算法效率分析

A. 算法效率与分析

算法效率与分析
数据结构作为程序设计的基础，其对算法效率的影响必然是不可忽视的。本文就如何合理选择数据结构来优化算法这一问题，对选择数据结构的原则和方法进行了一些探讨。首先对数据逻辑结构的重要性进行了分析，提出了选择逻辑结构的两个基本原则；接着又比较了顺序和链式两种存储结构的优点和缺点，并讨论了选择数据存储结构的方法；最后本文从选择数据结构的的另一角度出发，进一步探讨了如何将多种数据结构进行结合的方法。在讨论方法的同时，本文还结合实际，选用了一些较具有代表性的信息学竞赛试题举例进行了分析
【正文】一、引论
“数据结构＋算法＝程序”，这就说明程序设计的实质就是对确定的问题选择一种合适的数据结构，加上设计一种好的算法。由此可见，数据结构在程序设计中有着十分重要的地位。
数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。因为这其中的“关系”，指的是数据元素之间的逻辑关系，因此数据结构又称为数据的逻辑结构。而相对于逻辑结构这个比较抽象的概念，我们将数据结构在计算机中的表示又称为数据的存储结构。
建立问题的数学模型，进而设计问题的算法，直至编出程序并进行调试通过，这就是我们解决信息学问题的一般步骤。我们要建立问题的数学模型，必须首先找出问题中各对象之间的关系，也就是确定所使用的逻辑结构；同时，设计算法和程序实现的过程，必须确定如何实现对各个对象的操作，而操作的方法是决定于数据所采用的存储结构的。因此，数据逻辑结构和存储结构的好坏，将直接影响到程序的效率。

二、选择合理的逻辑结构

在程序设计中，逻辑结构的选用就是要分析题目中的数据元素之间的关系，并根据这些特定关系来选用合适的逻辑结构以实现对问题的数学描述，进一步解决问题。逻辑结构实际上是用数学的方法来描述问题中所涉及的操作对象及对象之间的关系，将操作对象抽象为数学元素，将对象之间的复杂关系用数学语言描述出来。
根据数据元素之间关系的不同特性，通常有以下四种基本逻辑结构：集合、线性结构、树形结构、图状（网状）结构。这四种结构中，除了集合中的数据元素之间只有“同属于一个集合”的关系外，其它三种结构数据元素之间分别为“一对一”、“一对多”、“多对多”的关系。
因此，在选择逻辑结构之前，我们应首先把题目中的操作对象和对象之间的关系分析清楚，然后再根据这些关系的特点来合理的选用逻辑结构。尤其是在某些复杂的问题中，数据之间的关系相当复杂，且选用不同逻辑结构都可以解决这一问题，但选用不同逻辑结构实现的算法效率大不一样。
对于这一类问题，我们应采用怎样的标准对逻辑结构进行选择呢？
下文将探讨选择合理逻辑结构应充分考虑的两个因素。

一、 充分利用“可直接使用”的信息。
首先，我们这里所讲的“信息”，指的是元素与元素之间的关系。
对于待处理的信息，大致可分为“可直接使用”和“不可直接使用”两类。对于“可直接使用”的信息，我们使用时十分方便，只需直接拿来就可以了。而对于“不可直接使用”的这一类，我们也可以通过某些间接的方式，使之成为可以使用的信息，但其中转化的过程显然是比较浪费时间的。
由此可见，我们所需要的是尽量多的“可直接使用”的信息。这样的信息越多，算法的效率就会越高。
对于不同的逻辑结构，其包含的信息是不同的，算法对信息的利用也会出现不同的复杂程度。因此，要使算法能够充分利用“可直接使用”的信息，而避免算法在信息由“不可直接使用”向“可直接使用”的转化过程中浪费过多的时间，我们必然需要采用一种合理的逻辑结构，使其包含更多“可直接使用”的信息。
〖问题一〗 IOI99的《隐藏的码字》。
〖问题描述〗
问题中给出了一些码字和一个文本，要求编程找出文本中包含这些码字的所有项目，并将找出的项目组成一个最优的“答案”，使得答案中各项目所包含的码字长度总和最大。每一个项目包括一个码字，以及该码字在文本中的一个覆盖序列（如’abcadc’就是码字’abac’的一个覆盖序列），并且覆盖序列的长度不超过1000。同时，“答案”要求其中每个项目的覆盖序列互相没有重叠。
〖问题分析〗
对于此题，一种较容易得出的基本算法是：对覆盖序列在文本中的终止位置进行循环，再判断包含了哪些码字，找出所有项目，并最后使用动态规划的方法将项目组成最优的“答案”。
算法的其它方面我们暂且不做考虑，而先对问题所采用的逻辑结构进行选择。
如果我们采用线性的逻辑结构（如循环队列），那么我们在判断是否包含某个码字t时，所用的方法为：初始时用指针p指向终止位置，接着通过p的不断前移，依次找出码字t从尾到头的各个字母。例如码字为“ABDCAB”，而文本图1-1，终止位置为最右边的箭头符号，每个箭头代表依次找到的码字的各个字母。
指针p的移动方向
A B D C A B

