沃尔什压缩

① 压缩感知的图像处理与应用有哪些

数字图像处理主要研究的内容有以下几个方面：1） 图像变换由于图像阵列很大,直接在空间域中进行处理,涉及计算量很大.因此,往往采用各种图像变换的方法,如傅立叶变换、沃尔什变换、离散余弦变换等间接处理技术,将空间域的处理转换为变换域处理,不仅可减少计算量,而且可获得更有效的处理（如傅立叶变换可在频域中进行数字滤波处理）.目前新兴研究的小波变换在时域和频域中都具有良好的局部化特性,它在图像处理中也有着广泛而有效的应用.2） 图像编码压缩图像编码压缩技术可减少描述图像的数据量（即比特数）,以便节省图像传输、处理时间和减少所占用的存储器容量.压缩可以在不失真的前提下获得,也可以在允许的失真条件下进行.编码是压缩技术中最重要的方法,它在图像处理技术中是发展最早且比较成熟的技术.3） 图像增强和复原图像增强和复原的目的是为了提高图像的质量,如去除噪声,提高图像的清晰度等.图像增强不考虑图像降质的原因,突出图像中所感兴趣的部分.如强化图像高频分量,可使图像中物体轮廓清晰,细节明显；如强化低频分量可减少图像中噪声影响.图像复原要求对图像降质的原因有一定的了解,一般讲应根据降质过程建立"降质模型",再采用某种滤波方法,恢复或重建原来的图像.4） 图像分割图像分割是数字图像处理中的关键技术之一.图像分割是将图像中有意义的特征部分提取出来,其有意义的特征有图像中的边缘、区域等,这是进一步进行图像识别、分析和理解的基础.虽然目前已研究出不少边缘提取、区域分割的方法,但还没有一种普遍适用于各种图像的有效方法.因此,对图像分割的研究还在不断深入之中,是目前图像处理中研究的热点之一.5） 图像描述是图像识别和理解的必要前提.作为最简单的二值图像可采用其几何特性描述物体的特性,一般图像的描述方法采用二维形状描述,它有边界描述和区域描述两类方法.对于特殊的纹理图像可采用二维纹理特征描述.随着图像处理研究的深入发展,已经开始进行三维物体描述的研究,提出了体积描述、表面描述、广义圆柱体描述等方法.6） 图像分类（识别）图像分类（识别）属于模式识别的范畴,其主要内容是图像经过某些预处理（增强、复原、压缩）后,进行图像分割和特征提取,从而进行判决分类.图像分类常采用经典的模式识别方法,有统计模式分类和句法（结构）模式分类,近年来新发展起来的模糊模式识别和人工神经网络模式分类在图像识别中也越来越受到重视.

② 沃尔什变换的定义

1923年，美国数学系J.L Walsh提出walsh函数。函数展开有三种：Walsh序的Walsh函数，佩利序的Walsh函数，哈达玛序的Walsh函数。
沃尔什变换主要用于图像变换，属于正交变换。这种变换压缩效率低，所以实际使用并不多。但它快速，因为计算只需加减和偶尔的右移操作。沃尔什变换的定义如下：给定一个NXN像素块Pxy（N必须是2的幂），二维WHT定义为如图1：
沃尔什函数Wal(k，t)是美国数学家J．L．沃尔什(J．L．Walsh)1923年提出的，定义在半开区间0≤t<1的一组完备、正交矩形函数，其波形如图所示。从图中可见，函数只取+1和-1两个值。显然，它的抽样也只有+1和-1两个值，与数字逻辑中的两种状态相应，特别适合于数字信号处理。沃尔什变换与傅里叶变换相比，由于它只存在实数的加、减法运算而没有复数的乘法运算，使得计算速度快、存储空间少，有利于硬件实现，对实时处理和大量数据操作具有特殊吸引力。在通信系统中由于它的正交性和具有则早橡取值和算法简单等优点，便于构成正交的多路复用系统。
沃尔什函数与正弦-弦函数相同，也是一种完备的正交函数系。所谓完备性，就是所有相互正交的函数全部包括在该函睁昌数组内，再没有别的非零函数与它正交。因而，与在一定条件下，函数可以表示为傅里叶级数相似，对任一在0≤t<1单位区间平方可积的周期函数x(t)均可展开为沃尔什级数，且此级数具有收敛性。即，按x(t+1)=x(t)，则对所有t都有如图2.
式中a0是直流项，ak是序号为k的沃尔什波的幅度，其大小由下式确定，即如图3

由此可见，沃尔什级数可用于信号序列率谱分析，特别是被逼近的波形不光滑而是阶梯函数时，效果较傅里叶级数好。为了便于数字处理，对连续沃尔什函数进行等间隔抽样。设单位时间内取N个样点，则抽样间隔△t=1/N，以X(k)代替ak，故②式改写成为如图4
式③即离散沃尔什变换（DWT）的定义式。若已知输入信号数据x(n)，可求得相应序率谱幅度系数X（k）。同理，已知X（k)可通过逆变换求x(n)，即如图5

按沃尔什编号的沃尔什函数
沃尔什函数与正弦函数有所不同，在单位区间内由于不一定是周期函数，所以过零点的分布不一定是等间隔的。如图6所示。但为了与正弦函数的频率相对应，因此沃尔什函数定义单位时间内波形过零点数务(或变号数 ）为序率，它的1/2为列率并以Sk表示，即如图7
图中8个波形的序率是按自然递增的顺序排列的，所以称这种排列为按沃尔什编号（或列率排列）的沃尔什函数，以Walω(k，t)表示。下脚注ω表示按沃尔什编号。此外还有佩利（Paley)编号Walp(k，t)和哈达理(Hadamard)编号Walh(k，t)共三类。这三类编号的沃尔什变换是完全等价的，实际上只是排列次序有所不同而已。由于按哈达玛编号的沃尔什变换（WHT）其变换矩阵具有简单的递推关系，且正、反变换矩阵完全相同，所以获得广泛应用。如通信领域中的多路数字通信系统、语音加密、孙旁视频编码系统、雷达系统、图像通信系统；在信号处理领域中的信号分析与综合、功率谱分析、模式识别、图像处理。特别是在图像传输、存储系统中，用于图像压缩非常有效。
沃尔什变换虽有上述许多优点，但与建立在正、余弦函数基础上的傅里叶变换相比，在理论上和实践上还有许多问题需要研究和进一步解决。如相关与卷积的运算，以及如何从经济上和技术上解决以矩形波为基础的设备，来取代现有以正弦波为基础的大量设备等问题。