fulkerson算法
❶ 一个非零数乘以一个非零数有哪几种情况
非零数有正数和负数，相乘有两种情况，同号相乘结果得正，异号相乘结果得负，希望采纳。
❷ 帮我解释下网络流
必须知识：最短路径问题
1.Dijkstra
适用于满足所有权系数大于等于0（lij≥0）的网络最短路问题，能求出起点v1到所有其他点vj的最短距离；
朴素的Dijkstra算法复杂度为O(N^2)，堆实现的Dijkstra复杂度为O(NlogN).
2.bellman-ford
适用于有负权系数，但无负回路的有向或无向网络的最短路问题，能求出起点v1到所有其它点 vj的最短距离。bellman-ford算法复杂度为O(V*E)。
3.Floyed
适用于有负权系数，可以求出图上任意两点之间的最短路径。DP思想的算法，时间复杂度为O(N^3);
for ( k= 1; k<= n; k++)
for ( i= 1; i<= n; i++)
if (graph[i][k]!=INF)
for ( j= 1; j<= n; j++)
if (graph[k][j]!=INF && graph[i][k]+graph[k][j]< graph[i][j])
graph[i][j]= graph[i][k]+ graph[k][j];
NO.1 s-t最大流
两大类算法
1.增广路算法
Ford-Fulkerson算法: 残留网络中寻找增加路径
STEP0：置初始可行流。
STEP1：构造原网络的残量网络，在残量网络中找s－t有向路。如果没有，算法得到最大流结束。否则继续下一步。
STEP2：依据残量网络中的s－t有向路写出对应到原网络中的s－t增广路。对于增广路中的前向弧，置s(e)＝u(e)- f(e)。对于反向弧，置s(e)＝f（e） STEP3：计算crement=min{s（e1），s（e2），…，s（ek）}
STEP4：对于增广路中的前向弧，令f(e)＝f(e)＋crement；对于其中的反向弧，令f(e)＝f(e)-crement，转STEP1。
关键点:寻找可增广路。决定了算法复杂度。
实现：Edmonds-Karp 通过采用了广度优先的搜索策略得以使其复杂度达到O(V*E^2)。
优化—> Dinic算法(*)
Dinic算法的思想是为了减少增广次数，建立一个辅助网络L，L与原网络G具有相同的节点数，但边上的容量有所不同，在L上进行增广，将增广后的流值回写到原网络上，再建立当前网络的辅助网络，如此反复，达到最大流。分层的目的是降低寻找增广路的代价。
算法的时间复杂度为O(V^2*E)。其中m为弧的数目，是多项式算法。邻接表表示图，空间复杂度为O(V+E)。
2.预流推进算法
一般性的push-relabel算法: 时间复杂度达到O(V^2*E)。(*)
relabel-to-front算法->改进
最高标号预流推进:时间复杂度O(V^2*sqrt(E))
NO2. 最小费用最大流
求解最小费用流的步骤和求最大流的步骤几乎完全一致，只是在步骤1时选一条非饱和路时，应选代价和最小的路，即最短路。
步骤1. 选定一条总的单位费用最小的路，即要给定最小费用的初始可行流，而不是包含边数最小的路。
步骤2. 不断重复求最大流的步骤来进行，直到没有饱和路存在为止。然后计算每个路的总费用。
和Edmonds-Karp标号算法几乎一样，因为这两种算法都使用宽度优先搜索来来寻找增广路径，所以复杂度也相同，都是O(V*E^2)。