C D A C B D C A D C D B A D C C B A D

图1-1

由于题目规定码字的覆盖序列长度不超过1000，所以进行这样的一次是否包含的判断，其复杂度为O(1000)。
由于码字t中相邻两字母在文本中的位置，并非只有相邻(如图1-1中的’D’和’C’)这一种关系，中间还可能间隔了许多的字母(如图1-1中’C’和’A’就间隔了2个字母)，而线性结构中拥有的信息，仅仅只存在于相邻的两元素之间。通过这样简单的信息来寻找码字的某一个字母，其效率显然不高。
如果我们建立一个有向图，其中顶点i(即文本的第i位)用52条弧分别连接’a’..’z’,’A’..’Z’这52个字母在i位以前最后出现的位置（如图1-2的连接方式），我们要寻找码字中某个字母的前一个字母，就可以直接利用已连接的边，而不需用枚举的方法。我们也可以把问题看为：从有向图的一个顶点出发，寻找一条长度为length(t)-1的路径，并且路径中经过的顶点，按照码字t中的字母有序。

C D A C B D C A D C D B A D C C B A D

图1-2
通过计算，用图进行记录在空间上完全可以承受(记录1000个点×52条弧×4字节的长整型=200k左右)。在时间上，由于可以充分利用第i位和第i+1位弧的连接方式变化不大这一点(如图1-2所示，第i位和第i+1位只有一条弧的指向发生了变化，即第i+1位将其中一条弧指向了第i位)，所以要对图中的弧进行记录，只需对弧的指向进行整体赋值，并改变其中的某一条弧即可。
因此，我们通过采用图的逻辑结构，使得寻找字母的效率大大提高，其判断的复杂度为O(length(t))，最坏为O(100)，比原来方法的判断效率提高了10倍。
（附程序codes.pas）

