背包算法详解
① 这是一个背包问题的递归算法 可是我看不懂
*
输入：
s 背包的体积
n 物品的数量
w[] 每件物品的体积
输出：
若存在至少一种刚好装满背包的方式，则输出这种方式；
若不存在，则输出no solution
该算法使用递归函数knap。
该函数首先尝试将最后一件物品放入背包，则物品减少一件，背包可用体积相应减少，然后对当前状态进行递归……
若有解则递归结束；若无解则抛弃最后一件物品，然后对当前状态进行递归……
② 背包问题的算法
1)登上算法
用登山算法求解背包问题 function []=DengShan(n,G,P,W) %n是背包的个数，G是背包的总容量，P是价值向量，W是物体的重量向量 %n=3;G=20;P=[25,24,15];W2=[18,15,10];%输入量 W2=W; [Y,I]=sort(-P./W2);W1=[];X=[];X1=[]; for i=1:length(I) W1(i)=W2(I(i)); end W=W1; for i=1:n X(i)=0; RES=G;%背包的剩余容量 j=1; while W(j)<=RES X(j)=1; RES=RES-W(j); j=j+1; end X(j)=RES/W(j); end for i=1:length(I) X1(I(i))=X(i); end X=X1; disp('装包的方法是');disp(X);disp(X.*W2);disp('总的价值是：');disp(P*X');
时间复杂度是非指数的
2)递归法
先看完全背包问题
一个旅行者有一个最多能用m公斤的背包，现在有n种物品，每件的重量分别是W1，W2，...,Wn,
每件的价值分别为C1,C2,...,Cn.若的每种物品的件数足够多.
求旅行者能获得的最大总价值。
本问题的数学模型如下：
设 f(x)表示重量不超过x公斤的最大价值，
则 f(x）=max{f(x-i)+c[i]} 当x>=w[i] 1<=i<=n
可使用递归法解决问题程序如下:
program knapsack04;
const maxm=200;maxn=30;
type ar=array[0..maxn] of integer;
var m,n,j,i,t:integer;
c,w:ar;
function f(x:integer):integer;
var i,t,m:integer;
begin
if x=0 then f:=0 else
begin
t:=-1;
for i:=1 to n do
begin
if x>=w[i] then m:=f(x-i)+c[i];
if m>t then t:=m;
end;
f:=t;
end;
end;
begin
readln(m,n);
for i:= 1 to n do
readln(w[i],c[i]);
writeln(f(m));
end.
说明:当m不大时,编程很简单,但当m较大时,容易超时.
4.2 改进的递归法
改进的的递归法的思想还是以空间换时间,这只要将递归函数计算过程中的各个子函数的值保存起来,开辟一个
一维数组即可
程序如下:
program knapsack04;
const maxm=2000;maxn=30;
type ar=array[0..maxn] of integer;
var m,n,j,i,t:integer;
c,w:ar;
p:array[0..maxm] of integer;
function f(x:integer):integer;
var i,t,m:integer;
begin
if p[x]<>-1 then f:=p[x]
else
begin
if x=0 then p[x]:=0 else
begin
t:=-1;
for i:=1 to n do
begin
if x>=w[i] then m:=f(i-w[i])+c[i];
if m>t then t:=m;
end;
p[x]:=t;
end;
f:=p[x];
end;
end;
begin
readln(m,n);
for i:= 1 to n do
readln(w[i],c[i]);
fillchar(p,sizeof(p),-1);
writeln(f(m));
end.