连续最短路算法 + 线性规划对偶性优化的原始对偶算法(*)
传说中，没见过，据说复杂度是O(V^3)
NO3. 有上下届的最大流和最小流（通过添加点来进行转化）(*)
NO4. 相关图论算法
二分图最大匹配： 加s和t构造最大流
专用算法：hungary算法 O(M*N)
二分图最佳匹配： 加s和t构造最小费用最大流
专用算法：KM算法
朴素的实现方法,时间复杂度为O(n^4)
加上松弛函数O(n^3)
最小路径覆盖：
顶点数－二分图的最大匹配
s-t最小边割集：
最大流最小割定理：最小割等于最大流
普通最小边割集：
Stoer-Wagner Minimum Cut O(n^3)
二分图的最大独立集：
N - 二分图的最大匹配（POJ monthly）girls and boys
反证法证明
普通图的最大独立集是np问题。(*)
❸ 高分：网络流问题
一、引言
网络流算法是一种高效实用的算法，相对于其它图论算法来说，它的模型更加复杂，编程复杂度也更高。但是它综合了图论中的其它一些算法（如最短路径、宽度搜索算法），因而适用范围也更广，经常能够很好地解决一些搜索与动态规划无法解决的非np问题。
网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造，它没用现成的模式可以套用，需要我们对各种网络流的性质了如指掌（比如点有容量、容量有上下限、多重边等等），根据具体的问题发挥我们的创造性。一道问题经常可以建立多种模型，不同的模型对问题的解决效率的影响也是不同的，本文通过实例探讨如何确定适当的模型，提高网络流算法的效率。
二、网络流算法时间效率
当我们确定问题可以使用最大流算法求解后，就根据常用的ford-fulkerson标号法求解；而最小（大）费用最大流问题也可用类似标号法的对偶算法解题。ford-fulkerson标号法的运行时间为o（ve2），对偶法求最小费用流的运行时间大约为o（v3e2）。
显然，影响网络流算法的时间效率的因素主要是网络中顶点的数目与边的数目。这二个因素之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。在构造网络模型中，有时，实现了某个因素的优化，另外一个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，我们在具体问题的解决中，要坚持"全局观"，实现二者的平衡。
三、模型的优化与选择
(一)减少模型的顶点数与边数，优化模型
如果能根据问题的一些特殊性质，减少网络模型中的顶点的数目和边的数目，则可以大大提高算法的效率。
例1：最少皇后控制
在国际象棋中，皇后能向八个方向攻击（如图1(a)所示，图中黑点格子为皇后的位置，标有k的格子为皇后可攻击到的格子）。现在给定一个m*n（n、m均不大于于50）的棋盘，棋盘上某些格子有障碍。每个皇后被放置在无障碍的格子中，它就控制了这个格子，除此，它可以从它能攻击到的最多8个格子中选一个格子来控制，如图1(b)所示，标号为1的格子被一个皇后所控制。
请你编一程序，计算出至少有多少个皇后才能完全控制整个棋盘。
图1(a) 图1(b)
输入格式：
输入文件的第一行有两个整数m和n，表示棋盘的行数与列数。接下来m行n列为一个字符矩阵，用''.''号表示空白的格子，''x''表示有障碍的格子。
输出格式：
输出文件的第一行仅有一个数s，表示需要皇后的数目。
sample input
3 4
x...
x.x.
.x..