对于这个例子，虽然用线性的数据结构也可以解决，但由于判断的特殊性，每次需要的信息并不能从相邻的元素中找到，而线性结构中只有相邻元素之间存在关系的这一点，就成为了一个很明显的缺点。因此，问题一线性结构中的信息，就属于“不可直接使用”的信息。相对而言，图的结构就正好满足了我们的需要，将所有可能产生关系的点都用弧连接起来，使我们可以利用弧的关系，高效地进行判断寻找的过程。虽然图的结构更加复杂，但却将“不可直接使用”的信息，转化成为了“可直接使用”的信息，算法效率的提高，自然在情理之中。。
二、 不记录“无用”信息。
从问题一中我们看到，由于图结构的信息量大，所以其中的信息基本上都是“可用”的。但是，这并不表示我们就一定要使用图的结构。在某些情况下，图结构中的“可用”信息，是有些多余的。
信息都“可用”自然是好事，但倘若其中“无用”（不需要）的信息太多，就只会增加我们思考分析和处理问题时的复杂程度，反而不利于我们解决问题了。
〖问题二〗 湖南省1997年组队赛的《乘船问题》
〖问题描述〗
有N个人需要乘船，而每船最多只能载两人，且必须同名或同姓。求最少需要多少条船。
〖问题分析〗
看到这道题，很多人都会想到图的数据结构：将N个人看作无向图的N个点，凡同名或同姓的人之间都连上边。
要满足用船最少的条件，就是需要尽量多的两人共乘一条船，表现在图中就是要用最少的边完成对所有顶点的覆盖。这就正好对应了图论的典型问题：求最小边的覆盖。所用的算法为“求任意图最大匹配”的算法。
使用“求任意图最大匹配”的算法比较复杂(要用到扩展交错树，对花的收缩等等)，效率也不是很高。因此，我们必须寻找一个更简单高效的方法。
首先，由于图中任两个连通分量都是相对独立的，也就是说任一条匹配边的两顶点，都只属于同一个连通分量。因此，我们可以对每个连通分量分别进行处理，而不会影响最终的结果。
同时，我们还可以对需要船只s的下限进行估计：
对于一个包含Pi个顶点的连通分量，其最小覆盖边数显然为[Pi/2]。若图中共有L个连通分量，则s=∑[Pi/2](1<=i<=L)。
然后，我们通过多次尝试，可得出一个猜想：
实际需要的覆盖边数完全等于我们求出的下限∑[Pi/2](1<=i<=L)。
要用图的结构对上述猜想进行证明，可参照以下两步进行：
1． 连通分量中若不存在度为1的点，就必然存在回路。
2． 从图中删去度为1的点及其相邻的点，或删去回路中的任何一边，连通分量依然连通，即连通分量必然存在非桥边。
由于图的方法不是这里的重点，所以具体证明不做详述。而由采用图的数据结构得出的算法为：每次输出一条非桥的边，并从图中将边的两顶点删去。此算法的时间复杂度为O(n3)。（寻找一条非桥边的复杂度为O(n2)，寻找覆盖边操作的复杂度为O(n)）
由于受到图结构的限制，时间复杂度已经无法降低，所以如果我们要继续对算法进行优化，只有考虑使用另一种逻辑结构。这里，我想到了使用二叉树的结构，具体说就是将图中的连通分量都转化为二叉树，用二叉树来解决问题。
首先，我们以连通分量中任一个顶点作为树根，然后我们来确定建树的方法。
1． 找出与根结点i同姓的点j（j不在二叉树中）作为i的左儿子，再以j为树根建立子树。
2． 找出与根结点i同名的点k（k不在二叉树中）作为i的右儿子，再以k为树根建立子树。
如图2-1-1中的连通分量，我们通过上面的建树方法，可以使其成为图2-1-2中的二叉树的结构(以结点1为根)。（两点间用实线表示同姓，虚线表示同名）

图2-1-2

图2-1-1
接着，我就来证明这棵树一定包含了连通分量中的所有顶点。
【引理2.1】
若二叉树T中包含了某个结点p，那么连通分量中所有与p同姓的点一定都在T中。
证明：
为了论证的方便，我们约定：s表示与p同姓的顶点集合；lc[p,0]表示结点p，lc[p,i](i>0)表示lc[p,i-1]的左儿子，显然lc[p,i]与p是同姓的。
假设存在某个点q，满足qs且qT。由于s是有限集合，因而必然存在某个lc[p,k]无左儿子。则我们可以令lc[p,k+1]=q，所以qT，与假设qT相矛盾。
所以假设不成立，原命题得证。

由引理2.1的证明方法，我们同理可证引理2.2。
【引理2.2】
若二叉树T中包含了某个结点p，那么连通分量中所有与p同名的点一定都在T中。

有了上面的两个引理，我们就不难得出下面的定理了。
【定理一】
以连通分量中的任一点p作为根结点的二叉树，必然能够包含连通分量中的所有顶点。
证明：
由引理2.1和引理2.2，所有与p同姓或同名的点都一定在二叉树中，即连通分量中所有与p有边相连的点都在二叉树中。由连通分量中任两点间都存在路径的特性，该连通分量中的所有点都在二叉树中。

在证明二叉树中包含了连通分量的所有顶点后，我们接着就需要证明我们的猜想，也就是下面的定理：
【定理二】包含m个结点的二叉树Tm，只需要船的数量为boat[m]=[m/2](mN)。
证明：
(i) 当m=1,m=2,m=3时命题显然成立。