3)贪婪算法
改进的背包问题：给定一个超递增序列和一个背包的容量，然后在超递增序列中选（只能选一次）或不选每一个数值，使得选中的数值的和正好等于背包的容量。
代码思路：从最大的元素开始遍历超递增序列中的每个元素，若背包还有大于或等于当前元素值的空间，则放入，然后继续判断下一个元素；若背包剩余空间小于当前元素值，则判断下一个元素
简单模拟如下：
#define K 10
#define N 10
＃i nclude <stdlib.h>
＃i nclude <conio.h>
void create(long array[],int n,int k)
{/*产生超递增序列*/
int i,j;
array[0]=1;
for(i=1;i<n;i++)
{
long t=0;
for(j=0;j<i;j++)
t=t+array[j];
array[i]=t+random(k)+1;
}
}
void output(long array[],int n)
{/*输出当前的超递增序列*/
int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(i%5==0)
printf("\n");
printf("%14ld",array[i]);
}
}
void beibao(long array[],int cankao[],long value,int count)
{/*背包问题求解*/
int i;
long r=value;
for(i=count-1;i>=0;i--)/*遍历超递增序列中的每个元素*/
{
if(r>=array[i])/*如果当前元素还可以放入背包，即背包剩余空间还大于当前元素*/
{
r=r-array[i];
cankao[i]=1;
}
else/*背包剩余空间小于当前元素值*/
cankao[i]=0;
}
}
void main()
{
long array[N];
int cankao[N]={0};
int i;
long value,value1=0;
clrscr();
create(array,N,K);
output(array,N);
printf("\nInput the value of beibao:\n");
scanf("%ld",&value);
beibao(array,cankao,value,N);
for(i=0;i<N;i++)/*所有已经选中的元素之和*/
if(cankao[i]==1)
value1+=array[i];
if(value==value1)
{
printf("\nWe have got a solution,that is:\n");
for(i=0;i<N;i++)
if(cankao[i]==1)
{
if(i%5==0)
printf("\n");
printf("%13ld",array[i]);
}
}
else
printf("\nSorry.We have not got a solution.\n");
}
贪婪算法的另一种写法，beibao函数是以前的代码，用来比较两种算法：
#define K 10
#define N 10
＃i nclude <stdlib.h>
＃i nclude <conio.h>
void create(long array[],int n,int k)
{
int i,j;
array[0]=1;
for(i=1;i<n;i++)
{
long t=0;
for(j=0;j<i;j++)
t=t+array[j];
array[i]=t+random(k)+1;
}
}
void output(long array[],int n)
{
int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(i%5==0)
printf("\n");
printf("%14ld",array[i]);
}
}
void beibao(long array[],int cankao[],long value,int count)
{
int i;
long r=value;
for(i=count-1;i>=0;i--)
{
if(r>=array[i])
{
r=r-array[i];
cankao[i]=1;
}
else
cankao[i]=0;
}
}
int beibao1(long array[],int cankao[],long value,int n)
{/*贪婪算法*/
int i;
long value1=0;
for(i=n-1;i>=0;i--)/*先放大的物体，再考虑小的物体*/
if((value1+array[i])<=value)/*如果当前物体可以放入*/
{
cankao[i]=1;/*1表示放入*/
value1+=array[i];/*背包剩余容量减少*/
}
else
cankao[i]=0;
if(value1==value)
return 1;
return 0;
}
void main()
{
long array[N];
int cankao[N]={0};
int cankao1[N]={0};
int i;
long value,value1=0;
clrscr();
create(array,N,K);
output(array,N);
printf("\nInput the value of beibao:\n");
scanf("%ld",&value);
beibao(array,cankao,value,N);
for(i=0;i<N;i++)
if(cankao[i]==1)
value1+=array[i];
if(value==value1)
{
printf("\nWe have got a solution,that is:\n");
for(i=0;i<N;i++)
if(cankao[i]==1)
{
if(i%5==0)
printf("\n");
printf("%13ld",array[i]);
}
}
else
printf("\nSorry.We have not got a solution.\n");
printf("\nSecond method:\n");
if(beibao1(array,cankao1,value,N)==1)
