复杂度

常见的算法时间复杂度由小到大依次为: Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜…＜Ο(2n)＜Ο(n!) Ο(1)表示基本语句的执行次数是一个常数，一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是Ο(1)。Ο(log2n)、Ο(n)、Ο(nlog2n)、Ο(n2)和Ο(n3)称为多项式时间，而Ο(2n)和Ο(n!)称为指数时间。

Ⅵ 推荐一些关于算法的书籍

1、数据结构与算法分析：C语言描述（适合入门）

这本书相对于算法导论要简单一些，更适合入门。算法导论其实有比较强的理论性，看起来比较吃力。

《数据结构与算法分析:C语言描述》内容简介：书中详细介绍了当前流行的论题和新的变化，讨论了算法设计技巧，并在研究算法的性能、效率以及对运行时间分析的基础上考查了一些高级数据结构，从历史的角度和近年的进展对数据结构的活跃领域进行了简要的概括。由于《数据结构与算法分析:C语言描述(原书第2版)》选材新颖，方法实用，题例丰富，取舍得当。《数据结构与算法分析:C语言描述》的目的是培养学生良好的程序设计技巧和熟练的算法分析能力，使得他们能够开发出高效率的程序。从服务于实践又锻炼学生实际能力出发，书中提供了大部算法的C程序和伪码例程。

2、算法设计与分析基础（适合入门）

作者基于丰富的教学经验，开发了一套对算法进行分类的新方法。这套方法站在通用问题求解策略的高度，能对现有的大多数算法都能进行准确分类，从而使本书的读者能够沿着一条清晰的、一致的、连贯的思路来探索算法设计与分析这一迷人领域。本书作为第2版，相对第1版增加了新的习题，还增加了“迭代改进”一章，使得原来的分类方法更加完善。

3.0、算法引论：一种创造性方法（适合入门）

和普通的算法书不同，这本书从创造性的角度出发——如果说算法导论讲的是有哪些算法，那么算法引论讲的就是如何创造算法。结合前面的算法设计与分析基础，这本书把能解决的算法问题数量扩大了一个数量级。

3.1 算法竞赛 | 信息学奥赛一本通（算竞入门）

AlphaWA同学推荐的入门书籍，网上没有PDF版本，自己去淘宝买喽。

3.2 算法竞赛 | 算法竞赛进阶指南（算竞进阶）

Ⅶ 大多数排序算法都有哪两个基本操作

元素比对：用于获取元素间的偏序关系
元素移动：通过移动元素，使得序列成为满足偏序关系的有序序列

Ⅷ 常用的数据排序算法有哪些,各有什么特点举例结合一种排序算法并应用数组进行数据排序。

排序简介
排序是数据处理中经常使用的一种重要运算,在计算机及其应用系统中,花费在排序上的时间在系统运行时间中占有很大比重;并且排序本身对推动算法分析的发展也起很大作用。目前已有上百种排序方法，但尚未有一个最理想的尽如人意的方法，本章介绍常用的如下排序方法，并对它们进行分析和比较。

1、插入排序（直接插入排序、折半插入排序、希尔排序）；
2、交换排序（起泡排序、快速排序）；
3、选择排序（直接选择排序、堆排序）；
4、归并排序；
5、基数排序；

学习重点
1、掌握排序的基本概念和各种排序方法的特点，并能加以灵活应用；
2、掌握插入排序(直接插入排序、折半插入排序、希尔排序)、交换排序（起泡排序、快速排序）、选择排序（直接选择排序、堆排序）、二路归并排序的方法及其性能分析方法；
3、了解基数排序方法及其性能分析方法。

排序（sort）或分类

所谓排序，就是要整理文件中的记录，使之按关键字递增(或递减)次序排列起来。其确切定义如下：
输入：n个记录R1，R2，…，Rn，其相应的关键字分别为K1，K2，…，Kn。
输出：Ril，Ri2，…，Rin，使得Ki1≤Ki2≤…≤Kin。(或Ki1≥Ki2≥…≥Kin)。

1．被排序对象--文件
被排序的对象--文件由一组记录组成。
记录则由若干个数据项(或域)组成。其中有一项可用来标识一个记录，称为关键字项。该数据项的值称为关键字(Key)。
注意：
在不易产生混淆时，将关键字项简称为关键字。