图2-2-1

图2-2-2

图2-2-3
(ii) 假设当m<k(k>3)时命题成立，那么当m=k时，我们首先从树中找到一个层次最深的结点，并假设这个结点的父亲为p。那么，此时有且只有以下三种情况（结点中带有阴影的是p结点）：
(1) 如图2-2-1，p只有一个儿子。此时删去p和p唯一的儿子，Tk就成为了Tk-2，则boat[k]=boat[k-2]+1=[(k-2)/2]+1=[k/2]。
(2) 如图2-2-2，p有两个儿子，并且p是其父亲的左儿子。此时可删去p和p的右儿子，并可将p的左儿子放到p的位置上。同样地，Tk成为了Tk-2，boat[k]=boat[k-2]+1=[k/2]。
(3) 如图2-2-3，p有两个儿子，并且p是其父亲的右儿子。此时可删去p和p的左儿子，并可将p的右儿子放到p的位置上。情况与(2)十分相似，易得此时得boat[k]=boat[k-2]+1=[k/2]。
综合(1)、(2)、(3)，当m=k时，boat[k]=[k/2]。
最后，综合(i)、(ii)，对于一切mN，boat[m]=[m/2]。

由上述证明，我们将问题中数据的图结构转化为树结构后，可以得出求一棵二叉树的乘船方案的算法：
proc try(father:integer;var root:integer;var rest:byte);
{输出root为树根的子树的乘船方案，father=0表示root是其父亲的左儿子，
father=1表示root是其父亲的右儿子，rest表示输出子树的乘船方案后，
是否还剩下一个根结点未乘船}
begin
visit[root]:=true; {标记root已访问}
找到一个与root同姓且未访问的结点j;
if j<>n+1 then try(0,j,lrest);
找到一个与root同姓且未访问的结点k;
if k<>n+1 then try(1,k,rrest);
if (lrest=1) xor (rrest=1) then begin {判断root是否只有一个儿子，情况一}
if lrest=1 then print(lrest,root) else print(rrest,root);
rest:=0;
end
else if (lrest=1) and (rrest=1) then begin {判断root是否有两个儿子}
if father=0 then begin
print(rrest,root);root:=j; {情况二}
end
else begin
print(lrest,root);root:=k; {情况三}
end;
rest:=1;
end
else rest:=1;
end;

这只是输出一棵二叉树的乘船方案的算法，要输出所有人的乘船方案，我们还需再加一层循环，用于寻找各棵二叉树的根结点，但由于每个点都只会访问一次，寻找其左右儿子各需进行一次循环，所以算法的时间复杂度为O(n2)。（附程序boat.pas）

最后，我们对两种结构得出不同时间复杂度算法的原因进行分析。其中最关键的一点就是因为二叉树虽然结构相对较简单，但已经包含了几乎全部都“有用”的信息。由我们寻找乘船方案的算法可知，二叉树中的所有边不仅都发挥了作用，而且没有重复的使用，可见信息的利用率也是相当之高的。
既然采用树结构已经足够，图结构中的一些信息就显然就成为了“无用”的信息。这些多余的“无用”信息，使我们在分析问题时难于发现规律，也很难找到高效的算法进行解决。这正如迷宫中的墙一样，越多越难走。“无用”的信息，只会干扰问题的规律性，使我们更难找出解决问题的方法。

