压缩映射定理

‘壹’ Banach不动点定理与隐函数存在定理

定义 压缩映射 设 是度量空间， 是 到 中的映射，如果存在一个数 , , 使得对所有的

则称T是压缩映射.

定理1 压缩映射定理（不动点定理） 压缩映射有唯一的不动点.

设 是完备的度量空间， 是 上的压缩映射，那么 有且只有一个不动点（也就是说，方程 有且只有一个解）.

证明 略圆耐.

定理2 隐函数存在定理 设函数 在带状区域 中处处连续，且处处有关于y的偏导数 . 如果还存在常数m和M，满足 , ,
则方橘搏春程 在区间 上必有唯一的连续函数 作为解，即

证明 在完备空间 中作映射 , 使得对任意的函数 , 有 . 按照定理条件, 是连续的, 因此 也连续, 即 . 所以 是 到自身的映射.

现在证明A是压缩映射. 任取 , 根据微分中值定理, 存银前在 , 满足

由于 , 所以令 , 则有 , 且

按 中距离的定义, 即知

因此 是压缩映射. 由压缩映射原理, 存在唯一的 , 满足 , 即 . 因此,

证毕.

‘贰’ 压缩映射原理求极限

压缩映射原理是泛函分析中最基本的存在性定理.本文通过对考研中数列极限的典型例题的解析，归纳总结出适合压缩映射原理求极限数列的一般形式，展示压缩映射原理在解决递推数学列极限中的优越性.

关键词: 压缩映射原理 极限 递推数列

压缩映射原理是着名的波兰数学家Stefan Banach在1922年提出的，它是整个分析科学中最常用的存在性理论，应用非常广泛，如隐函数存在性定理、微分方程解的存在唯一性.这里我们主要研究压缩映射原理在数列极限中的应用.许多参考资料都讲过这个方面的应用，如文献[1-3].在前人的基础上，笔者结合自己的教学体会，系统归纳总结了压缩映射原理在一类递推数列极限中的应用，进一步展示其优越性.

1.基本概念和定理

为了结构的完整和叙述的方便，我们给出文献中的几个概念和定理.

定义1.1设(X，ρ)为一个度量空间，T是X到X的映射，若存在0<α<1，使得,坌x，y?X，有ρ(Tx，Ty)?αρ(x，y)，则称T是X到X的一个压缩映射.

定理1.2(压缩映射原理)设(X，ρ)为一个完备的距离空间，T是X到X的一个压缩映射，则T在X上存在唯一的不动点，即存在唯一的x?X，使得Tx=x.

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事实上，这两个结果在一般的实数R上也成立，有如下结果.

2.应用

类型一:直接应用定理型

下面我们看一道竞赛试题.

由于压缩映射原理在许多教材中没有给出，但其实用性很强，因此在教学过程可以补充给出，让学有余力的学生自己查阅相关文献.这类题目常见于考研试题和竞赛试题，只要出现迭代数列形式，就可以尝试利用压缩映射原理来考虑，问题的关键是确定函数是否为压缩函数，同时一定要注意函数的定义域.我们可以把这类问题归结为如下形式.

类型二:先转化再应用型

这类问题中虽然没有明显的迭代条件，但可以先考虑通常的方法，如单调有界定理、柯西收敛逐准则及夹逼定理等，也可以尝试往压缩映射原理条件上去凑，或许有意外的收获.以上几个例子都是数列极限中常见的典型例题，但几乎所有的教学参考书籍都没有提及利用压缩映射原理解决该问题，事实上，利用该方法解决上述例题更简洁.数学分析中很多问题的解决都得益于把已知条件往解决方法原理的条件上“凑”，这种“凑”是一种技巧、策略，它是解决数学分析中问题的常见策略，初学者需要仔细体会.

数列极限的求解方法多种多样，每种方法都有其条件要求和适用范围，需要灵活运用.压缩映射原理也不例外，在应用是时一定要注意条件的验证，同时要注意其使用范

‘叁’ 不动点定理和差分定理区别

泛函分析这门学科在其它数学分支乃至其它学科都有相当广泛的应用。而我们第一章所讨论的距离空间及其上的连续映射则在解决微分方程、积分方程等领域有着十分重要的用处，其具体表现为不动点定理。下面我们重点介绍一类最为简单的不动点定理：压缩映射原理。
定理1：设X是完备的距离空间，距离为 .T是X到其自身的映射，且对于任意的 ，不等式

成立，其中 是宏御满足不等式 的常数。那么T在X中存在唯一的不动点，即存在唯一的 ，使得 ，且 可以用迭代法求得。
证明：在X中任意取定一点 ，并令

我们证明 是X中的一个基本点列。由以下诸关系式


并应用归纳法可以证明：
,
于是我们有

由假设， ，故 ，于是 是基本点列。由于X完备，故 收敛于X中某一点 。另一方面，又根据 ,T是连续映射。故我们在 中，令 ，得到

因此 是T的一个不动点。
现在证明该不动点是唯一的。设另有 ，使得 ，则

由于 ，故 即 。唯一性成立。
满足条件 的映射称为压缩映射。
注：
1、很多时候方程Tx=x的不动点 很难求得，但是我们很多时候并不需要这个不动点的精确值，于是我们可以用 作为其近似值。这自然要求我们关注近似值与精确值的接近程度（即误差）。而误差由以下估计式即可得知:

要想证明上式成立，只需注意到 证明中 并取 即可。
2、定理1的条件可以适当放宽，我们不需要非得要求 在整个距离空间都成立，而只需要它在零次近似 为中心的某个闭球 内满足即可，不过需要补充条件：