2．排序运算的依据--关键字
用来作排序运算依据的关键字，可以是数字类型，也可以是字符类型。
关键字的选取应根据问题的要求而定。
【例】在高考成绩统计中将每个考生作为一个记录。每条记录包含准考证号、姓名、各科的分数和总分数等项内容。若要惟一地标识一个考生的记录，则必须用"准考证号"作为关键字。若要按照考生的总分数排名次，则需用"总分数"作为关键字。

排序的稳定性

当待排序记录的关键字均不相同时，排序结果是惟一的，否则排序结果不唯一。
在待排序的文件中，若存在多个关键字相同的记录，经过排序后这些具有相同关键字的记录之间的相对次序保持不变，该排序方法是稳定的；若具有相同关键字的记录之间的相对次序发生变化，则称这种排序方法是不稳定的。
注意：
排序算法的稳定性是针对所有输入实例而言的。即在所有可能的输入实例中，只要有一个实例使得算法不满足稳定性要求，则该排序算法就是不稳定的。

排序方法的分类

1．按是否涉及数据的内、外存交换分
在排序过程中，若整个文件都是放在内存中处理，排序时不涉及数据的内、外存交换，则称之为内部排序(简称内排序)；反之，若排序过程中要进行数据的内、外存交换，则称之为外部排序。
注意：
① 内排序适用于记录个数不很多的小文件
② 外排序则适用于记录个数太多，不能一次将其全部记录放人内存的大文件。

2．按策略划分内部排序方法
可以分为五类：插入排序、选择排序、交换排序、归并排序和分配排序。

排序算法分析

1．排序算法的基本操作
大多数排序算法都有两个基本的操作：
(1) 比较两个关键字的大小；
(2) 改变指向记录的指针或移动记录本身。
注意：
第(2)种基本操作的实现依赖于待排序记录的存储方式。

2．待排文件的常用存储方式
（1） 以顺序表(或直接用向量)作为存储结构
排序过程：对记录本身进行物理重排（即通过关键字之间的比较判定，将记录移到合适的位置）

（2） 以链表作为存储结构
排序过程：无须移动记录，仅需修改指针。通常将这类排序称为链表(或链式)排序；

（3） 用顺序的方式存储待排序的记录，但同时建立一个辅助表(如包括关键字和指向记录位置的指针组成的索引表)
排序过程：只需对辅助表的表目进行物理重排（即只移动辅助表的表目，而不移动记录本身）。适用于难于在链表上实现，仍需避免排序过程中移动记录的排序方法。

3．排序算法性能评价
（1） 评价排序算法好坏的标准
评价排序算法好坏的标准主要有两条：
① 执行时间和所需的辅助空间
② 算法本身的复杂程度

（2） 排序算法的空间复杂度
若排序算法所需的辅助空间并不依赖于问题的规模n，即辅助空间是O(1)，则称之为就地排序(In-PlaceSou)。
非就地排序一般要求的辅助空间为O(n)。

（3） 排序算法的时间开销
大多数排序算法的时间开销主要是关键字之间的比较和记录的移动。有的排序算法其执行时间不仅依赖于问题的规模，还取决于输入实例中数据的状态。

文件的顺序存储结构表示

#define n l00 //假设的文件长度，即待排序的记录数目
typedef int KeyType； //假设的关键字类型
typedef struct{ //记录类型
KeyType key； //关键字项
InfoType otherinfo；//其它数据项，类型InfoType依赖于具体应用而定义
}RecType；
typedef RecType SeqList[n+1]；//SeqList为顺序表类型，表中第0个单元一般用作哨兵
注意：
若关键字类型没有比较算符，则可事先定义宏或函数来表示比较运算。
【例】关键字为字符串时，可定义宏"#define LT(a，b)(Stromp((a)，(b))<0)"。那么算法中"a<b"可用"LT(a，b)"取代。若使用C++，则定义重载的算符"<"更为方便。