小结
我们对数据的逻辑结构进行选择，是构造数学模型一大关键，而算法又是用来解决数学模型的。要使算法效率高，首先必须选好数据的逻辑结构。上面已经提出了选择逻辑结构的两个条件（思考方向），总之目的是提高信息的利用效果。利用“可直接使用”的信息，由于中间不需其它操作，利用的效率自然很高；不不记录“无用”的信息，就会使我们更加专心地研究分析“有用”的信息，对信息的使用也必然会更加优化。
总之，在解决问题的过程中，选择合理的逻辑结构是相当重要的环
三、 选择合理的存储结构
数据的存储结构，分为顺序存储结构和链式存储结构。顺序存储结构的特点是借助元素在存储器中的相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系；链式存储结构则是借助指示元素存储地址的指针表示数据元素之间的逻辑关系。
因为两种存储结构的不同，导致这两种存储结构在具体使用时也分别存在着优点和缺点。
这里有一个较简单的例子：我们需要记录一个n×n的矩阵，矩阵中包含的非0元素为m个。
此时，我们若采用顺序存储结构，就会使用一个n×n的二维数组，将所有数据元素全部记录下来；若采用链式存储结构，则需要使用一个包含m个结点的链表，记录所有非0的m个数据元素。由这样两种不同的记录方式，我们可以通过对数据的不同操作来分析它们的优点和缺点。
1． 随机访问矩阵中任意元素。由于顺序结构在物理位置上是相邻的，所以可以很容易地获得任意元素的存储地址，其复杂度为O(1)；对于链式结构，由于不具备物理位置相邻的特点，所以首先必须对整个链表进行一次遍历，寻找需进行访问的元素的存储地址，其复杂度为O(m)。此时使用顺序结构显然效率更高。
2． 对所有数据进行遍历。两种存储结构对于这种操作的复杂度是显而易见的，顺序结构的复杂度为O(n2)，链式结构为O(m)。由于在一般情况下m要远小于n2，所以此时链式结构的效率要高上许多。
除上述两种操作外，对于其它的操作，这两种结构都不存在很明显的优点和缺点，如对链表进行删除或插入操作，在顺序结构中可表示为改变相应位置的数据元素。
既然两种存储结构对于不同的操作，其效率存在较大的差异，那么我们在确定存储结构时，必须仔细分析算法中操作的需要，合理地选择一种能够“扬长避短”的存储结构。

一、合理采用顺序存储结构。
我们在平常做题时，大多都是使用顺序存储结构对数据进行存储。究其原因，一方面是出于顺序结构操作方便的考虑，另一方面是在程序实现的过程中，使用顺序结构相对于链式结构更便于对程序进行调试和查找错误。因此，大多数人习惯上认为，能够使用顺序结构进行存储的问题，最“好”采用顺序存储结构。
其实，这个所谓的“好”只是一个相对的标准，是建立在以下两个前提条件之下的：
1． 链式结构存储的结点与顺序结构存储的结点数目相差不大。这种情况下，由于存储的结点数目比较接近，使用链式结构完全不能体现出记录结点少的优点，并且可能会由于指针操作较慢而降低算法的效率。更有甚者，由于指针自身占用的空间较大，且结点数目较多，因而算法对空间的要求可能根本无法得到满足。
2． 并非算法效率的瓶颈所在。由于不是算法最费时间的地方，这里是否进行改进，显然是不会对整个算法构成太大影响的，若使用链式结构反而会显得操作过于繁琐。

二、必要时采用链式存储结构。
上面我对使用顺序存储结构的条件进行了分析，最后就只剩下何时应该采用链式存储结构的问题了。
由于链式结构中指针操作确实较繁琐，并且速度也较慢，调试也不方便，因而大家一般都不太愿意用链式的存储结构。但是，这只是一般的观点，当链式结构确实对算法有很大改进时，我们还是不得不进行考虑的。
〖问题三〗 IOI99的《地下城市》。
〖问题描述〗
已知一个城市的地图，但未给出你的初始位置。你需要通过一系列的移动和探索，以确定初始时所在的位置。题目的限制是：
1． 不能移动到有墙的方格。
2． 只能探索当前所在位置四个方向上的相邻方格。
在这两个限制条件下，要求我们的探索次数（不包括移动）尽可能的少。
〖问题分析〗
由于存储结构要由算法的需要确定，因此我们首先来确定问题的算法。
经过对问题的分析，我们得出解题的基本思想：先假设所有无墙的方格都可能是初始位置，再通过探索一步步地缩小初始位置的范围，最终得到真正的初始位置。同时，为提高算法效率，我们还用到了分治的思想，使我们每一次探索都尽量多的缩小初始位置的范围(使程序尽量减少对运气的依赖)。
接着，我们来确定此题的存储结构。
由于这道题的地图是一个二维的矩阵，所以一般来讲，采用顺序存储结构理所当然。但是，顺序存储结构在这道题中暴露了很大的缺点。我们所进行的最多的操作，一是对初始位置的范围进行筛选，二是判断要选择哪个位置进行探索。而这两种操作，所需要用到的数据，只是庞大地图中很少的一部分。如果采用顺序存储结构(如图3-1中阴影部分表示已标记)，无论你需要用到多少数据，始终都要完全的遍历整个地图。