{
for(i=0;i<N;i++)
if(cankao1[i]==1)
{
if(i%5==0)
printf("\n");
printf("%13ld",array[i]);
}
}
else
printf("\nSorry.We have not got a solution.\n");
}
4)动态规划算法
解决0/1背包问题的方法有多种，最常用的有贪婪法和动态规划法。其中贪婪法无法得到问题的最优解，而动态规划法都可以得到最优解，下面是用动态规划法来解决0/1背包问题。
动态规划算法与分治法类似，其基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的，若用分治法解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，以至于最后解决原问题需要耗费过多的时间。动态规划法又和贪婪算法有些一样，在动态规划中，可将一个问题的解决方案视为一系列决策的结果。不同的是，在贪婪算法中，每采用一次贪婪准则便做出一个不可撤回的决策，而在动态规划中，还要考察每个最优决策序列中是否包含一个最优子序列。
0/1背包问题
在0 / 1背包问题中，需对容量为c 的背包进行装载。从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为wi ，价值为pi 。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即p1*x1+p2*x1+...+pi*xi(其1<=i<=n，x取0或1，取1表示选取物品i) 取得最大值。
在该问题中需要决定x1 .. xn的值。假设按i = 1，2，...，n 的次序来确定xi 的值。如果置x1 = 0，则问题转变为相对于其余物品(即物品2，3，.，n)，背包容量仍为c 的背包问题。若置x1 = 1，问题就变为关于最大背包容量为c-w1 的问题。现设r?{c，c-w1 } 为剩余的背包容量。
在第一次决策之后，剩下的问题便是考虑背包容量为r 时的决策。不管x1 是0或是1，[x2 ，.，xn ] 必须是第一次决策之后的一个最优方案，如果不是，则会有一个更好的方案[y2，.，yn ]，因而[x1，y2，.，yn ]是一个更好的方案。
假设n=3, w=[100,14,10], p=[20,18,15], c= 116。若设x1 = 1，则在本次决策之后，可用的背包容量为r= 116-100=16 。[x2，x3 ]=[0,1] 符合容量限制的条件，所得值为1 5，但因为[x2，x3 ]= [1，0] 同样符合容量条件且所得值为1 8，因此[x2，x3 ] = [ 0，1] 并非最优策略。即x= [ 1，0，1] 可改进为x= [ 1，1，0 ]。若设x1 = 0，则对于剩下的两种物品而言，容量限制条件为116。总之，如果子问题的结果[x2，x3 ]不是剩余情况下的一个最优解，则[x1，x2，x3 ]也不会是总体的最优解。在此问题中，最优决策序列由最优决策子序列组成。假设f (i,y) 表示剩余容量为y，剩余物品为i，i + 1，...，n 时的最优解的值，即：利用最优序列由最优子序列构成的结论，可得到f 的递归式为：
当j>=wi时： f(i,j)=max{f(i+1,j),f(i+1,j-wi)+vi} ①式
当0<=j<wi时：f(i,j)=f(i+1,j) ②式
fn( 1 ,c) 是初始时背包问题的最优解。
以本题为例：若0≤y＜1 0，则f ( 3 ,y) = 0；若y≥1 0，f ( 3 ,y) = 1 5。利用②式，可得f (2, y) = 0 ( 0≤y＜10 )；f(2，y)= 1 5(1 0≤y＜1 4)；f(2，y)= 1 8(1 4≤y＜2 4)和f(2，y)= 3 3(y≥2 4)。因此最优解f ( 1 , 11 6 ) = m a x {f(2，11 6)，f(2，11 6 - w1)+ p1} = m a x {f(2，11 6)，f(2，1 6)+ 2 0 } = m a x { 3 3，3 8 } = 3 8。
现在计算xi 值，步骤如下：若f ( 1 ,c) =f ( 2 ,c)，则x1 = 0，否则x1 = 1。接下来需从剩余容量c-w1中寻求最优解，用f (2, c-w1) 表示最优解。依此类推，可得到所有的xi (i= 1.n) 值。
在该例中，可得出f ( 2 , 116 ) = 3 3≠f ( 1 , 11 6 )，所以x1 = 1。接着利用返回值3 8 -p1=18 计算x2 及x3，此时r = 11 6 -w1 = 1 6，又由f ( 2 , 1 6 ) = 1 8，得f ( 3 , 1 6 ) = 1 4≠f ( 2 , 1 6 )，因此x2 = 1，此时r= 1 6 -w2 = 2，所以f (3,2) =0，即得x3 = 0。
③ Merkle-Hellman背包算法的分类
背包加密分为加法背包和乘法背包。
1、加法背包：我们知道，1<2,1+2<4,1+2+4<8,1+2+4+8<16,……，那么如果我们选择这样一些数，这些数从小到大排列，如果前面所有的数加起来的值总小于后面的数，那么这些数就可以构成一个背包，我们给一个这个背包里面的某些数的和，这个数就是被加密的数，由这个背包组成这个数只有一种组合方式，这个方式就是秘密了，例如给大家一个封包（2，3，6，12，24，48），由这个背包里的某些数构成的数：86，你知道86怎么来的吗？当然，你看着背包里面的内容，可以知道是由2+12+24+48得到的，如果你没有这个背包，而是直接得到这个86，你知道组成这个86的最小的数是多少吗？你无法知道，因为加起来等于86的数非常多：85+1=86，84+2=86等等，你是无法知道的，所以，背包加密非常难破。
2、乘法背包：乘法背包比加法背包更复杂，不仅是运算量大了很多，更重要的是你得到的一个被加密了的数据更大，一般都是上亿的，而且在许多机密的机关里面，背包的数据都不是有这个单位，而是用位。我们知道，1<2,1*2<3,1*2*3<7,1*2*3*7<43,1*2*3*7*42<1765, 数字的增长还是很快的，之所以复杂，就是因为数字很大啊！背包的特点是：如果背包里面的数据按小到大排列，那么，前面所有数据的乘积小于后面的任何一个元素，这个就是背包的特点，是不是很简单，但是要知道乘积的数字的增长是非常快的！