sample ouput
5
问题分析]
如果本问题用简单的搜索来做，由于题目给的棋盘很大，搜索算法很难在短时间内出解。由于一个皇后在棋盘最多只能控制两个格子，因此最少需要的皇后数目的下界为[n*m/2]。要使得皇后数目最少，必定是尽量多的皇后控制两个格子。如果我们在每两个能相互攻击到的格子之间加上一条有向弧，则问题很类似于二分图的最大匹配问题。
[模型一]
1． 将每个非障碍的格子按行优先编号(0~m*n-1)。
2． 将上述的每个格子i折成两个格子i''和i''''，作为网络模型中的顶点。
3． 若格子i可以攻击到格子j且i<j，则在模型中顶点i''到j''''之间加上一条有向弧，容量为1。
4． 增加一个源点s，从s点向所有顶点i''添上一条弧；增加一个汇点t，从所有顶点j''''到t添上一条弧，容量均为1。
图1(b)所示的棋盘，对应的模型为：
图2
显然，任一解对应于以上模型的一个最大匹配。且最大匹配中，匹配数必定是偶数。因此至少需要的马匹数为m＊n－障碍数－最大匹配数/2。
[模型二]
如果我们将棋盘涂成黑白相间的格子，则某皇后控制的两个格子一定是一个是黑格，另一个是白格（如图3），不妨设这两个格子中皇后在白格子上。于是，我们将n*m个格子分成两部分白格与黑格。因此我们可以将模型一优化为：
图3
1．将棋盘中的所有格子分成两个部分，对所有的格子进行编号，每个白格与它能攻击到的黑格之间（障碍除外）添上一条从白格到黑格的弧，构成一个二分图。
2．增加一个源点s，从s点向所有非障碍的白格添上一条弧；增加一个汇点t，从所有非障碍的黑格到t添上一条弧。
3．设置所有的弧的流量为1。
图1(b)所示的棋盘，对应的模型为：
图4
[两种模型的比较]
显然，模型二的顶点数与边数大致是模型一的一半。下面是在bp环境下两种模型的时间效率比较(p166/32m)：
模型一 模型二
可扩展性 不易打印出一种解 容易打印出一种解
模型二正是根据问题的特殊性（即马的走法），将网格中的格点分成白与黑两类，且规定马只能从白格跳到黑格，从而避免将每个格点折分成两个点，减少模型的顶点数，同时也大大减少了边的数目。达到了很好的优化效果。
(二)综合各种模型的优点，智能选择模型
有时，同一问题的各种模型各有特色，各有利弊。这种情况下，我们就要综合考虑各种模型的优缺点，根据测试数据智能地选择问题的模型。
例2火星探测器（ioi97）
有一个登陆舱（pod），里边装有许多障碍物探测车（mev），将在火星表面着陆。着陆后，探测车离开登陆舱向相距不远的先期到达的传送器（transmitter）移动，mev一边移动，一边采集岩石（rock）标品，岩石由第一个访问到它的mev所采集，每块岩石只能被采集一次。但是这之后，其他mev可以从该处通过。探测车mev不能通过有障碍的地面。
本题限定探测车mev只能沿着格子向南或向东从登陆处向传送器transmitter移动，允许多个探测车mev在同一时间占据同一位置。
任务：计算出所有探测车的移动途径，使其送到传送器的岩石标本的数量最多，且使得所有的探测车都必须到达传送器。
输入：
火星表面上的登陆舱pod和传送器之间的位置用网络p和q表示，登陆舱pod的位置为（1，1）点，传送器的位置在（p，q）点。
火星上的不同表面用三种不同的数字符号来表示：
0代表平坦无障碍
1代表障碍
2代表石块。
输入文件的组成如下：
numberofvehicles
p
q
(x1y1)(x2y1)(x3,y1)…(xp-1y1)(xpy1)
(x1y2)(x2y2)(x3,y2)…(xp-1y1)(xpy2)
(x1y3)(x2y3)(x3,y3)…(xp-1y3)(xpy3)
…
(x1yq-1)(x2yq-1)(x3,yq-1)…(xp-1yq-1)(xpyq-1)
(x1yq)(x2yq)(x3,yq)…(xp-1yq)(xpyq)
p和q是网络的大小；numberofvehicles是小于1000的整数，表示由登陆舱pod所开出的探测车的个数。共有q行数据，每行表示火星表面的一组数据，p和q都不超过128。
[模型一]
很自然我们以登陆舱的位置为源点，传送器的位置为汇点。同时某块岩石由第一个访问到它的mev所采集，每块岩石只能被采集一次。但是这之后，其他mev可以从该处通过，且允许多个探测车mev在同一时间占据同一位置。因此我们将地图中的每个点分成两个点，即（x,y）à(x,y,0)和(x,y,1)。具体的描述一个火星地图的网络模型构造如下：
1． 将网格中的每个非障碍点分成(x,y)两个点(x,y,0)和(x,y,1)，其中源点s = v(1, 1, 0),汇点t = v(maxx, maxy, 1)。
2． 在以上顶点中添加以下三种类型的边e1,e2,e3，相应地容量和费用分别记为c1、c2、c3以及w1、w2、w3:
u e1 = v(x, y, 0) -> v(x, y, 1),c1 = maxint,w1 = 0。
u e2 = v(x, y, 0) -> v(x, y, 1)，c2 = 1，w2 = -1（这里要求(x, y)必须是矿石）
u e3 = v(x, y, 1) -> v(x'', y'', 0)，c3 = maxint,w3 = 0.