4
3
2
1
1 2 3 4
图3-1

head

图3-2
然而，如果我们采用的是链式存储结构(如图3-2的链表)，那么我们需要多少数据，就只会遍历多少数据，这样不仅充分发挥了链式存储结构的优点，而且由于不需单独对某一个数据进行提取，每次都是对所有数据进行判断，从而避免了链式结构的最大缺点。
我们使用链式存储结构，虽然没有降低问题的时间复杂度(链式存储结构在最坏情况下的存储量与顺序存储结构的存储量几乎相同)，但由于体现了前文所述选择存储结构时扬长避短的原则，因而算法的效率也大为提高。（程序对不同数据的运行时间见表3-3）
测试数据编号 使用顺序存储结构的程序 使用链式存储结构的程序
1 0.06s 0.02s
2 1.73s 0.07s
3 1.14s 0.06s
4 3.86s 0.14s
5 32.84s 0.21s
6 141.16s 0.23s
7 0.91s 0.12s
8 6.92s 0.29s
9 6.10s 0.23s
10 17.41s 0.20s

表3-3
（附使用链式存储结构的程序under.pas）
我们选择链式的存储结构，虽然操作上可能稍复杂一些，但由于改进了算法的瓶颈，算法的效率自然也今非昔比。由此可见，必要时选择链式结构这一方法，其效果是不容忽视的。
小结
合理选择逻辑结构，由于牵涉建立数学模型的问题，可能大家都会比较注意。但是对存储结构的选择，由于不会对算法复杂度构成影响，所以比较容易忽视。那么，这种不能降低算法复杂度的方法是否需要重视呢？
大家都知道，剪枝作为一种常用的优化算法的方法，被广泛地使用，但剪枝同样是无法改变算法的复杂度的。因此，作用与剪枝相似的存储结构的合理选择，也是同样很值得重视的。
总之，我们在设计算法的过程中，必须充分考虑存储结构所带来的不同影响，选择最合理的存储结构。

四、 多种数据结构相结合

上文所探讨的，都是如何对数据结构进行选择，其中包含了逻辑结构的选择和存储结构的选择，是一种具有较大普遍性的算法优化方法。对于多数的问题，我们都可以通过选择一种合理的逻辑结构和存储结构以达到优化算法的目的。
但是，有些问题却往往不如人愿，要对这类问题的数据结构进行选择，常常会顾此失彼，有时甚至根本就不存在某一种合适的数据结构。此时，我们是无法选择出某一种合适的数据结构的，以上的方法就有些不太适用了。
为解决数据结构难以选择的问题，我们可以采用将多种数据结构进行结合的方法。通过多种数据结构相结合，达到取长补短的作用，使不同的数据结构在算法中发挥出各自的优势。
这只是我们将多种数据结构进行结合的总思想，具体如何进行结合，我们可以先看下面的例子。
我们可以采用映射的方法，将线性结构中的元素与堆中间的结点一一对应起来，若线性的数组中的元素发生变化，堆中相应的结点也接着变化，堆中的结点发生变化，数组中相应的元素也跟着变化。
将两种结构进行结合后，无论是第一步还是第二步，我们都不需对所有元素进行遍历，只需进行常数次复杂度为O(log2n)的堆化操作。这样，整个时间复杂度就成为了O(nlog2n)，算法效率无疑得到了很大提高。

五、 总结
我们平常使用数据结构，往往只将其作为建立模型和算法实现的工具，而没有考虑这种工具对程序效率所产生的影响。信息学问题随着难度的不断增大，对算法时空效率的要求也越来越高，而算法的时空效率，在很大程度上都受到了数据结构的制约。

B. 如何分析递归算法的时间效率

1.递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。设要求问题规模为N的解，当N=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的问题有重要的递推性质，即当得到问题规模为i-1的解后，由问题的递推性质，能从已求得的规模为1，2，…，i-1的一系列解，构造出问题规模为I的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地，由已知至i-1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为N的解。