④ C语言 背包问题 递归算法
if(n==0)应该改成
if(n<0)才对，表示没有物品可选了。我的一个改进，但输出选择项还是有问题！
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#defineN3
intMaxW(intn,intC,int*Volume,int*Weight,int*Select){
intW=0,W1=0;
if(n<0){//没有物品了
return0;
}
W=MaxW(n-1,C,Volume,Weight,Select);//没放入n之前的重量
if(C>=Volume[n]){//背包剩余空间可以放下物品n
W1=MaxW(n-1,C-Volume[n],Volume,Weight,Select)+Weight[n];//放入n所能得到的重量
Select[n]=0;
if(W1>W){//放入n能获得更大的重量
Select[n]=1;
W=W1;
}
}
returnW;
}
intmain(){
intC=8,W,i;
//intVolume[N]={1,2,3,4,5};//物品体积
//intWeight[N]={1,2,5,7,8};//物品重量
intVolume[N]={2,3,5};//物品体积
intWeight[N]={5,8,7};//物品重量
intSelect[N]={0};//选择标记
W=MaxW(N-1,C,Volume,Weight,Select);
printf("MaxWeight=%d,SelectList[index(volume,weight)]: ",W);
for(i=0;i<N;++i){
if(Select[i]){
printf("%d(%d,%d)",i,Volume[i],Weight[i]);
}
}
printf(" Finished! ");
getch();
return0;
}
其中的Select数组还是会多选了，你看看。
⑤ 完全背包的最优解法—O(VN)
for i=1..N
for j=c..V
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
你会发现，这个伪代码与01背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？
首先想想为什么01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[v]是由状态f[v-c]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个没有已经选入第i件物品的子结果f[v-c]。
而当前完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[v-c]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码，以后会用到：
procere CompletePack(c,w)
for j=c..V
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
范文：背包问题——“完全背包”详解及实现（包含背包具体物品的求解）
⑥ 背包算法的使用
program p;
var
v,w,m:array[1..100] of integer;
i,j,n,t,s,z:integer;
begin
write('input n:');
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
write('input v:');
readln(v[i]);
write('input w:');
readln(w[i]);
m[i]:=i;
end;
write('input s:');
readln(s);
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
if v[i] div w[i]<v[j] div w[j] then
begin
t:=m[i];
m[i]:=m[j];
m[j]:=t;
t:=v[i];
v[i]:=v[j];
v[j]:=t;
t:=w[i];
w[i]:=w[j];
w[j]:=t;
end;
for i:=1 to n do
begin
if s>w[i] then
begin
writeln(i,':No.',m[i],'*',w[i],',all:',v[i]);
z:=z+v[i];
end;
if s<w[i] then
begin
writeln(i,':No.',m[i],'*',s,',all:',v[i] div w[i]*s);
z:=z+v[i] div w[i]*s;
end;
s:=s-w[i];
if w[i]<=0 then
break;
end;
writeln('all the are:',z);
readln;
end.
背包的题目我就不多说了，在网上就能找到的，看完题，在看代码
这是pascal代码。
⑦ C语言背包问题递归算法
你学过数据结构了吗？如果学过，那就比较好理解，该算法的思路和求二叉树的高度的算法的思路是十分类似的。把取这i个物体看成i个阶段，则该二叉树有i+1层。其中空背包时为根结点，左孩子则为放弃了第1个物品后的背包，右孩子为选取了第1个物品后的背包。今后在对第i个物品进行选择时，向左表示放弃，向右表示选取。则递归算法可如下：
int fun(int s, int i, int n) //s传入的是背包容量, i是进行第i个物品的选取，n为剩余物品的件数
{
if(s == 0) return 有解；
else if(剩余的每件物品都装不进|| n == 0) return 无解；
L = fun(s, i + 1, n - 1); //放弃第i个物品，则下一步的背包容量仍为s，然后看其是否有解，(递归调用进入左子树)
R = fun(s - wi, i + 1, n - 1); //选取第i个物品，则下一步的背包容量为s-wi，然后看其是否有解，(递归调用进入右子树)
return (l, r); //综合考虑左右两边，看哪边是正解或都无解。其实应该返回 return (L||R);
}