其中x''=x+1 y''=y 或x''=x y''=y+1,1 <= x'' <= maxx，1 <= y'' <= maxy，且(x'' y'')非障碍。
从以上模型中可以看出，在构造的过程中，将地图上的一个点"拆"成了网络的两个节点。添加e1型边使得每个点可以被多次访问，而添加e2型边使得某点上的矿石对于这个网络，从s到t的一条路径可以看作是一辆探测车的行动路线。路径费用就是探测车搜集到的矿石的数目。对于网络g求流量为numberofvehicles的固定最小费用流，可以得到问题的解。
[模型二]
事实上，如果我们只考虑这numberofvehicles辆车中每辆车分别依次装上哪些矿石。则每辆车经过的矿石就是一条流，因此我们以网格中的矿石为网络的顶点建立以下的网络流模型。
1. 将网格中的每个起点(网格左上角)能到达，且能从它能到达终点(右下角)的矿石 (x,y)点分成左点(x,y,0)和右点(x,y,1)两个点，并添加源点s和汇点t。
2. 在以上顶点中添加以下五种类型的边e1,e2,e3，相应地容量和费用分别记为c1、c2、c3以及w1、w2、w3:
u e1 = v(x, y, 0) -> v(x, y, 1),c1 = 1,w1 = -1。
u e2 = v(x, y, 1) -> v(x'', y'', 0)，c2 = 1，w2 = 0（矿石点(x, y)可到达矿石点(x'',y'')）。
u e3 = s -> v(x, y, 0)，c3 = 1,w3 = 0。
u e4 = v(x, y, 1)->t，c4 = 1,w4 = 0。
u e5=s->t,c5=maxint,w5=0。
由于每个石块被折成两个点，且容量为1，就保证了每个石块只被取走一次，同时取走一块石块就得到-1的费用。因此对以上模型，我们求流量为numberofvehicles的最小费用流，就可得到解。
[两种模型的比较]
1.模型一以网格为顶点，模型二以矿石为顶点，因此在顶点个数上模型二明显优于模型一，对于一些矿石比较稀疏，而网格又比较大的数据，模型二的效率要比模型一来得高。且只要矿石的个数不超过一定数目，模型二可以处理p，q很大的数据，而模型一却不行。
2．模型一中边的数目最多为3*p*q，而模型二中边的数目最坏情况下大约为p*q*(p+1)*(q+1)/4-p*q。因此在这个问题中，若对于一些矿石比较密集且网格又比较大的数据，模型二的边数将大大超过模型一，从而使得时间效率大大低于模型一。
下面是网格中都是矿石的情况比较（piii700/128m ，bp7.0保护模式）：
numberofvehicles＝10 模型一 模型二
通过以上数据，可知对于p，q不超过60的情况，模型一都能在10秒内出解。而模型二则对于p、q＝30的最坏情况下速度就很慢了，且p、q超过30后就出现内存溢出情况，而无法解决。
因此，对于本题，以上两种模型各有利弊，我们可根据测试数据中矿石稀疏程度来决定建立什么样的模型。若矿石比较稀疏，则可以考虑用建立如模型二的网络模型；若矿石比较密集则建立模型一所示网络模型。然后，再应用求最小费用最大流算法求解。对于p，q＞60，且矿石比较多情况下，两种模型的网络流算法都无法求解。在实际的应用中问题经常都只要求近似解，此时还可用综合一些其它算法来求解。
四、结束语