C. 应该从哪些方面分析和评价算法的性能

摘要 一、算法的正确性。

D. 都说程序执行的效率跟算法有关，究竟什么是计算机的算法呢怎么理解的怎么使用

算法（Algorithm）是一系列解决问题的清晰指令，也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。
算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。
一个算法应该具有以下五个重要的特征：
1、有穷性： 一个算法必须保证执行有限步之后结束；
2、确切性： 算法的每一步骤必须有确切的定义；
3、输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件；
4、输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫无意义的；
5、可行性： 算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。
计算机科学家尼克劳斯-沃思曾着过一本着名的书《数据结构十算法= 程序》，可见算法在计算机科学界与计算机应用界的地位。 [编辑本段]算法的复杂度同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在于选择合适算法和改进算法。一个算法的评价主要从时间复杂度和空间复杂度来考虑。
时间复杂度
算法的时间复杂度是指算法需要消耗的时间资源。一般来说，计算机算法是问题规模n 的函数f(n)，算法的时间复杂度也因此记做
T(n)=Ο(f(n))
因此，问题的规模n 越大，算法执行的时间的增长率与f(n) 的增长率正相关，称作渐进时间复杂度（Asymptotic Time Complexity）。
空间复杂度
算法的空间复杂度是指算法需要消耗的空间资源。其计算和表示方法与时间复杂度类似，一般都用复杂度的渐近性来表示。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析要简单得多。
详见网络词条"算法复杂度" [编辑本段]算法设计与分析的基本方法1.递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法。它把问题分成若干步，找出相邻几步的关系，从而达到目的，此方法称为递推法。
2.递归
递归指的是一个过程：函数不断引用自身，直到引用的对象已知
3.穷举搜索法
穷举搜索法是对可能是解的众多候选解按某种顺序进行逐一枚举和检验，并从众找出那些符合要求的候选解作为问题的解。
4.贪婪法
贪婪法是一种不追求最优解，只希望得到较为满意解的方法。贪婪法一般可以快速得到满意的解，因为它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪婪法常以当前情况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，所以贪婪法不要回溯。
5.分治法
把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
6.动态规划法
动态规划是一种在数学和计算机科学中使用的，用于求解包含重叠子问题的最优化问题的方法。其基本思想是，将原问题分解为相似的子问题，在求解的过程中通过子问题的解求出原问题的解。动态规划的思想是多种算法的基础，被广泛应用于计算机科学和工程领域。
7.迭代法
迭代是数值分析中通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题（一般是解方程或者方程组）的过程，为实现这一过程所使用的方法统称为迭代法。 [编辑本段]算法分类算法可大致分为基本算法、数据结构的算法、数论与代数算法、计算几何的算法、图论的算法、动态规划以及数值分析、加密算法、排序算法、检索算法、随机化算法、并行算法。
算法可以宏泛的分为三类：
有限的，确定性算法 这类算法在有限的一段时间内终止。他们可能要花很长时间来执行指定的任务，但仍将在一定的时间内终止。这类算法得出的结果常取决于输入值。
有限的，非确定算法 这类算法在有限的时间内终止。然而，对于一个（或一些）给定的数值，算法的结果并不是唯一的或确定的。
无限的算法 是那些由于没有定义终止定义条件，或定义的条件无法由输入的数据满足而不终止运行的算法。通常，无限算法的产生是由于未能确定的定义终止条件。

E. 评价算法效率的依据

评价算法的四个标准：

1.正确性

能正确地实现预定的功能，满足具体问题的需要。处理数据使用的算法是否得当，能不能得到预想的结果。

2.易读性

易于阅读、理解和交流，便于调试、修改和扩充。写出的算法，能不能让别人看明白，能不能让别人明白算法的逻辑？如果通俗易懂，在系统调试和修改或者功能扩充的时候，使系统维护更为便捷。

3.健壮性

输入非法数据，算法也能适当地做出反应后进行处理，不会产生预料不到的运行结果。数据的形式多种多样，算法可能面临着接受各种各样的数据，当算法接收到不适合算法处理的数据，算法本身该如何处理呢？如果算法能够处理异常数据，处理能力越强，健壮性越好。