按平均时间将排序分为四类：

（1）平方阶(O(n2))排序
一般称为简单排序，例如直接插入、直接选择和冒泡排序；

（2）线性对数阶(O(nlgn))排序
如快速、堆和归并排序；

（3）O(n1+￡)阶排序
￡是介于0和1之间的常数，即0<￡<1，如希尔排序；

（4）线性阶(O(n))排序
如桶、箱和基数排序。

各种排序方法比较

简单排序中直接插入最好，快速排序最快，当文件为正序时，直接插入和冒泡均最佳。

影响排序效果的因素

因为不同的排序方法适应不同的应用环境和要求，所以选择合适的排序方法应综合考虑下列因素：
①待排序的记录数目n；
②记录的大小(规模)；
③关键字的结构及其初始状态；
④对稳定性的要求；
⑤语言工具的条件；
⑥存储结构；
⑦时间和辅助空间复杂度等。

不同条件下，排序方法的选择

(1)若n较小(如n≤50)，可采用直接插入或直接选择排序。
当记录规模较小时，直接插入排序较好；否则因为直接选择移动的记录数少于直接插人，应选直接选择排序为宜。
(2)若文件初始状态基本有序(指正序)，则应选用直接插人、冒泡或随机的快速排序为宜；
(3)若n较大，则应采用时间复杂度为O(nlgn)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序。
快速排序是目前基于比较的内部排序中被认为是最好的方法，当待排序的关键字是随机分布时，快速排序的平均时间最短；
堆排序所需的辅助空间少于快速排序，并且不会出现快速排序可能出现的最坏情况。这两种排序都是不稳定的。
若要求排序稳定，则可选用归并排序。但本章介绍的从单个记录起进行两两归并的 排序算法并不值得提倡，通常可以将它和直接插入排序结合在一起使用。先利用直接插入排序求得较长的有序子文件，然后再两两归并之。因为直接插入排序是稳定的，所以改进后的归并排序仍是稳定的。

4)在基于比较的排序方法中，每次比较两个关键字的大小之后，仅仅出现两种可能的转移，因此可以用一棵二叉树来描述比较判定过程。
当文件的n个关键字随机分布时，任何借助于"比较"的排序算法，至少需要O(nlgn)的时间。
箱排序和基数排序只需一步就会引起m种可能的转移，即把一个记录装入m个箱子之一，因此在一般情况下，箱排序和基数排序可能在O(n)时间内完成对n个记录的排序。但是，箱排序和基数排序只适用于像字符串和整数这类有明显结构特征的关键字，而当关键字的取值范围属于某个无穷集合(例如实数型关键字)时，无法使用箱排序和基数排序，这时只有借助于"比较"的方法来排序。
若n很大，记录的关键字位数较少且可以分解时，采用基数排序较好。虽然桶排序对关键字的结构无要求，但它也只有在关键字是随机分布时才能使平均时间达到线性阶，否则为平方阶。同时要注意，箱、桶、基数这三种分配排序均假定了关键字若为数字时，则其值均是非负的，否则将其映射到箱(桶)号时，又要增加相应的时间。
(5)有的语言(如Fortran，Cobol或Basic等)没有提供指针及递归，导致实现归并、快速(它们用递归实现较简单)和基数(使用了指针)等排序算法变得复杂。此时可考虑用其它排序。
(6)本章给出的排序算法，输人数据均是存储在一个向量中。当记录的规模较大时，为避免耗费大量的时间去移动记录，可以用链表作为存储结构。譬如插入排序、归并排序、基数排序都易于在链表上实现，使之减少记录的移动次数。但有的排序方法，如快速排序和堆排序，在链表上却难于实现，在这种情况下，可以提取关键字建立索引表，然后对索引表进行排序。然而更为简单的方法是：引人一个整型向量t作为辅助表，排序前令t[i]=i(0≤i<n)，若排序算法中要求交换R[i]和R[j]，则只需交换t[i]和t[j]即可；排序结束后，向量t就指示了记录之间的顺序关系：
R[t[0]].key≤R[t[1]].key≤…≤R[t[n-1]].key
若要求最终结果是：
R[0].key≤R[1].key≤…≤R[n-1].key
则可以在排序结束后，再按辅助表所规定的次序重排各记录，完成这种重排的时间是O(n)。

Ⅸ 少数➗多数怎么算

少数除以多数算法有两种
第一种：将除法算式改写成分数形式,约简后的最简分数就是结果。
第二种：将除法算式横式写成竖式,试商计算，得出商和余数。