综上所述，网络流算法中模型的优化是网络流算法提高效率的根本。我们要根据实际问题，从减少顶点及边的角度综合考虑如何对模型进行优化，选择适当的模型，以提高算法的效率。对于有些题目，解题的各种模型各有优劣时，还可通过程序自动分析测试数据，以决定何种情况下采用何种模型，充分发挥各种模型的优点，以达到优化程序效率的目的。
❹ 最大流问题与算法ford-fulkerson
最重要的就是残余网络
所谓的残余网络就是说在原图的基础上，每条边流量减去已经扩充过的流量值。
然后在这个图中任意找一条路径，然后一直将其流量扩充到总流量中，至到找不到这样的路径(从原点到汇点的正流量路径)，算法结束。
重点在于残余网络的数据结构表示以及其维护方法，路径搜索的方法则可以随便发挥。。
❺ c/c++ 最大流算法ford-fulkerson
你的问题是用C/C++写最大流算法ford-fulkerson算法。顶点就是节点。
void maximum_flow(int n, int s, int t, int *capacity, int *flow)
可以参考：算法模板-最大流（Ford-fulkerson算法）
❻ 什么是距离矢量协议
距离矢量路由协议 路由以矢量（距离、方向）的方式被通告出去的，其中距离是根据度量来定义的，方向是根据下一跳路由器定义的。被认为是“依照传闻进行路由选择”。 以下都属于距离矢量协议： 1、 RIP 2、 Xerox网络系统的XNS RIP 3、 NOVELL的IPX RIP 4、 IGRP 5、 DNA4 6、 APPLE TALK的路由表维护协议RTMP
❼ 如何证明Ford-Fulkerson网络流算法的正确性
最大流理论是由福特和富尔克森于 1956 年创立的 ，他们指出最大流的流值等于最小割(截集)的容量这个重要的事实，并根据这一原理设计了用标号法求最大流的方法，后来又有人加以改进，使得求解最大流的方法更加丰富和完善 。最大流问题的研究密切了图论和运筹学，特别是与线性规划的联系，开辟了图论应用的新途径。
❽ 距离矢量协议的路由算法
距离矢量路由算法是动态路由算法。它是这样工作的：每个路由器维护一张矢量表，表中列出了当前已知的到 每个目标的最佳距离，以及所使用的线路。通过在邻居之间相互交换信息，路由器不断地更新它们内部的表。
距离矢量路由算法最常见的是Ford－Fulkerson算法。该算法的核心思想是使用标号的方法不断寻找一个图上的 可增广路径并且进行调整，直到找不到可增广路径为止。距离矢量路由算法号召每个路由器在每次更新时发送它 的整个路由表，但仅仅给它的邻居。距离矢量路由算法倾向于路由循环，但比链路状态路由算法计算更简单。
算法描述如下：
给定带杈有向图G和源点s，求从s到G中任意顶点v的最短路径，该算法通过在一个路由中重申跳数的个数九来寻 找一个最短路径生成树。
在距离矢量路由选择算法中，每个路由器维持有一张子网中每一个以其他路由器为索引的路由选择表，表中的 每一个项目都对应于子网中的每个路由器。此表项包括两个部分，即希望使用的到目的地的输出线路和估计到达 目的地所需时间或距离。用度量标准可为站点，估计的时间延迟（ms），该路出排队的分组估计总数或类似的值。
假定路由器知道它到每个相邻路由器的“距离”。如果度量标准为站点，其距离就为一个站点；如果度量标准是队列长度，则路由器会简单地检查每个队列；如果度量标准是延迟，路由器可以直接发送一个特别“响应”（ECHO）分组来测出延迟，接收者只对它加上时间标记后就尽快送回。