4.时空性

算法的时空性是该算法的时间性能和空间性能。主要是说算法在执行过程中的时间长短和空间占用多少问题。

算法处理数据过程中，不同的算法耗费的时间和内存空间是不同的。

(5)算法效率分析扩展阅读：

算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个操作。此外，一个算法还具有下列5个重要的特性。

（1）、有穷性

一个算法必须总是（对任何合法的输入值）在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成。

（2）、确定性

算法中每一条指令必须有明确的含义，读者理解时不会产生二义性。即对于相同的输入只能得到相同的输出。

（3）、可行性

一个算法是可行的，即算法中描述的操作都是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。

（4）、输入

一个算法有零个或多个的输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合。

（5）、输出

一个算法有一个或多个的输出，这些输出是同输入有着某种特定关系的量。

F. 进行算法的复杂度分析以及渐进效率分析

(1) C=105和N0=1 是什么意思
这里只是给出例子, 说明C 和n0不是固定的, 但只要找到一组确定的C, n0, 就表示符合O(g(n))
(2) C2g（n）=<t(n)=<C1g(n)
这里也是类似，
考虑n(n-1)/2<=n^2/2时， 可取c1=1/2, n0=0
考虑n(n-1)/ >= n^2/4时，可取c2=1/4, n0=2
最终取n0=2即可满足上限和下限要求。

G. 什么是算法的效率,研究算法的效率有什么意义

就是程序的效率.例如你一句语言就能实现的功能，采用了多个语句来实现，那机器的工作周期或者执行指令的周期就长了。同时由于某些特定的情况下，例如对时间周期有严格限制要求的时候，由于程序的效率不个澳，导致程序达不到要求的效果

H. 几种排序算法的效率比较

[内部排序的主要算法及相关可实现程序.rar
] - 内部排序的所有算法，而且有相关可执行例子，包括插入排序，选择排序，希尔排序，快速排序，堆排序，归并排序等，很全，很孀。[排序算法、字典和B-树的C++语言实现.zip
] - 排序算法、字典和B-树的C++语言实现
代码内容 包括以下算法：
qui.c sort: quicksort
qsort.c sort: qsort
ins.c sort: insert sort
shl.c sort: shell sort
has.c dictionary:[几种排序方法的实现.rar
] - 用 插入排序, 希尔排序 ,冒泡, 快速排序 , 选择排序 ,堆排序, 归并排序 实现对任意随机数序列,并比较各种方法的运行快慢和复杂度[paixu.rar] - 内部排序算法比较
] - 一个用VC++6.0做的一个数据库方面的程序，是用来英语学习的，有助于VC数据库编程的学习。[各种排序方法比较.rar
] - 这个程序包括了各种常用内部排序算法在平均排序所需时间上的比较.[实现各种排序算法并分析与比较.rar
] - 本程序实现各种排序算法并分析与比较 直接插入排序， SHELL排序，冒泡排序，快速排序，简单选择排序，堆排序，归并排序[图论算法库 C++ 语言实现.zip
] - 图论算法库 C++ 语言实现
代码内容 图论算法库，包括以下算法：

I. 一个算法的效率指该算法的什么效率和什么

算法的效率分析是指对算法的时间效率和空间效率作出定量或定性的分析，以便判断算法的优劣。
即：时间复杂度与空间复杂度。
参考：
http://acm.swust.e.cn/algwiki/doku.php?id=%E7%AE%97%E6%B3%95%E6%95%88%E7%8E%87%E5%88%86%E6%9E%90

J. 如何衡量一个时间算法的时间效率

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。

时间效率，一定生产时间内，机器实际运转时间与理论运转时间之比，通常用百分率表示。与设备自动化程度、速度、卷装尺寸、工人操作熟练程度及看台数有关。

(10)算法效率分析扩展阅读：

点在空间中变化对点的描述称为被描述点相当于该点的时间【该点运动到某一位置时，被描述点都会有唯一的对应位置，称为此时被描述点的位置】。被描述点可以随时间变化位置不变，可知时间与被描述点的位置有函数关系。

空间使事物具有了变化性，即因为空间的存在，所以事物才可以发生变化。空间是没有能量的事物，即当事物能产生变化时，变化产生的能量已经和阻碍的能量相互抵消。

天文测时所依赖的是地球自转，而地球自转的不均匀性使得天文方法所得到的时间（世界时）精度只能达到10-9，无法满足二十世纪中叶社会经济各方面的需求。一种更为精确和稳定的时间标准应运而生，这就是“原子钟”。

世界各国都采用原子钟来产生和保持标准时间，这就是“时间基准”，然后，通过各种手段和媒介将时间信号送达用户，这些手段包括：短波、长波、电话网、互联网、卫星等。这一整个工序，就称为“授时系统”。