3、注意 与 的区别。二者不能再上述定理中替换。
下面我们重点关注压缩映射原理在方程领域的一些应用：
例1：微分方程解的存在性和唯一性：
考察微分方程：

其中 在整个平面连续，此外还设 关于y满足利普希茨条件：

其中 为常数。那么通过任一给定的点 ，上述微分方程有且仅有一条积分曲线。
由于上述微分方程有初值条件 等价于下面的积分方程：

我们取 ，使得 .在连续函数空间 内定义映射T:

则有

由于 ，故根据映射压缩原理，存在唯一的连续函数 使得

故 连续可微，且 就是本例开头的微分方程通过点 的积分曲线，当然它定义在区间 上，进一步可将解延拓至整个实数轴上（具体操作参阅常微分方程有关教科书）。
例2： 积分方程解的存在性和唯一性：
设有线性积分方程

其中 为给定的函数， 为参数，核 是定义在矩形区域 上的可测函数，满足

那么当参数 的模充分小的时候，上述方程有唯一解 .
令

由 不等式

以及T的定义可知，T是由 到其自身的映射。取 充分小，使得

于是我们有

故T为压缩映射。根据压缩映射原理，上述积分方程在 内有唯一解。
补例：隐函数存在定理:设函数 在条形区域
.
上处处连续，关于 的偏导数 ，有常数 使得在上述条形区域中

那么方程 在闭区间 上必有唯一的连续解 .
证明：在完备空间 中作映射

这是到自身的压缩映射。事实上，对于 ，由微分中值定理有 使得

由于 所以 令 ,便有

故 是 中的压缩映射。故根据压缩映射定理，有唯一的 使得
，
这就是说
.
下面我们对压缩映射原理稍作推广，以便我们更好的应用：
设 ，记 。以此类推，设已经定义了 ，令 。于是对任何自然数n， 都有定义。
定理2：设T是由完备距离空间X到其自身的映射，如果存在常数 以及自然数 使得

你那么T在X中有唯一的不动点。
证明： 由定理中的不等式，我们知道映射 满足定理1的条件，故 存在唯一的不动点 ,我们证明 也是映射T唯一的不动点。由

可知 是映射 的不动点。由 不动点的唯一性，可得 ，故 是映射T的不动点。若T另有不动点 ，则由：

可知 也是 的不动点，仍有唯一性，可得 。
作为上述定理的一个应用，我们来证明沃尔雹缺泰拉积分方程解的存在性与唯一性：
例3：设 是定义在三角形区域 上的连续函数，蔽肆岩则沃尔泰拉积分方程

对任何 以及任何常数 存在唯一的解 .
证明： 作 到其自身的映射T:

则对任意的 有

其中 为 的距离，用归纳法可以证明：

对任何给定的参数 ，总可以选取足够大的n，使得
.
此时 满足定理2的条件，故本例的积分方程在 中存在唯一解。

‘肆’ 巴拿赫不动点定理

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具；它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。

巴拿赫不动点这个定理是以斯特凡·巴拿赫(1892–1945)命名的，他在1922年提出了这个定理。

在数学中，不动点定理是指一个结果表示函数F在某种特定情况下，至少有一个不动点存在，即至少有一个点x能令函数F(x) = x。

在数学中有很多定理能保证函数在一定的条件下必定有一个或更多的不动点，而在这些最基本的定性结果当中存在不动点及其定理被应用的结孙态果具有非常普遍的价值。

克纳斯特－塔斯基定理某种程度上从分析移除，而且不涉及连续函数。它指出在完全格上的任何单调函数都有一个不动点，甚至是一个最小不动点。见布尔巴基－维特定理。

迭代函数找不动点的技术还可用在集理论；正常函数的定点引理指出任何严格递增的函数从序数有一个（甚至有许多）不动点。

在偏序集上的每个闭包算子都有许多不动点；存在关于闭包算子的“封闭要素”，它们是闭包算子首先被定义的主要理由。

‘伍’ 能具体解释如何用压缩映射定理吗 （泛函分析）证明:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得

设ρ是C[0,1]上的距离ρ(x,y)=max|x(t)-y(t)| (t∈[0,1]),构造映射T，
(Tx)(t)=0.5sin[x(t)]-a(t)
因为肆斗橘sin[x(t)]和a(t)都是连续裂团函数，故Tx∈C[0,1]

ρ(Tx,Ty)=0.5max|sin[x(t)]-sin[y(t)]|
=max|sin{[x(t)-y(t)]/销埋2}cos{[x(t)+y(t)]/2}| (和差化积公式)
≤max|sin{[x(t)-y(t)]/2}
≤0.5max|x(t)-y(t)|
=0.5ρ(x,y)
所以T是压缩映射(0≤0.5<1)

根据压缩映射原理，存在C[0,1]上的不动点x(t)，使x=Tx，即
:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得x(t)=0.5sinx(t)-a(t)

‘陆’ 如何将压缩映射转化为不动点定理呢

度量空间(M,d)上的压缩映射，或压缩，是一个从M到它本身的函数f，存在某个实数，使得对于所有M内的x和y，都有：满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的都满足，则该映射称为非膨胀的。 更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d')是两个度量空间，则我们寻找常数k，使得对于所有M内的x和y。 每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有肢侍一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完歼饥团备度量空间上的每一个压缩映射都有氏橘唯一的不动点，且对于M内的任何x，迭代函数序列x，f (x)，f (f (x))，f (f (f (x)))，……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明反函数定理。

‘柒’ 什么是泛函分析它的四个基本定理是什么

泛函分析，它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

泛函分析的基本定理是罕-巴拿赫定理、选择公理（Axiom of Choice）弱于布伦素理想定理（Boolean prime ideal theorem）、佐恩引理、压缩映射定理。

(7)压缩映射定理扩展阅读：

泛函分析是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。半个多世纪来，一方面它不断以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间（也称拓扑向量空间）理论、广义函数论等等。

另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。